1、 1 轴对称变换 1、 在 ABC 中，由 A 点向 BC 边引高线，垂足 D 落在 BC 上，如果 2CB ，求证： AC CD BD. 2、如图所示，在四边形 ABCD 中， BC CD ， 60BCA ACD ，求证： AD CD AB. 3、 如图所示，在 ABC 中， AB AC ， BE 、 CF 为 ABC 的两条高，求证： AB CF AC BE . 4、 如图所示，在四边形 ABCD 中， 30AB ， 48AD ， 14BC ， 40CD ， 90ABD BDC ，求四边形 ABCD 的面积 . 48401430ABCDAB CDDCBAEFCBA2 5、 在凸四边形 AB
2、CD 中， 105ADB ABC , 75CBD.如果 15AB CD厘米，求四边形 ABCD的面积 . 6、 (1993 年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题 ) 已知 点 M 是四 边形 ABCD 的 BC 边的中点，且120AMD,证明： 12AB BC CD AD . 7、 设 M 是凸四边形 ABCD 的边 BC 的中点， 135AMD ，求证 ： 22AB BC CD AD . 8、 如图所示，在 ABC 中， A 的平分线交 BC 于点 D ，已知 2BD DC AD ，且 45ADB ，求 ABC的 各个内角 . AB CDMA BCDMDCBA45 D CBA3 9、 如图所示，已
3、知在 ABC 中， 6AB ， 3AC ， 120BAC， BAC 的平分线交 BC 于 D ，求 AD之 长 . 10、 如图所示，在 ABC 中， 2ACB ABC ， P 为三角形内一点， AP AC ， PB PC ，求证：3BAC BAP . 11、 如图所示，在 ABC 中， 60B ， 100A ， E 为 AC 的中点， 80DEC， D 是 BC 边上的点， 1BC ，求 ABC 的面积与 CDE 的面积的两倍的和 . 12、 如图所示，在 ABC 中， AB AC ， AD 是 BC 边上的高，点 P在 ABD 内部，求证： APB APC . CBADPCBAED CBA
4、PD CBA4 14、 在 ABC 中， AB AC ， 60 120A ， P 为 ABC 内部一点， PC AC ， 120PCA A ，求 CBP 的度数 . 15. 如图所示， P 为 ABC 边 BC 上的一点，且 2PC PB ，已知 45ABC， 60APC，试求 ACB的度数 . PCBACPBA5 参考答案 1 题 【 解法 1】 如图所示，以 AD 为对称轴翻折 ADC 到 1ADC 的位置，则 1C 在 BD 上， 1AC AC ， 1CD CD ，1 2AC D ACD B . 在 1ABC 中，根据外角定理可知 11ABC BAC ， 所以 11AC BC ， 故 1
5、 1 1 1A C CD A C C D B C C D B D . 【 解法 2】 以 AD 为对称轴翻折 ABD 到 AED 的位置， 则 12A E D A B D A CB ， 从而 CACE . 进而 A C CD CE CD D E ， 而 DE BD (由“翻折”的特点决定 )， 故 AC CD BD. 【 解法 3】 回顾一下我们在第 10 讲中所学的知识，可知 2 ()c b a b，即22c b ab . 注意到 2 2 2 2 2 2 2( ) 2c b B D C D a x x a a x ， 故 2 2a ax ab， 即 2a x b， 亦即 a x b x ，
6、故 BD AC CD. 2 题 【 解析 】 注意到 60BCA ACD ，这 提示我们可以进行对称变换 以“创造”出 60 角 . 以 AC 为对称轴将 DAC 翻折到 DAC 的位置，连接 BD . 则 CD CD BC， 6 0B C D B C A A C D B C A A C D ， 故 DBC 为等边三角形 . 从而 A D CD A D D B A B ， 等号成立时 AC 平分 BAD . AB CDC 1AB CD Ea -x xc bD CBADDCBA6 3题 【 解法 1】 将 AB CF AC BE 改写为 AB AC BE CF ，可形成下面的思路： BAC 的平
7、分线记为 l ，作点 C 关于 l 的对称点 C ，作点 F 关于 l 的对称点 F ，过点 C 作 BE 的垂线 CD， 因为AB AC BC， B E CF B E C F B D ， 而 BC BD ， 故 AB CF AC BE . 【 解法 2】 我们用“分析法”寻求思路： AB CF AC BE 22( ) ( )A B C F A C B E 2 2 2 222A B C F A B C F A C B E A C B E . 注意到 2 2 4 ABCA B CF A C B E S ， 2 2 2AB AE BE， 2 2 2AC AF CF， 故 22A B C F A C
8、 B E A E A F A E A F . 而由 ABE ACF 、 AB AC AE AF . 4题： 【 解析 】 直接计算四边形 ABCD 的面积有困难， 注意到 90ABD BDC ， 我们以 BD 的垂直平分线l 为对称轴，作 ABD 的关于 l 的轴对称图形 ADB ，从而可以将角度集中 . 1ABD ADBSS， 30A D AB ， 48A B AD ，A DB ABD ， 所以 A D C A D B B D C 90ABD BDC ， 因此， ADC 是直角三角 形 . 由勾股定理求得 22 3 0 4 0 5 0AC . 在 ABC 中， 50AC ， 48AB ， 1
9、4BC . 而 2 2 2 2 1 4 4 8BC A B 196 2304 2500 2250 AC . 由 勾股定理 的 逆定理 可 知 90A BC. ABCD A BCDSS A BC A DCSS 1122A B BC A D CD 114 8 1 4 3 0 4 022 336 600 936 . lDC F EFCBA48401430A ABCDl7 5题： 【 解析 】 如图所示，以 BD 边上的中垂线为对称轴作 DBC 的轴对称图形 1BDC ， 则1DBC BDCSS， 1 75C DB CBD ， 1 105 75 180A D B C D B ， 故 A 、 D 、 1
10、C 共线 . 又因为 1 0 5 7 5 3 0A B D A B C CB D ， 由 ABD 可知 1 8 0 1 0 5 3 0 4 5A ， 而 1 15C B CD AB ， 故 1 45CA . 因此 1 90ABC ， 1ABC 是等腰直角三角形 . 故11 1 5 1 5 1 1 2 .52A B CD A B CSS 6 题： 【 解析 】 显然，要证题设的不等式，应当把 AB ， 12BC， CD 三条线段首尾连接成一条折线， 然后 再与线段 AD 比较 .要实现这一构想，折线之首端应与 A 点重合，尾端应与 D 点重合 ， 这可由轴对称来实现 . 以 AM 为对称轴，作点
11、 B 关于 AM 的对称点 1B ，连接 1AB 、 1MB ， 则 1AB AB ， 1MB MB ，即 1ABM ABM ，由此 1B MA BMA . 再以 DM 为对称轴，作点 C 关于 DM 的对称点 1C ，连接 1DC 、 1MC ， 则 1DC DC ， 1MC MC ，即 1DCM DCM ， 由此 1C MD CMD . 而 120AMD，所以 1 8 0 1 8 0 1 2 0 6 0B M A C M D A M D . 注意到 11 60B M A C M D B M A C M D ， 因此 1 1 1 11 2 0 ( )B M C B M A C M D 120
12、 60 60 ， 而1112MB MC BC， 所以 11BMC 是等边三角形，1112BC BC. 由于两点之间以直线段为最短 ， 所以 1 1 1 1AB B C C D AD ， 即 12AB BC CD AD . A BCDC 1B 1AB CDMC 18 7 题： 【 解析 】 作点 B 关于 AM 的对称点 B ，作点 C 关于 DM 的对称点 C ， 连接 AB 、 BC 、 CD， 则 M B M B M C M C ， 且 AB AB ， CD CD . 而 90C MB ， 则 2 2 2B C M B BC， 故 2 2A B B C C D A B B C C D A
13、D . 8 题： 【 解析 】 AD 是角平分线提示我们可以进行“翻折” . 将点 C 翻折到 C 的位置，且 C 在 AB 的延长线 上 ， 且 AC AC ， DC DC ， DC DC= . 延长 CB 至点 E ，使 ED DC ， 则 2BD ED AD ， 故 E BAD DAC ， 从而 222AC ED DC DC ， 则 2AC DC CC， 故 ACC 为等边三角形 . 故 60BAC ， 15ACB . 9 题： 由于 AD 平分 BAC ，因此这就提供了以 AD 为轴进行对称变换 的可能性 . 取 AB 的 中点 C ， 连接 CC ，交 AD 于 O ，易知 AOC
14、与 AOC 关于 AD 对称， 且 AO CC . 由于 30ACO， 3AC ，所以 32AO. 延长 AC 至 B ，使 6AB ，连接 BB 交 AD 的延长线于 点 E . 显然 ABE 和 ABE 关于 AE 对称，且 AE BB . 由于 OC 是 AEB 的中位线， 所以 32AO OE， 1122OC EB BE. 因为 OC ODBE DE， 所以 12ODDE. 所以 332OD， 12OD. 于是 31 222A D A O O D . C B MDCBAEC 45 D CBAC CBAOEDB 9 10 题： 【 解析 】 由已知条件 PB PC ，考虑作直线 PM B
15、C 于 M ，并以 PM 为对称轴将 APC 翻折 至 APB的位置 ， 连接 AA . 由轴对称的性质有 /AA BC ， 2A B C A CB A B C . 因为 A AB ABC A BA ， 于是 A A A B A C A P A P ， 即 AAP 是正三角形， 从 而 可 得 60A B C A A B B A P ，2 1 2 0 2A C B A B C B A P . 再由 ABC 三内角之和为 180 ， 即 ( 6 0 ) ( 1 2 0 2 ) 1 8 0B A P B A P B A C ， 整理后得 3BAC BAP . 11 题： 【 解析 】 将 ABC
16、补成一个等边 三角形，并作 ABC 的对称三角形 ，可以发现等边 三角形的面积等于24ABC CDESS . 作 60BCF，其中 点 F 在 BA 的 延长线上，则 BFC 为等边三角形 .作 CH BF 于 点 H ， 并取 点 A 关于 点 H 的对称点G ， 则有 1 8 0 8 0C G H C A H B A C . 而 80DEC， 1 8 0 8 0E D C D E C A C B ， 故 CGA CED ，且相似比为 2 . 则 4CAG CDESS . 而 ABC GFCSS ( ABC GFC )， 故 2ABC CDESS 12 FBCS 38. 12 题： 【 解析
17、 】 作点 P 关于 AD 的对称点 P ，连接 AP 并延长交 PC 于点 Q ，连接 PC. 因为 AB AC ， AD 是 BC 边上的高， 易得 AP C APB . 因为 AP C P QC ， P QC APC ， 故 APB APC . PCBAMA GHFED CBADQPPCBA10 14 题： 【 解析 】 容易求得 1 302PAC A ， 1 302B A P B C P A . ABC 的对称轴为 AD ，作点 P 关于 AD 的对称点 P ， 则 60PAP ， 故 APP 为等边三角形， 则 PC平分 ACP ， 1 602PCP A . 故 11 ( 3 0 )
18、 ( 6 0 ) 3 022CB P B CP A A . 15 题： 【 解析 】 作出点 C 关于直线 AP 的对称点 1C ，连接 1BC 、 1PC 、 1AC ，则 1 2C P CP BP ，如图所示 . 11180C P B A P C A P C 1 8 0 6 0 6 0 6 0 . 取 1CP的中点 M ， 连接 BM ，则 BMP 为等边三角形， 1BM MP MC， 故11 1 302C B M B C M B M P ， 1 90CBC. 又因为 45ABC，故 1ABC ABC ，故 AB 平分 1CBC ， 故 A 点到直线 CP 、 1PC 、 1BC 等 距， 从而 1AC 是 1BCP 的外角平分线 ， 所以1 1 (1 8 0 3 0 ) 7 52A C B A C P DP PCBACPBAC 1M
