1、基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】1.（1）若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当Rba, ab22R,2ba时取“=”）2. (1)若 ，则 (2)若 ，则 （当且仅当*, *,时取“=” ）ba(3)若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）*,R2baba(4) 当且仅当 a = b = c 时,“=” 号，、 )(333 Rcccba成立；,当且仅当 a = b = c 时,)(3 baab、“=”号成立.4.若 ，则 （当且仅当 时取“=” ）Rba, 2)(注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和
2、最小，和定积最大” （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3) 熟悉一个重要的不等式链： 。ba122ab2【技巧讲解】技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造）1：已知 ，求函数 的最大值。54x1425yx2. 当 时，求 的最大值。(8)3：设 ，求函数 的最大值。23034、求函数 的最小值。21()yxx5 已知 0,，且满足 31y，求 lgxy的最大值. 6 已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值 .y 22 1 y 27 若 ,0abc且 ()43abc,求 a
3、bc的最小值 .技巧一答案：1 解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对45x1(42)5xA要进行拆、凑项，2，,014235yx21当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。154x 1xmaxy评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。2 解析：由 知， ，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将2(8)x凑上一个系数即可。(8)yx当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。()yx评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式
4、求最大值。3、解： 230x0x 2932)3(2)3(4 xxxy当且仅当 即 时等号成立。,2,4 解析：21()yxx21()()x211()2()xx，当且仅当 即 时， “=”3()352()号成立，故此函数最小值是 。2评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。5、分析 lgl()xyx, y是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式 xy是否定值， 而已知是 3与 2的和为定值 12，故应先配系数，即将 xy变形为326，再用均值不等式. 220,3lgl()lg6131ll6gxyxy
5、解 ：当且仅当 32xy，即 ,3y时，等号成立. 所以 lgxy的最大值是 lg6. 6 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2 前面的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 3427 分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用 ab+b 来解决.换个思路，可考虑将 2abc重新组合，变成 ()abc，而 ()c等于定值43，于是就可以利用均值不等式了. 2,0,()2()43,1.223abcabcacbcaa解 ： 由 知 当 且 仅 当即 时 ，
6、 等 号 成 立故 的 最 小 值 为技巧二： 分离或裂项1. 求 的值域。2710()xyx2 求函数 的值域. +=（ ）（ ）1 解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将其分离。当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（2、解：可将上式转化为所以值域为： 1-,+)232（ ，技巧三：换元1、求 的值域。2710()xyx2、求函数25yx的最大值. 2+1-(-)1 =3+2-3xxx（ ）（ ） （ ）（ ） ） （ ）（ ）-1+012y2-1 1+=,-2+3xxxyx当 时 ， （ ） ， 此 时（ ）当 时 ， （
7、）（ ） （ （ ） ） 此 时（ ） （ ）3、已知正数 x、y 满足 ，求 的最小值。812xy4、已知 x， y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 2参考答案：1、解析：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令 t=x1，化简原式在分离求最值。 22()7(1+054=5ttty t）当 ,即 t= 时, （当 t=2 即 x1 时取“”号）。9yt评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，()(0,AmgxB然后运用基本不等式来求最值。2 分析 可先令 2xt，进行换元
8、，再使分子常数化，然后运用均值不等式来解决. 22,0,()10;12421=.32,.24tttytttttx解 ： 令 则当 时 ，当 时 ，当 且 仅 当 ， 即 时 ， 取 等 号所 以 时 取 最 大 值 为3、解法三：（三角换元法）令 则有28sin1coxy28sin1coxy2sinx2222228se8(t)(1tan)08cotanxx，易求得 时“ =”号成立，故最小值是10(8ct)(a)x1,3xy此 时18。技巧四：消元（转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围）1、 已知正数 x、y 满足 ，求 的最小值。812xy2、已知 a，b 为正实数，2b aba30，求
9、函数 y 的最小值.1ab3、设 ,xyz为正实数， 230xyz，则2xz的最小值是. 1 解法：（消元法）由 得 ，由 则81xy8x0088xyx又 2y。当且2()61162() 162()仅当 即 时“=”号成立，故此函数最小值是 18。8x,3xy此 时法一：a ， ab b 30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 1由 a0 得，0b15令 tb+1，1t16，ab 2（t ）34t 2 8 2t 2 34t 31t 16t 16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。1183 分析 本题也是三元式的最值问题.由题意得 2xzy，则可对2
10、yxz进行消元，用 ,xz表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题. 22230,96=,443,=3.xzyyzxzyxyxz解 ： 由 可 得当 且 仅 当 即 时 ， 取 “”故 的 最 小 值 为技巧五：整体代换( 条件不等式)1：已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy19xyxy2、已知正数 x、y 满足 ，求 的最小值。821 错解： ，且 ， 故 0,xy19xy199212xyxyxy。min2y错因：解法中两次连用基本不等式，在 等号成立条件是 ，在2xyxy等号成立条件是 即 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，192xy19在利用基本不等式处理问题时，列出等号成
11、立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解： ，190,xy19106yxxyx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时，4,2。min16xy变式： （1）若 且 ，求 的最小值Ryx, 12yxyx(2)已知 且 ，求 的最小值baba2、解法：（利用均值不等式）,当且仅当xy8116()20xyxy16028xy即 时“ =”号成立，故此函数最小 值是 18。816xy,3技巧六：转化为不等式1. 已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值.1ab2、已知正数 满足 ，试求 、 的范围。xy、 3xyx1 解：由已知得：30aba2b a2b2 3
12、0ab22 ab 2 ab令 u 则 u22 u300， 5 u3 ab 2 2 2 3 ，ab18，yab 2118点评：本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力；ab）（ R,如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到30）（ ab之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换ab与2）（ ,为含 的不等式，进而解得 的范围.ab1 解法：由 ，则 ，即0,xy3xyxyx解得 ，当且仅 当 即2()313(舍 )或 3yx且时取“ =”号，故 的取 值 范围是 。9,又 ，2()xy2410xy2()6x舍 或当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是3且 y,)技巧六：
13、取平方1、 已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 的最值.3x 2y2: 求函数 的最大值。15()2x解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单a b2 a 2 b 22 2 3x 2y 2 23x 2y 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0 ，W 23x2y2 102 10( )2( )2 10(3 x2y)203x 2y 3x 2y 3x 2y W 2 20 5解析：注意到 与 的和为定值。1x2()42(1)524(1)(52)8yx xx又 ，所以y当且仅当 = ，即 时取
14、等号。 故 。5x3maxy评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 的单()afx调性。1：求函数 的值域。254xy2、若 x、y ，求 的最小值。R()fx)10(1 解：令 ，则2t254y221(2)4xt因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。0,1ttt1t,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故y,2,。52所以，所求函数的值域为 。
15、5,22 解法一：（单调性法）由函数 图象及性质知，当 时，()(0)bfxa、 (0,1x函数 是减函数。4()fx证明：任取 且 ，则12,(0,12x1212124()()()fxfxx，12()4xx 124) ， ，12010,x则 ，即 在 上是减函数。12()()()fxfff4()fx(0,1故当 时， 在 上有最小值 5。4x0,解法二：（配方法）因 ，则有 ，易知当()fx2()4x时， 且单调递减，则 在 上也是减函数，01x20x2(0,1即 在 上是减函数，当 时， 在 上有最小值 5。4()f(,1x()fx,解法三：（导数法）由 得 ，当 时，4()f24(，则函
16、数 在 上是减函数。故当 时，24()10fx4()fx(0,11x在 上有最小值 5。(,解法四：（拆分法） ，当且仅当)fx)(x3(x215时“=”号成立，故此函数最小 值是 5。1x评析：求解此类问题，要注意灵活选取方法，特 别是单调性法、 导数法具有一般性，配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。练习：112sin,)i2yx、2.若实数满足 ，则 的最小值是 .baba3分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且 定值，因此考虑利用均值定理ba3求最小值， 解： 都是正数， ba3和 ba362baba当 时等号成立，由 及 得 即当 时，11的最小值是 6ba33 若 ，求 的最小值.并求 x,y 的值44logl2xy1xy求下列函数的最大值： 23(3)0)2sinco(0)2x解析： ，,2xx 23(3)0)()yxx，当且仅当 即 时， “=”号成立，故此函数最大3()11值是 1。 ，则 ，欲求 y 的最大值，可0,sin0,cos2xx y先求 y2 的最大 值。24sincoxsinc221(i)x,当且仅当 ，即22314()7x snco(0)xtan2x时，不等式中的“ =”号成立，故此函数最大值是 。tanxrc 239
