1、热力学基础计算题 1. 温度为 25、压强为 1 atm 的 1 mol 刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的 3 倍 (普适气体常量 R 8.31 1 KmolJ 1 ， ln 3=1.0986) (1) 计算这个过程中气体对外所作的功 (2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的 3 倍，那么气体对外作的功又是多少？ 解： (1) 等温过程气体对外作功为 000033 3lndd VVVVRTVVRTVpW 2 分 =8.31 298 1.0986 J = 2.72 103 J 2 分 (2) 绝热过程气体对外作功为 VVVpVpW VVVVdd 00003003 RTVp13
2、11 131001 2 分 2.20 103 J 2 分 2.一定量的单原子分子理想气体，从初态 A出发，沿图示直线过程变到另一状态 B，又经过等容、等压两过程回到状态 A (1) 求 A B， B C， C A 各过程中系统对外所作的功 W，内 能的增量 E 以及所吸收的热量 Q (2) 整个循环过程中系统对外所作的总功以及从外界吸收的总热量 (过程吸热的代数和 ) 解： (1) A B ： )(211 ABAB VVppW =200 J E1=CV (TB TA)=3(pBVB pAVA) /2=750 J Q=W1+ E1 950 J 3 分 B C： W2 =0 E2 =CV (TC
3、TB)=3( pCVC pBVB ) /2 = 600 J Q2 =W2+ E2 600 J 2 分 C A： W3 = pA (VA VC)= 100 J 1 5 0)(23)(3 CCAACAV VpVpTTCE J Q3 =W3+ E3 250 J 3 分 (2) W= W1 +W2 +W3=100 J Q= Q1 +Q2 +Q3 =100 J 2 分 1 2 3 1 2 O V ( 10 3m3) p ( 105Pa ) A B C 3. 0.02 kg 的氦气 (视为理想气体 )，温度由 17升为 27若在升温过程中， (1) 体积保持不变； (2) 压强保持不变； (3) 不与外界
4、交换热量；试分别求出气体内能的改变、吸收的热量、外界对气体所作的功 (普适气体常量 R =8.31 11KmolJ ) 解：氦 气为单原子分子理想气体， 3i (1) 等体过程， V常量， W =0 据 Q E+W 可知 )(12 TTCMMEQ Vm o l 623 J 3 分 (2) 定压过程， p = 常量， )(12 TTCMMQ pm o l =1.04 103 J E 与 (1) 相同 W = Q E 417 J 4 分 (3) Q =0， E 与 (1) 同 W = E=623 J (负号表示外界作功 ) 3 分 4. 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的汽缸里此汽缸有可活动的
5、活塞 (活塞与气缸壁之间无摩擦且无漏气 )已知气体的初压强 p1=1atm，体积 V1=1L，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍，然后在等体积下加 热直到压强为原来的 2 倍，最后作绝热膨胀，直到温度下降到初温为止， (1) 在 p V 图上将整个过程表示出来 (2) 试求在整个过程中气体内能的改变 (3) 试求在整个过程中气体所吸收的热量 (1 atm 1.013 105 Pa) (4) 试求在整个过程 中气体所作的功 解： (1) p V 图如右图 . 2 分 (2) T4=T1 E 0 2 分 (3) )()(2312 TTCM MTTCM MQ Vm o lpm o l )2(
6、223)2(25 111111 ppVVVp 11211 Vp 5.6 102 J 4 分 (4) W Q 5.6 102 J 2 分 5.1 mol 双原子分子理想气体从状态 A(p1,V1)沿 p V 图所示直线变化到状态 B(p2,V2)，试求： (1) 气体的内能增量 (2) 气体对外界所作的功 (3) 气体吸收的热量 (4) 此过程的摩尔热容 (摩尔热容 C = TQ / ，其中 Q 表示 1 mol 物质在过程中 升高温度 T 时所吸收的热量 ) T 3 T 4 T 2 T 1 1 2 1 2 V ( L ) p ( a t m ) O BAOVp 1p 2pV 1 V 2解： (
7、1) )(25)(112212 VpVpTTCE V 2 分 (2) )(211221 VVppW ， W 为梯形面积，根据相似三角形有 p1V2= p2V1，则 )(211122 VpVpW 3 分 (3) Q = E+W=3( p2V2 p1V1 ) 2 分 (4) 以上计算对于 A B 过程中任一微小状态变化均成立，故过程中 Q =3 (pV) 由状态方程得 (pV) =R T， 故 Q =3R T， 摩尔热容 C= Q/ T=3R 3 分 6. 有 1 mol 刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为 1.0 atm，温度为 27，若经过一绝热过程，使其压强增加到 16 atm试求： (
8、1) 气体内能的增量； (2) 在该过程中气体所作的功； (3) 终态时，气体的分子数密度 ( 1 atm= 1.013 105 Pa， 玻尔兹曼常量 k=1.38 10-23 J K-1,普适气体常量 R=8.31 J mol-1 K-1 ) 解： (1) 刚性多原子分子 i = 6， 3/42 ii 1 分 6 0 0)/( 11212 ppTT K 2 分 312 1048.7)(21)/( TTiRMME m o lJ 2 分 (2) 绝热 W = E = 7.48103 J (外界对气体作功 ) 2 分 (3) p2 = n kT2 n = p2 /(kT2 )=1.961026 个
9、 /m3 3 分 7. 如果一定量的理想气体，其体积和压强依照 paV / 的规律变化，其中 a 为已知常量试求： (1) 气体从体积 V1 膨胀到 V2 所作的功； (2) 气体体积为 V1 时的温度 T1 与体积为 V2 时的温度 T2 之比 解 ： (1) dW = pdV = (a2 /V2 )dV )11()/(2122221 VVadVVadWWVV 2 分 (2) p1V1 /T1 = p2V2 /T2 T1/ T2 = p1V1 / (p2V2 ) 由 11 / paV ， 22 / paV 得 p1 / p2= (V2 /V1 )2 T1/ T2 = (V2 /V1 )2 (
10、V1 /V2) = V2 /V1 3 分 8. 汽缸内有一种刚性双 原子分子的理想气体，若经过准静态绝热膨胀后气体的压强减少了一半，则变化前后气体的内能之比 E1 E2 ？ 解：据 iR TMMEm o l 21)/(, RTMMpV m o l )/( 2 分 得 ipVE 21 变化前 111 21 VipE ， 变化后222 21 VipE 2 分 绝热过程 2211 VpVp 即 1221 /)/( ppVV 3 分 题设 12 21pp， 则 21)/(21 VV即 /121 )21(/ VV )21/(21/221121 VipVipEE /1)21(2 22.1211 3 分 9
11、. 2 mol 氢气 (视为理想气体 )开始时处于标准状态，后经等温过程从外界吸取 了 400 J的热量，达到末态求末态的压强 (普适气体常量 R=8.31Jmol-2K -1) 解：在等温过程中， T = 0 Q = (M/Mmol) RT ln(V2/V1) 得 0 8 8 2.0)/(ln 12 RTMM QVV m o l即 V2 /V1=1.09 3 分 末态压强 p2 = (V1 /V2) p1=0.92 atm 2 分 10. 为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功 2 J，必须传给气体多少热量？ 解：等压过程 W= p V=(M /Mmol)R T 1 分 iWT
12、iRMMEm a l 2121)/( 1 分 双原子分子 5i 1 分 721 WiWWEQ J 2 分 11.两端封闭的水平气缸，被一可动活塞平分为左右两室，每室体积均为 V0，其中盛有温度相同、压强均为 p0的同种理想气体现保持气体温度不变，用外力缓慢移动活塞 (忽略磨擦 )，使左室气体的体积膨胀为右室的 2 倍，问外力必须作多少功？ 为了使刚性双原子分子理想气体在等压膨胀过程中对外作功 2 J，必须传给气体多少热量？ 外力解：设左、右两 室中气体在等温过程中对外作功分别用 W1、 W2 表示，外力作功用 W 表示由题知气缸总体积为 2V0，左右两室气体初态体积均为 V0，末态体积各为 4
13、V0/3 和 2V0/3 . 1 分 据等温过程理想气体做功： W=(M /Mmol )RT ln(V2 /V1) 得 34ln34ln 0000001 VpVVVpW 得 32ln32ln 0000002 VpVVVpW 2 分 现活塞缓慢移动，作用于活塞两边的力应相等，则 W+W1= W2 21 WWW )32ln34(ln00 Vp 89ln00Vp2 分 12.一定量的理想气体，从 A 态出发，经 p V 图中所示的过程到达 B 态，试求在这过程中，该气体吸收的热量 . 解：由图可得 A 态： AAVp 8 105 J B 态： BBVp 8 105 J BBAA VpVp ，根据理想
14、气体状态方程可知 BA TT ， E = 0 3 分 根据热力学第一定律得： )()( DBBACA VVpVVpWQ 6105.1 J 2 分 13. 如图，体积为 30L 的圆柱形容器内，有一能上下自由滑动的活塞（活塞的质量和厚度可忽略），容器内盛有 1 摩尔、温度为 127的单原子分子理想气体若容器外大气 压强为 1标准大气压，气温为 27，求当容器内气体与周围达到平衡时需向外放热多少？（普适气体常量 R = 8.31 J mol-1 K-1） 解：开始时气体体积与温度分别为 V1 =30 10 3 m3， T1 127 273400 K 气体的压强为 p1=RT1/V1 =1.108
15、105 Pa 大气压 p0=1.013 105 Pa， p1p0 可见，气体的降温过程分为两个阶段：第一个阶段等体降温 ，直至气体压强 p2 = p0，此时温度为 T2，放热 Q1；第二个阶段等压降温，直至温度 T3= T0=27 273 =300 K，放热 Q2 (1) )(23)(21211 TTRTTCQ V 1122 )/( TppT 365.7 K Q1= 428 J 5 分 (2) )(25)(32322 TTRTTCQ p =1365 J 总计放热 Q = Q1 + Q2 = 1.79 103 J 5 分 A CBDp (10 5 P a)O V (m 3 )2 5 8124活塞
16、 14.一定量的理想气体，由状态 a 经 b 到达 c (如图， abc 为一直线 )求此过程中 (1) 气体对外作的功； (2) 气体内能的增量； (3) 气体吸收的热量 (1 atm 1.013 105 Pa) 解： (1) 气体对外作的功等于线段 ca 下所围的面积 W (1/2) (1+3) 1.013 105 2 103 J 405.2 J 3 分 (2) 由图看出 PaVa=PcVc Ta=Tc 2 分 内能增量 0E 2 分 (3) 由热力学第一定律得 Q= E +W=405.2 J 3 分 15. 一定量的理想气体在标准状态下体积为 1.0 102 m3，求下列过程中气体吸收的
17、热量： (1) 等温膨胀到体积为 2.0 102 m3； (2) 先等体冷却，再等压膨胀到 (1) 中所到达的终态 已知 1 atm= 1.013 105 Pa，并设气体的 CV = 5R / 2 解： (1) 如图，在 A B 的等温过程中 , 0 TE ， 1 分 2121dd 11VVVVTTVVVpVpWQ )/ln( 1211 VVVp 3 分 将 p1=1.013 105 Pa， V1=1.0 102 m3 和 V2=2.0 102 m3 代入上式，得 QT 7.02102 J 1 分 (2) A C 等体 和 C B 等压过程中 A、 B 两态温度相同， EABC = 0 QAC
18、B=WACB=WCB=P2(V2 V1) 3 分 又 p2=(V1/V2)p1=0.5 atm 1 分 QACB =0.5 1.013 105 (2.0 1.0) 102 J 5.07102 J 1 分 16. 将 1 mol 理想气体等压加热，使其温度升高 72 K，传给它的热量等于 1.60 103 J，求： (1) 气体所作的功 W； (2) 气体内能的增量 E ； (3) 比热容比 (普适气体常量 11 Km o lJ31.8 R ) 解： (1) 5 9 8 TRVpW J 2 分 (2) 31000.1 WQE J 1 分 (3) 11 Km o lJ2.22 TQC p 11 K
19、m o lJ9.13 RCC pV 6.1VpCC 2 分 0 1 2 3 1 2 3 a b c V ( L ) p ( atm ) p p 1 p 2 V V 1 V 2 A B C 等温 17. 一定量的某种理想气体，开始时处于压强、体积、温度分别为 p0=1.2106 Pa，V0=8.3110 3m3， T0 =300 K 的初态，后经过一等体过程，温度升高到 T1 =450 K，再经过一等温过程，压强降到 p = p0的末态已知该理想气体的等压摩尔热容与等体摩尔热容之比Cp / CV =5/3求： (1) 该理想气体的等压摩尔热容 Cp 和等体摩尔热容 CV (2) 气体从始态变到末
20、态的全过程中从外界吸收的热量 (普适气体常量 R = 8.31 Jmol 1K 1) 解： (1) 由 35VpCC和 RCC Vp 可解得 RCp 25和 RCV 232 分 (2) 该理想气体的摩尔数 000RTVp 4 mol 在全过程中气体内 能的改变量为 E=CV(T1 T2)=7.48103 J 2 分 全过程中气体对外作的功为 011 ln ppRTW 式中 p1 p0=T1 T0 则 3011 1006.6ln TTRTW J 2 分 全过程中气体从外界吸的热量为 Q = E+W =1.35104 J 2 分 18.如图所示， AB、 DC 是绝热过程， CEA 是等温过程，
21、BED是任意过程，组成一个循环。若图中 EDCE 所包围的面积为 70 J， EABE 所包围的面积为 30 J，过程中系统放热 100 J，求 BED 过程中系统吸热为多少？ 解：正循环 EDCE 包围的面积为 70 J，表示系统对外作正功70 J； EABE 的面积为 30 J，因图中表示为逆循环，故系统对外作负功，所以整个循环过程系统对外 作功为： W=70+( 30)=40 J 1分 设 CEA 过程中吸热 Q1， BED 过程中吸热 Q2 ，由热一律， W =Q1+ Q2 =40 J 2分 Q2 = W Q1 =40 ( 100)=140 J BED 过程中系统从外界吸收 140 焦
22、耳热 . 2分 pVOABEDC19. 1 mol 理想气体在 T1 = 400 K的高温热源与 T2 = 300 K的低温热源间作卡诺循环（可逆的），在 400 K 的等温线上起始体积为 V1 = 0.001 m3，终止体积为 V2 = 0.005 m3，试求此气体在每一循环中 (1) 从高温热源吸收的热量 Q1 (2) 气体所作的净功 W (3) 气体传 给低温热源的热量 Q2 解： (1) 31211 1035.5)/ln ( VVRTQ J 3分 (2) 25.0112 TT . 31 1034.1 QW J 4分 (3) 312 1001.4 WQQ J 3分 20.一定量的某种理想
23、气体进行如图所示的循环过程已知气体在状态 A 的温度为 TA 300 K，求 (1) 气体在状态 B、 C 的温度； (2) 各过程中气体对外所作的功； (3) 经过整 个循环过程，气体从外界吸收的总热量(各过程吸热的代数和 ) 解：由图， pA=300 Pa， pB = pC =100 Pa； VA=VC=1 m3，VB =3 m3 (1) C A 为等体过程，据方程 pA/TA= pC /TC TC = TA pC / pA =100 K 2 分 B C 为等压过程，据方程 VB/TB=VC/TC得 TB=TCVB/VC=300 K 2 分 (2) 各过程中气体所作的功分别为 A B： )
24、(211 CBBA VVppW =400 J B C： W2 = pB (VC VB ) = 200 J C A： W3 =0 3 分 (3) 整个循环过程中气体所作总功为 W= W1 +W2 +W3 =200 J 因为循环过程气体内能增量为 E=0，因此该循环中气体总吸热 Q =W+ E =200 J 3 分 ABCp (P a )O V (m3 )1 2 310020030021.1 mol 氦气作如图所示的可逆循环过程，其中 ab 和 cd 是绝热过程， bc和 da为等体过程，已知 V1 = 16.4 L， V2 = 32.8 L， pa = 1 atm， pb = 3.18 atm，
25、 pc = 4 atm，pd = 1.26 atm，试求： (1)在各态氦气的温度 (2)在态氦气的内能 (3)在一循环过程中氦气所作的净功 (1 atm = 1.013 105 Pa) (普适气体常量 R = 8.31 J mol1 K1) 解 ： (1) Ta = paV2/R 400 K Tb = pbV1/R 636 K Tc = pcV1/R 800 K Td = pdV2/R 504 K 4 分 (2) Ec =(i/2)RTc 9.97 103 J 2 分 (3) b c 等体吸热 Q1=CV(TcTb) 2.044 103 J 1 分 d a 等体放热 Q2=CV(TdTa)
26、1.296 103 J 1 分 W=Q1Q2 0.748 103 J 2 分 22.比热容比 1.40的理想气体进行如图所示的循环已知状态 A 的温度为 300 K求： (1) 状态 B、 C 的温度； (2) 每一过程中气体所吸收的净热量 (普适气体常量 R 8.31 11 KmolJ ) 解：由图得 pA 400 Pa， pB pC 100 Pa， VA VB 2 m3， VC 6 m3 (1) C A 为等体过程，据方程 pA /TA = pC /TC TC = TA pC / pA =75 K 1 分 B C 为等压过程，据方程 VB /TB =VC TC TB = TC VB / VC =225 K 1 分 (2) 根据理想气体状态方程求出气体的物质的量 (即摩尔数 )为 pA VARTA mol 由 1.4 知该气体为双原子分子气体， RCV 25， RCP 27B C 等压过程吸热 1 4 0 0)(272 BC TTRQ J 2 分 C A 等体过程吸热 1 5 0 0)(253 CA TTRQ J 2 分 Op ( a t m )p cp ap dp babcdV ( L )V 1 V2p ( Pa ) V (m 3 ) A B C O 2 4 6 100 200 300 400 E =0，整个循环过程净吸热 600)(21 CBCA VVppWQJ A B
