1、1利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题（含解答）（经典）一基本不等式的常用变形1.若 ，则 (当且仅当 时取“=” ）; 若 ，则 (当且仅0x12x1x0x12x当 _时取“=” ）若 ，则 (当且仅当_时取“=” ）x-2xx即 或2.若 ，则 (当且仅当_时取“=” ）0ab2ab若 ，则 (当且仅当_时取“=” ）-2ab即 或注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大” （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”二、利用基本不等式求最值的技巧：技巧一：直接求：例 1 已知 ，且满足 ，则
2、xy 的最大值为 _。,xyR134xy解：因为 x0，y0，所以 (当且仅当 ，即 x=6，y=8 时取等号) ，23xyA34xy于是 ， ，故 xy 的最大值 3.13y3.变式：若 ，求 的最小值.并求 x,y 的值44logl2xy1xy解： 即 xy=1644ll 2log4当且仅当 x=y 时等号成立2112xyyx技巧二：配凑项求例 2：已知 ，求函数 的最大值。5445x解： ，,0xx112435yx21当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。15 maxy例 3. 当 时，求 的最大值。(8)x2解：当 ，即 x2 时取等号 当 x2 时， 的最大值为 8。(82
3、)yx变式：设 ，求函数 的最大值。30)3(4y解： 2x0x 293)3( xxx当且仅当 即 时等号成立。,323,4例 4. 求 的值域。2710()xyx解：当 ,即 时, （当且仅当 x1 时取“”号）。421)59yx（练习：1、已知 ，求函数 的最大值.；01x(2、 ，求函数3(23)yx技巧三：“1”的巧妙利用（常数代换）错解： ，且 ， 故 0,xy19xy199212xyxyxy。min12错因：解法中两次连用基本不等式，在 等号成立条件是 ，在2xyxy等号成立条件是 即 ,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，192xy19在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条
4、件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解： ，190,xy19106yxxyx当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时，4,2。min16xy3变式： （1）若 且 ，求 的最小值Ryx, 12yxyx(2)已知 且 ，求 的最小值ba,ba2：已知 ，且 ，求 的最小值。0,xy19xyxy(3) 设 若 的最小值为（ ） ,.ab13abab是 与 的 等 比 中 项 ， 则A 8 B 4 C 1 D 4解析：因为 ，所以 。ba又 所以 ，当且仅0, 422)(1 babaab当 即 时取“ =”。故选（） ba2技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的
5、情况，应结合函数的单调性。例：求函数 的值域。()fx254xy解：令 ，则24()t2x221(2)tx因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。10,ttt1t,因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故y,2,。52所以，所求函数的值域为 。5,2练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1） （2） (3)231,(0)xyx1,3yxsin,(,)i的最大值.技巧六、已知 x，y 为正实数，且 x 2 1，求 x 的最大值.y 22 1 y 24分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab 。a 2 b 22同时还应化简 中 y2 前面
6、的系数为 ， x x x1 y 212 1 y 2 2下面将 x， 分别看成两个因式：x 即 x x 34 1 y 2 2 342技巧七：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y 的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a ， ab b 30 2bb 1 30 2bb 1 2 b 2 30bb 1由 a0 得，0b15
7、令 tb+1，1t16，ab 2（t ）34t 2 8 2t 2 34t 31t 16t 16t ab18 y 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。118法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab22 ab 2 ab令 u 则 u22 u300， 5 u3 ab 2 2 2 3 ，ab18，yab 2118点评：本题考查不等式 的应用、不等式的解法及运算能力； ab）（ R,如何由已知不等式 出发求得 的范围，关键是寻找到30）（ ab之间的关系，由此想到不等式 ，这样将已知条件转换ab与2）（ ,为含 的不等式，进而解得 的范围.ab变式：1.已知 a0，b0 ，ab( a
8、b)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧八、取平方5、已知 x，y 为正实数，3x 2y10，求函数 W 的最值.3x 2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ，本题很简单a b2 a 2 b 22 2 3x 2y 2 23x 2y 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W0，W 23x2y 2 102 10( )2( )2 10(3x 2y)203x 2y 3x 2y 3x 2y W 2 20 55变式: 求函数 的最大值。152()2yxx解析：注意到 与 的和为定
9、值。152()4(2)4(1)(52)8y xx又 ，所以0y当且仅当 = ，即 时取等号。 故 。x2x3maxy评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。技巧 9：消元例 1.设 ,xyz为正实数， 230xyz，则2yxz的最小值是 _.2220,96=,443,=3.zzxxyyxz解 ： 由 可 得当 且 仅 当 即 时 ， 取 “”故 的 最 小 值 为技巧 10.换元例 1. 求函数25xy的最大值. 2,0,()10;12421=
10、.32,.24tttytttttx解 ： 令 则当 时 ，当 时 ，当 且 仅 当 ， 即 时 ， 取 等 号所 以 时 取 最 大 值 为练习题：1.若 a0，b0，a，b 的等差中项是 ，且 a ，b ，则 的最小值为( )12 1a 1bA2 B3 C4 D562. 已知三个函数 y2 x，yx 2，y 的图象都过点 A，且点 A 在直线 1(m 0，n0)8x xm y2n上，则 log2mlog 2n 的最小值为 _3. 已知正数 a，b，c 满足：a2bc1 则 的最小值为_1a 1b 1c4. 设 M 是ABC 内一点，且 2 ，BAC30，定义 f(M)(m，n，p) ，其AB
11、 AC 3中 m，n，p 分别是MBC， MCA，MAB 的面积若 f(M) ，则 的最小值(12，x，y) 1x 4y是_5. 某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量 Q(万件) 与广告费 x(万元 )之间的函数关系为 Q (x0)已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，3x 1x 1每生产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和(1)试将年利润 W(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？6. 设正实数 ,xyz满足22
12、340xyz,则当yz取得最大值时,21xyz的最大值为 （ ）A0 B1 C9D37.已知 22,236,4abccabc则 的 最 小 值 为 _.8. 已知 a0，b0，a+b=2，则 y= 的最小值是A72B4 C 92D59. 设 ,xy为实数，若 21,xy则 xy的最大值是 。10.已知 x0，y0,x+2y+2xy=8，则 x+2y 的最小值是11. 设 ，则 的最小值是0a b 2ab（A）1 （B）2 （C）3 （D）4B. 4 C. D. 1211.7习题答案：1. 为 a、b 的等差中项，ab 21.a b 1 112 12 1a 1b 1a 1b1 ， ， ab .原
13、式 14.当且仅当 a=b=1/2 时，a bab 1ab ab a b2 a b24 14 的最小值为 5.故选 D.2. 由题易得，点 A 的坐标为(2,4)，因为点 A 在直线 1(m 0，n0)上，所以xm y2n1 2 ，mn 16，所以 log2mlog 2nlog 2(mn)4，当且仅当 m=n=4 时，2m 42n 2m42n故 log2mlog 2n 的最小值为 4.3.答案 64 2解析 421a 1b 1c a 2b ca a 2b cb a 2b cc (2ba ab) (ca ac) (cb 2bc) 2 2 4 64 ，2 2 2等号在 ， ， 同时成立时成立2ba
14、 ab ca ac cb 2bc即 ac b 1 时等号成立2224.答案 18解析 | | |cos30AB AC AB AC |AB|AC|2 ，|AB|AC |4，32 3由 f(M)的定义知， SABC xy，12又 SABC |AB|AC|sin301，12xy (x0，y 0)12 2(xy) 2 2(52 )18，等号在 ，即 y2x 时成1x 4y (1x 4y) (5 yx 4xy) 4 yx 4xy 13立， min18.(1x 4y)5. 解析 (1) 由题意可得，产品的生产成本为 (32Q3) 万元，每万件销售价为150% 50%，32Q 3Q xQ8年销售收入为( 1
15、50% 50%)Q32Q 3Q xQ (32Q3) x，32 12年利润 W (32Q3) x(32 Q3) x32 12 (32Q3x ) (x0) 12 x2 98x 352x 1(2)令 x1t(t1)，则W 50 . t 12 98t 1 352t (t2 32t)t1， 2 8 ，即 W42，t2 32t t232t当且仅当 ，即 t8 时， W 有最大值 42，此时 x7.t2 32t即当年广告费为 7 万元时，企业利润最大，最大值为 42 万元6.B；7.12；8.C；9. 10510.解析：考察均值不等式，整理得28)2(yxyxyx 03242yxyx即 ，又 ，04011.解析： w_w w. k#s5_u.c o*m 21ab21()abab224，当且仅当 ab1,a(ab)1 时等号成立()()b如取 a ,b 满足条件.2答案：D
