返回 返回 后页 后页 前页 前页2 一致收敛函数列与函数项级数的性质 一致收敛性的重要性在于可以将通项函数的许多解析性质遗传给和函数，如连续性、可积性、可微性等，这在理论上非常重要.返回 返回返回 返回 后页 后页 前页 前页定理13.8 ( 极限交换定理 ) 设函数列在 上一致收敛于 , 且对每个 n, 即 证 先证 是收敛数列. 对任意 , 由于 一 致收敛, 故存在正整数 N, 当 nN 及任意正整数 p, 对一切 有 返回 返回 后页 后页 前页 前页从而于是由柯西准则可知 是收敛数列,即下面证明注意到返回 返回 后页 后页 前页 前页只需证明不等式右边的每一项都可以小于事先给定 的任意正数即可. ， , 因此对任由于 一致收敛于收敛于同时成立. 特别当 时, 有, 有 , 存在正数 , 当 时, 对任意 返回 返回 后页 后页 前页 前页又因为 故存在, 当时,也有返回 返回 后页 后页 前页 前页这就证明了定理指出: 在一致收敛的条件下, 中关于独 立变量 x 与 n 的极限可以交换次序, 即(1) 式成立. 上一致收敛, 且存在, 则有返回 返回 后页 后页 前页 前页
