1、 目录第一章 数与式1.1 数与式的运算1.1.1 绝对值1.1.2 乘法公式1.1.3 二次根式1.1.4 分式1.2 分解因式第二章 二次方程与二次不等式2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式2.1.2 根与系数的关系2.2 二次函数2.2.1 二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质2.2.2 二次函数的三种表达方式2.2.3 二次函数的应用2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组的解法第三章 相似形、三角形、圆3.1 相似形3.1.1 平行线分线段成比例定理3.1.2 相似三角形形的性质与判定3.2 三角形3.2.1 三角形的五心3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定
2、理和余弦定理及其应用3.3 圆3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理3.3.2 点的轨迹3.3.3 四点共圆的性质与判定3.3.4 直线和圆的方程（选学）初中升高中数学教材变化分析21.1 数与式的运算1.1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即 ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 两个数的差的绝对值的几何意义： 表示在数轴上，数 和数 之间的距baab离例 1 解不等式： 413x解法一：由 ，得 ；由 ，得 ；00x3x若 ，不等式可变为 ，x()4即 4，解得 x0，2又 x1，x
3、0；若 ，不等式可变为 ，(1)34x即 14，不存在满足条件的 x；若 ，不等式可变为 ，3x()即 4， 解得 x42又 x3，x4综上所述，原不等式的解为x0 ，或 x4解法二：如图 111， 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点1A 之间的距离|PA|，即 |PA|x1| ；|x3|表示x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离| PB|，即| PB| x 3|所以，不等式 4 的几何意义即13为|PA|PB| 4由|AB |2，可知1 3A Bx0 4C DxP|x 1|x 3|图 111初中升高中数学教材变化分析3点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点
4、 P 在点 D(坐标为 4)的右侧x0 ，或 x4练 习1填空：（1）若 ，则 x=_；若 ，则 x=_.54x（2）如果 ，且 ，则 b_；若 ，则ba1a 21cc_.2选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A）若 ，则 （B）若 ，则 abab（C ）若 ，则 （D）若 ，则b3化简：|x5|2x 13|（x5） 1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 ；2()abab（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 ；23()（2）立方差公式 ；2abab（3）三数和平方公式 ；()ccca（4）两数和立方公式 ；322
5、3()（5）两数差立方公式 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明例 1 计算： 22(1)(1)()xxx解法一：原式= 2= 42= 6x解法二：原式= 22(1)(1)x= 3= 6例 2 已知 ， ，求 的值4abc4abc22abc解： 22()()8c练 习1填空：（1） （ ） ；21()943aba（2） ；(m2164(m)(3 ) 2)cc2选择题：初中升高中数学教材变化分析4（1）若 是一个完全平方式，则 等于 （ 21xmkk）（A） （B ） （C） （D）2 214m213m216m（2）不论 ， 为何实数， 的值 （ ab8ab）（A）总是正数 （B）总
6、是负数 （C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3二次根式一般地，形如 的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能(0)a够开得尽方的式子称为无理式. 例如 ， 等是无理式，而23ab2ab， ， 等是有理式21x22xy1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 与2， 与 ， 与 ， 与 ，等等 一般地，23a362323与 ， 与 ， 与 互为有理化因式xxbyaxbyaxb分母有理化的方法是分母和分子都
7、乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ；而对于二次根式的除法，通常先写成(0,)abb分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 的意义2a,0,.a例 1 将下列式子化为最简二次根式：（1） ； （2） ； （3 ） b2(0)ab64(0)xy解： （1） ；3（2） ；2a（3） 6334()xyxy例 2 计算： ()初中升高中数学教材变化
8、分析5解法一： 3()3 () 39 (1)6 32解法二： 3()3(1)3131()312例 3 试比较下列各组数的大小：（1） 和 ； （2） 和 .21106426解： （1） ，(1)()1，1000又 ，2 1（2） 6(2)(26)2,1+ +又 42 ，2 4 2 ，6 6 2 .例 4 化简： 204205(3)(3)解： 2045() 204()() 204(32)()(3) 2041(3)例 5 化简：（1） ； （2） 9521(1)xx解：（1）原式 422()2()5（2）原式= ，1xx初中升高中数学教材变化分析6 ， ，所以，原式 01xx1x例 6 已知 ，求
9、 的值 3232,y2235xy解： ，()()10xy，321 2225()3089xyxy练 习1填空：（1） _ _；3（2）若 ，则 的取值范围是_ _ _；2(5)(3)5xxx（3） _ _；46910（4）若 ，则 _ _12选择题：等式 成立的条件是 （ 2x）（A） （B ） （C） （D ）0x2x02x3若 ，求 的值221abab4比较大小：2 （填“” ，或“”） 3 5 41.1.分式1分式的意义形如 的式子，若 B 中含有字母，且 ，则称 为分式当 M0 时，AB0BA分式 具有下列性质：； MAM上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像 ， 这样，分子或分abcd
10、2mnp母中又含有分式的分式叫做繁分式例 1 若 ，求常数 的值54()2xABx,AB初中升高中数学教材变化分析7解： ，(2)()254()ABxBAxx 解得 5,24,3例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数） ；1()1nn（2）计算： ；2390（ 3） 证 明 ： 对 任 意 大 于 1 的 正 整 数 n， 有 114()n（1）证明： ，()1()nn （其中 n 是正整数）成立1()（2）解：由（1）可知 23910 11()()2390 190（3）证明： ，1124()n ()()()41n 2n又 n2，且 n 是正整数， 一定为正数，1n 1 1234()12例
11、 3 设 ，且 e1，2c 25ac 2a 20，求 e 的值cea解：在 2c2 5ac2a 20 两边同除以 a2，得2e25e 2 0，(2e 1)(e2)0，e 1，舍去；或 e212e2练 习1填空题：对任意的正整数 n， ( )；1(2)12n2选择题：若 ，则 （ 23xyxy）（A） （B） （C ） （D）544565初中升高中数学教材变化分析83正数 满足 ，求 的值,xy2yxy4计算 11.34910习题 11A 组1解不等式： (1) ； (2) ；3x 327x(3) 16已知 ，求 的值y3xy3填空：（1） _；1819(2)()（2）若 ，则 的取值范围是_；
12、22aa（3） _13456B 组1填空： （1） ， ，则 _ _；2a13b225ab（2）若 ，则 _ _；20xy3xy2已知： ，求 的值1,3C 组1选择题：（1）若 ，则 （ 2abba）（A） （B ） （C） （D ）0ab0ba（2）计算 等于 1a（ ）（A） （B） （C） （D）aaa2解方程 21()3()10xx3计算： 4594试证：对任意的正整数 n，有 11234()2n141.2 因式分解初中升高中数学教材变化分析9因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法1十字相乘法例 1 分解因式：（1）x 23
13、 x2； （ 2）x 24x12；（3） ； （4） 2()aby1y解：（1）如图 111，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是 x23x2 中的一次项，所以，有x23x2( x1)(x 2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个 x 用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得x24x12( x2)(x 6)（3）由图 114，得2)aby()ayb（4） xy(x y)1(x 1) ( y+1) （如图 115 所示） 课堂练习一、填空题：1、把下
14、列各式分解因式：（1） _。652x（2） _。（3） _。（4） _。2（5）_。ax1（6） _。82（7） _。7（8） _。94m（9） _。265x（10）_。21yx2、 3 4x3、若 则 ， 。42xbaa b二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）12xx图 1111211图 1122611图 113aybyxx图 11411xy图 115初中升高中数学教材变化分析101、在多项式（1） （2） （3） （4）672x42x862x1072x（5） 中，有相同因式的是（ ）15A、只有（1） （2） B、只有（3） （4） C、只有（3） （5） D、 （1）和（2）
15、 ；（3）和（4） ；（3）和（5）2、分解因式 得（ ）28baA、 B、 C、 D、3 aba ba 1b13、 分解因式得（ ）02A、 B、 4 5C、 D、1a ba4、若多项式 可分解为 ，则 、 的值是（ ）x32 xA、 ， B、 ， C、 ， D、 ，10b0a2b102b10a2b5、若 其中 、 为整数，则 的值为（ ）mx mA、 或 B、 C、 D、 或393939三、把下列各式分解因式1、 2、2126pqp 22365ab3、 4、642y 82b2提取公因式法例 2 分解因式：（1） （2） ba52 329xx解： （1） = )1(5a（2） = =39xx32()()= 2)或 32x3(183()8x3(1)2x 22)()1x()x课堂练习：一、填空题：1、多项式 中各项的公因式是_。yzy4262、 _。xnxm3、 _。2
