1、- 1 -八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径【问题原型】 “将军饮马” ， “造桥选址” ， “费马点” 【涉及知识】 “两点之间线段最短” ， “垂线段最短” ， “三角形三边关系” ， “轴对称” ， “平移” 【
2、出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等【解题思路】找对称点实现“折”转“直” ，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查【十二个基本问题】【问题 1】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小连 AB，与 l 交点即为 P 两点之间线段最短PA+PB 最小值为 AB【 问题 2】 “将军饮马” 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使PA+PB 值最小作 B 关于 l 的对称点 B连 A B，与 l 交点即为P两点之间线段最短PA+PB 最小值为 A B【问题 3】 作法 图形 原理在直线 、 上分别求点1l2M、N，使PMN 的周长最
3、小分别作点 P 关于两直线的对称点 P和 P ，连PP ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短PM+MN+PN 的最小值为线段 P P 的长【问题 4】 作法 图形 原理在直线 、 上分别求点1l2M、N，使四边形 PQMN分别作点 Q 、 P 关于直线 、 的对称点 Q和1l2P 连 Q P ，与两直线交点即为 M，N两点之间线段最短四边形 PQMN 周长的最小值为线段 P P 的长lAB lPBAlBA lPBABl1l2P l1l2NMPP Pl1l2NMPQQPl1l2PQ- 2 -的周长最小【 问题 5】 “造桥选址” 作法 图形 原理直线 ，在 、 ，mn上分别求点 M、N，使
4、MN ，且 AM+MN+BN的值最小将点 A 向下平移 MN 的长度单位得 A，连 A B， 交于点 N，过 N 作 NMn于 Mm两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 6】 作法 图形 原理在直线 上求两点lM、N（M 在左） ，使，并使aAM+MN+NB 的值最小将点 A 向右平移 个长度a单位得 A，作 A关于的对称点 A ， 连 A B，l交直线 于点 N，将 N 点l向左平移 个单位得 Ma两点之间线段最短AM+MN+BN 的最小值为A B+MN【问题 7】 作法 图形 原理在 上求点 A，在 上求1l2l点 B，使 PA+AB 值最小作点 P 关于 的对称
5、点1lP，作 P B 于 B，2l交 于 A2l 点到直线，垂线段最短PA+AB 的最小值为线段P B的长【问题 8】 作法 图形 原理A 为 上一定点，B 为1l上一定点，在 上求点22lM，在 上求点 N，使1lAM+MN+NB 的值最小作点 A 关于 的对称点2lA，作点 B 关于 的对1l称点 B，连 A B 交于 M，交 于 N2l1l 两点之间线段最短AM+MN+NB 的最小值为线段 A B 的长【问题 9】 作法 图形 原理连 AB，作 AB 的中垂线与 垂直平分上的点到线段两mnMNA BlaABMNmnABMNlAABAMNl1l2ABP Pl1l2Pl2l1ABNM l2l
6、1MNABABlBA lPBA- 3 -在直线 l 上求一点 P，使的值最小BPA直线 l 的交点即为 P 端点的距离相等0PBA【问题 10】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大BPA作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边 ABPBA的最大值AB【问题 11】 作法 图形 原理在直线 l 上求一点 P，使的值最大BPA作 B 关于 l 的对称点 B作直线 A B，与 l 交点即为 P三角形任意两边之差小于第三边 ABPBA最大值AB【 问题 12】 “费马点” 作法 图形 原理ABC 中每一内角都小于120，在ABC 内求一点 P，使 PA+P
7、B+PC 值最小所求点为“费马点” ，即满足APBBPCAPC120 以 AB、AC 为边向外作等边ABD、ACE，连 CD、BE 相交于P，点 P 即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC 最小值CD 【精品练习】1如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A B C3 D23662如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，ABC60 ，若将 ACD 绕点 A 旋转，当 AC、AD 分别与 BC、CDlBA lPABlAB lBPABABC PEDCBAA D
8、EPB C- 4 -交于点 E、F ，则CEF 的周长的最小值为（ ）A2 B 32C D433四边形 ABCD 中，B D 90，C70 ，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 的周长最小时，AMN+ANM 的度数为（ ）A120 B130 C110 D1404如图，在锐角ABC 中，AB4 ，BAC45 ，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、N 分别是 AD 和2AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 5如图，RtABC 中，C90，B30，AB 6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点 B、C 重合） ，且 EDAE，则线段 AE 的取值范围是 6如图
9、，AOB30 ，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM1，ON3，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MPPQ QN 的最小值是_ （注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 RtABC 中，C90，则有 ）22ABC DEA BC DA BCMNCA DBMN- 5 -7如图，三角形ABC 中，OABAOB15，点 B 在 x 轴的正半轴，坐标为 B( ，0)36OC 平分AOB，点 M 在 OC 的延长线上，点 N 为边 OA 上的点，则 MAMN 的最小值是_8已知 A（2，4） 、B（4，2） C 在 轴上，D 在 轴上，则四边形 ABCD 的周长最
10、小值为 ，yx此时 C、D 两点的坐标分别为 9已知 A（1，1） 、B（4，2） （1）P 为 轴上一动点，求 PA+PB 的最小值和此时 P 点的坐标；x（2）P 为 轴上一动点，求 的值最大时 P 点的坐标；xPBA（3）CD 为 轴上一条动线段，D 在 C 点右边且 CD1，求当 AC+CD+DB 的最小值和此时 C 点的坐标；x10点 C 为AOB 内一点（1）在 OA 求作点 D，OB 上求作点 E，使CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若AOB30，OC10，求 CDE 周长的最小值和此时DCE 的度数y xBOACDy xBOAyxBOACO BAy xBAO- 6 -11 （1）如图，ABD 和ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于 F，连 AF，求证：AF+BF +CFCD；（2）在ABC 中，ABC30，AB 6，BC8，A，C 均小于 120，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由 12荆州护城河在 CC处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥 DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？ACBFEDBAC- 7 -
