3.5 角动量的本征值和本征态 n 本节讨论一般的角动量的本征值和本征态，并给出角动量算符矩阵表示的矩阵元。一、对易关系和本征态n 角动量算符的基本对易关系为 这里Ji是绕i轴无穷小角转动的生成元。 n 定义角动量的平方算符 由角动量算符的基本对易关系可知J2与任何Ji对易。n 由于不同Ji不对易, 只能选择某个Ji与J2的共同本征态为基,通常选J2与Jz的共同本征态。n 若用|a,b标记该本征态，则有 J2 |a,b =a |a,b ，Jz |a,b =b |a,b 。 二、阶梯算符 n 定义: J=Jx iJy，J是非厄米的。n 容易证明：n 由于 J|a,b 也是Jz的本征态，对应于本征值 。 既J作用于Jz的本征态结果仍为Jz的本征态，但相应本征值增加 。因此， J称为阶梯算符，或角动量的升(降)算符，是自旋升降算符在一般角动量情形的推广。 又由于J与J2对易, J不改变J2的本征值. 即： J|a,b = c|a,b ， c由归一化条件确定。三、J2与Jz的本征值 n 由于 ，Jx、Jy是厄米算符，其任意态的期望值为实数，故 a-b20 对给定a, b有上限bmax和下限bm
