1、- 1 -最短路径问题专题学习【基本问题】【问题 1】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB【 问题 2】 “将军饮马” 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点 B连 A B，与 l 交点即为P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 A B【问题 3】 作法 图形 原理在直线 、 上分别求点1l2M、N，使PMN 的周长最小分别作点 P 关于两直线的对称点 P和 P ，连PP ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短PM+MN+PN 的最小值为线
2、段 P P 的长【问题 4】 作法 图形 原理在直线 、 上分别求点1l2M、N，使四边形 PQMN的周长最小分别作点 Q 、 P 关于直线 、 的对称点 Q和1l2P 连 Q P ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长【 问题 5】 “造桥选址” 作法 图形 原理直线 ，在 、 ，mn上分别求点 M、N，使将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A，连 A B， 交于点 N，过 N 作 NMn于 Mm两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MNlABlBAl1l2Pl1l2PQmnABMN- 2 -MN ，且 AM+MN+BN
3、m的值最小【问题 6】 作法 图形 原理在直线 上求两点lM、N（M 在左） ，使，并使aAM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移 个长度a单位得 A，作 A关于的对称点 A ， 连 A B，l交直线 于点 N，将 N 点l向左平移 个单位得 Ma两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 7】 作法 图形 原理在 上求点 A，在 上求1l2l点 B，使 PA+AB 值最小作点 P 关于 的对称点1lP，作 P B 于 B，2l交 于 A2l点到直线，垂线段最短PA+AB 的最小值为线段P B的长【问题 8】 作法 图形 原理A 为 上一定点， B 为1l上一定点，在
4、上求点22lM，在 上求点 N，使1lAM+MN+NB 的值最小作点 A 关于 的对称点2lA，作点 B 关于 的对1l称点 B，连 A B 交于 M，交 于 N2l1l两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段 A B 的长【问题 9】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使的值最小 BPA连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0PBA【问题 10】 作法 图形 原理作 B 关于 l 的对称点 B作直线 A B，与 l 交点三角形任意两边之差小于第三laABMNl1l2Pl2l1ABNMlBAlAB- 3 -在直线 l 上求一点
5、 P，使的值最大 BPA即为 P 边 ABPBA最大值AB【精品练习】1如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D232662如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60，若将ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD分别与BC、CD 交于点 E、F，则CEF 的周长的最小值为（ ）A2 B C D43323四边形 ABCD 中， BD90，C 70，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小 时，AMN +ANM 的度数为（
6、）A120 B130 C110 D1404如图，在锐角ABC 中，AB4 ，BAC45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD2和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5如图，RtABC 中， C 90，B30，AB6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C重合） ，且 EDAE ，则线段 AE 的取值范围是 6如图，AOB30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边OB、OA 上，则 MPPQQN 的最小值是_ DEABCA DEPB CDA BCMNCADBMN第 2 题 第 3 题 第 4 题 第
7、5 题- 4 -7如图，三角形ABC 中，OABAOB15，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( ，0)36OC 平分AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MAMN 的最小值是_8已知 A（2，4） 、B（4，2） C 在 轴上，D 在 轴上，则四边形 ABCD 的周长最小值为 yx，此时 C、D 两点的坐标分别为 9已知 A（1，1） 、B（4，2） （1）P 为 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；x（2）P 为 轴上一动点，求 的值最大时 P 点的坐标；xPBA（3）CD 为 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；x10点 C 为AOB 内一点（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数y xBOACDy xBOAyxBOAy xBAO第 6 题 第 7 题 - 5 -CO BA
