1、 东华理工大学毕业设计 摘要 基于 MATLAB 的水准网和测边网平差程序设计 摘 要 MATLAB 是目前在研究机构广泛应用的一种数值计算及图形工具软件， 它的特 点是语法结构简明、数值计算高效、图形功能完备，特别适合非专业编程员完成数值 计算、科学试验处理等任务。以往的测量数据处理方法需要编制特定的处理矩阵运算 程序，而且程度复杂，难度大。 本文介绍一种基于 MATLAB 的水准网和测边网的程序设计方法，与其它算法语 言相比，具有编程简单，运算速度快的特点。文中分别阐述了水准网和测边网程序的 理论基础、实 现步骤和运行结果。通过实例的分析，总结出利用 MATLAB 对测量数 据处理有很大的
2、应用价值，它缩短了编程的时间，提高工作效率。 关键词： MATLAB； 水准网； 测边网； 程序设计 ： 1 东华理工大学毕业设计 摘要 ABSTRACT MATLAB is one species of numerical-values calculation and graphic tools software which is widely used to apply at research institutions at present. The particularities are: concise grammar-structure、 highly efficient in nu
3、merical values calculating、 complete function of graphs、 especially it is adapted to evildoing professional programmer to accomplish the tasks that are numerical-values calculating and scientific experiments treating. The ancient methods of measured data-processing need establishing special proceedi
4、ngs of treating matrices operation, moreover, it is complex and greatly difficult. This article introduces one programming method dealing with leveling and measuring edge network based on MATLAB. Compared with other algorithm language, it has particularities which are simply programming and quickly
5、operating. The article separately expatiate the theories basics、 realizing steps and running results at leveling and measuring edge network. With the analysis of examples, it has prodigious application value in measured data-processing by use of MATLAB. Moreover, it shortens programming time and im
6、proves working effectiveness. Key words： MATLAB； leveling network； measuring edge network；programming ： 2 东 华 理 工 大 学 毕 业 设 计 目录 目 录 . . 绪论 . 4 . 1. MATLAB 软件简介 . 5 2 MATLAB 在 测 量 平 差 中 的 应用 . 6 . 2.1 测 量 平 差 原 理 的 概述 . 6 2.2 平差程序总体方案 . 7 3.1 程 序 的 功 能 . 8 3.2 水 准 模 型 网 的 间 接 平差 . 8 3.2.1 “权 ”值的确定 .
7、 8 3.2.2 水准路线的平差计算 . 9 3.2.3 精度评定 . 11 3.3 水 准 网 间 接 平 差 程 序 信 息 设计 . 11 3.4 水准网程序与使用说明 . 12 3.4.1 水 准 网 程 序 流 程 图 . 12 3.4.2 水 准 网 程 序 的 使用 . 12 3.5 案例 . 13 . 4. 测边网平差程序设计 . 15 4.1 数学模型 . 15 4.1.1 误 差 方 程 和 法 方 程 的 组成 . 15 4.1.2 边长观测的权 . 15 4.1.3 解算法方程 . 16 4.1.4 精度评定 . 19 4.2 测 边 网 平 差 信 息 设 计 . 2
8、0 4.2.1 主 要 的 技 术 要求 . 21 4 3 利用 MATLAB 的 绘 图 语 句 绘 制 网图 . 21 4.4 测边网程序和使用说明 . 22 4.5 程序代码说明： . 23 4.6 程序的使用算例 . 25 结 论 . 29 . 致 谢 . 30 . 参 考 文 献 . 31 . 附录一 . 32 . 附录二 . 36 附录三 . 46 . 3 东华理工大学毕业设计 绪论 绪论作为一名测量技术人员，如果不掌握一门 PC 机编程语言与便携计算工具，要想 提高测量工作的效率几乎寸步难行。测量需求的多样性与复杂性，造就了测量计算鲜 明的个性化特点，这就是在商业测量计算软件高度
9、发达的今天，掌握一种实用的程序 语言进行编程计算仍有广泛的市场需求的重要原因。 当 今 较 流 行 的 计 算 机 程 序 语 言 基 本 上 都 是 基 于 Windows 的 ， 例 如 Turbo 这些程序语言的优势是基于对象及可利用 Pascal,Visual Basic,Visual C,Borland C+等， Windows 丰富的系统资源， 应用它们可以开发出界面非常丰富和友好的应用程序， 其 劣势主要有以下几点： 1.Windows 程序都非常庞大，学习并熟练掌握它们并非易事。 2.虽然市场上已有的多种专用的测量平差软件都是采用 C 语言开发的，但这些软 件价格都比较贵，而且
10、都带有加密狗，一次只能供一个用户使用。出于商业目的，开 发商不会公开程序源代码，这 为修改程序功能以适应用户的特殊需求带来了不便。 3.在测量生产中，经常需要根据工程的实际情况进行一些个性化的数值计算工作， 这些数值计算工作无固定模式， 这就需要求测量技术人员最好能熟练掌握一种适用于 数值计算的程序语言，以便提高测量计算的效率。 4.C 语言的数值计算语句不够丰富，例如，在测量平差计算中，经常需要进行的 矩阵运算，尤其是解法方程的矩阵求逆不能直接使用语句实现，而必须应用计算机算 法编程实现。 如果不是基于商业软件开发，只为满足实际测量工作计算需要，则 C 语言的劣势 就变成了 MATLAB 语
11、言的优势。 4 东华理大学毕业设计 MATLAB 软件简介 1. MATLAB 软件简介 MATLAB 是从Matrix(矩阵 )和 Laboratory(实验室 )各取前 3 个字母组成的 ,意思是 矩阵实验室 ,是美国MathWorks 公司于 20 世纪 80 年代中期推出的一种交互式、 面向对象 的科技应用软件 ,是一个为科学和工程计算而专门设计的高级交互式软件包。 MATLAB 集成了图示与精确的数值计算 ,是一个可以完成各种计算和数据可视化的强有力工具 , 其优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出 ,成 为以矩阵运算为主要工作方式的线性代数、概率论和数
12、理统计、自动控制、数字信号 处理、动态系统仿真等领域教学和科研工作者的有力武器。随着该软件自身的发展及 市场的需求 ,其功能日趋完善 ,前其最高版本7.0 版已经推出 ,随着版本的不断升级 ,它 的数值计算及符号计算功能得到了进一步完善。 MATLAB 是以矩阵作为数据操作的基本单位 ,矩阵的生成、运算、转置、求逆等非 常简单。 在MATLAB 环境中 ,不需要对创建的变量对象给出类型说明和维数 ,所有的变量 都作为双精度数来分配内存空间 ,MATLAB 将自动地为每一个变量分 配内存。 MATLAB 语 言起源于矩阵运算 ,并已经发展成为一种高度集成的计算机语言 ,它提供了强大的科 学运算、
13、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、便捷的与其他程序 和语言接口的功能。 MATLAB 系统主要包含 5 部分的内容 :MATLAB 工作环境、 Mablab 数 学函数库、 MATLAB 语言体系、句柄图形、 MATLAB 应用程序接口 (API)。 MATLAB 系统主 要功能包括 :数值计算功能、符号计算功能、数据分析和可视化、文字处理功能、 SIMULINK 动态仿真功能。同时 ,MATLAB 又是开放的 ,除了内部函数之外 ,所有的 MATLAB 主包文件和各工具包文件都是可读可改的源文件 ,用户可以作为参考掌握其用法 ,并 可对其修改以适应自己的需要 ,也可加入自己编
14、写的文件构成新的工具包。 例如 ,随着 GPS 的 广 泛 应 用 ,Orion Dynamics and Con2t rol Corporation 、 Constell Inc. GPSSoft LLC、 NavsysCorporation 等多家公司都相应开发出了适于GPS 数据处理的 MATLAB 工具箱。 MATLAB 是一个集数值计算、图形管理、程序 开发于一体的功能十分强大的系统。 将 MATLAB 应用于测量数据的处理是一件非常有意义的工作。Mo2hamed 等曾成功地在 MATLAB 系统中利用白滤波技术研究动态解算 GPS 载波相位信号的模糊度问题。因为 测量数据的处理特别
15、是测量平差主要应用矩阵运算 ,而 MATLAB 又特别易于做矩阵运 算 ,因此 ,研究开发基于 MATLAB 的测量平差方法具有极好的应用价值。 5 东华理大学毕业设计 MATLAB 在测量平差中的应用 2 MATLAB 在测量平差中的应用测量平差数据处理主要是基于矩阵的运算 ,常用的 矩阵运算主要是矩阵的生成、 转置、求逆和矩阵求广义逆等。在 MATLAB 环境中 ,不需要对创建的变量对象给出类型 说明和维数 ,所有的变量都作为 MATLAB 中的 M 文件的语法与其他的高级语言类似 ,是一 种程序化的编程语言 ,同时也是一种解释性的编程语言 ,即逐行解释运行程序 ,使程序 容易调试 ,计算
16、更为简捷 ,而且对于平差原理理解和掌握变得更容易。另外 ,MATLAB 语 言与数学语言比较接近 ,更容易掌握和理解。 2.1 测量平差原理的概述测量平差的函数模型有条件方程和观测方程。 以条件方程为函数的模型的最小二 乘平差称为条件平 差；在条件方程中，根据需要如果还设有一定数量的未知数，则称 为附有参数的条件平差；以观测方程为函数模型的最小二乘平差称为间接平差；如果 观测方程中的某些参数不独立，则这些不独立参数必然存在一些条件，称这种平差模 型为附有条件的间接平差。本文的两个程序都采用间接平差模型。 对于一个实际平差问题 ,根据所选参数的个数、选什么量为参数以及参数之间是 否函数独立 ,经
17、过仔细推敲可以发现附有条件的间接平差模型本身就是各种经典平差 模型的概括模型 ,其余的经典平差模型 ,如条件平差模型、间接平差模型、附有未知数 的条件平差模型 和附有限制条件的条件平差模型都是它的特例。 间接平差的公式汇集： 间接平差模型为 ? ? ? T V PV min ? ? V = BX ?l 系数矩阵 B 满秩，即 rank(B)=t 法方程及解为： （ 2 1） $ N bb x ? f e = 0, ( N ?1bb = B T PB , f e = B T Pl ) （ 2-2） （ 2-3） （ 2-4） （ 2-5） （ 2-6） （ 2-7） $ x = N ?1bb f
18、 e $ 参数的平差值： X = X 0 + x 观测量的平差值： $ = L + V L 单位权中误差： V T PV 0 = n?t D 平差参数的协方差阵： X X = 2 0 N ?1bb 6 东华理大学毕业设计 MATLAB 在测量平差中的应用 平差函数的协方差阵： = 2 0 F T N ?1bb F Q$ $ （ 2-8） 2.2 平差程序总体方案 MATLAB 号称为全球工程师的共同语言， 其语法和 C 语言相似， 但它有强大的数值 计算和绘图功能，这使之在工程应用方面的计算更出色，本文就基于这种程序设计语 言环境设计一个控制网平差程序。 该程序包含了一个高程 控制网平差程序和
19、测边网平 差程序。 本程序适用于各种等级的高程网和测边网，程序在设计过程中，始终考虑数据的 储存量。因而本程序不储存误差方程的系数和常数项，对待定点数较多的平差网，组 成法方程的系数矩阵是个稀疏矩阵，如待定点的编号恰当，法方程的系数会集中在主 元系数的两侧形成带状。为减少法方程系数的储存量，只要按行储存下三角阵或按列 储存上三角阵中第一个非零系数起的系数，就是通常叫做维变带宽储存方法。 7 东华理大学毕业设计 水准网平差程序 3. 水准网平差程序 3.1 程序的功能本程序适用于二、三、四等水 准网平差计算，平差的水准网可以是独立的、也可 以是附合网，其主要功能是完成水准网的平差计算和精度评定计
20、算。平差计算采用间 接平差法，以归心的观测值为高差，以未知点高程为未知参数。精度评定计算包括计 算单位权中误差和每个待定点的高程中误差。 3.2 水准模型网的间接平差 3.2.1 “权 ”值的确定 当在相同的条件下进行水准测量时 ,其精度是相同的 ,因而观测结果的可靠性也 是同样的。 但如果在不同的条件下进行水准测量时 ,高程的精度就有所不同 ,此时称为 不等精度观测 ,所求出的未知量的值、 高程的最或是值并对其精度进 行评定时 ,就需要 “权 ”了。 由于观测的不等精度 ,因而观测值的可靠程度不同 ,求未知量的最或是值时 ,这样 的一个因素就必须考虑了 ,这个因素是 :可靠性大的某观测值 ,
21、其精度高 ,对测量的最 后结果的影响也就越大。此时用 “权 ”值来表示观测值的可靠程度 ,那么 ,“权 ”值愈 大 ,观测值的可靠程度就愈高。 另外 ,在观测过程中 ,观测值的中误差愈小 ,观测结果愈 可靠 ,它的 “权 ”值就愈大。因而 ,根据中误差来确定 “权 ”值是非常适当的。设以 Pi 表示观测值 Li 的 “权 ”,m 为中误差 ,则“权 ”值的定义为 : (3-1) 式中 :A 为任意 的正常数 ,在一组观测值中为一个定数。 在实际测量中 ,通常是观测值的中误差事先并不知道 ,因而必须先确定观测值的 “权 ” , 然后才能求出未知量的最或是值。 此时可以利用距离 (S)或测站数 (
22、N)来确定观测值 高程的 “权 ”。 根据偶然误差传播定律 ,各观测点高程 Hi 的中误差 mi 由测站数 Ni 确定时 ,则有 : mi = m N i 式中 :m 为一组观测值的中误差 ,为一个定数 . 由 (3-2-1)、 (3-2-2)两式可得 : (3-3) (3-2) 8 东华理大学毕业设计 水准网平差程序 同样可得出 : 式中 :C 为定数 , si 为测距 . （ 3-4） 由 (3-3)、 （ 3-4）两式可以得出这样一个结论 :当测站观测高差等精度时 ,观测总高差 的 “权 ”与测站数或距离成反比。 3.2.2 水准路线的平差计算 1附合路线的平差计算 假定在图 1 示的
23、A 、 B 两水准点之间布设一条水准路线 ,A 、 B 两水准点的高程 为已知 ,分别设为 H A 、 H B 、 n1 、 n2 ?、 C 为中间水准点。假定观测了所有的点的高 程 ,现拟求 C 点的高程 H C 的最或是值。 H C 可由水准路线 A C、 B C 分别观测的高差 hAC 、 hBC 计 算得出 ,由此而 得到的观测高程分别设为 Hc1、 Hc2,其值为 : Hc1= H A + hAC ;Hc2= H B + hBC 当 Hc1、 Hc2 在不等精度条件下观测得出时 ,它们的 “权 ”也不同 ,分别设为 Pc1、 Pc2,这样 C 点的高程 H C 的最或是值为 : Hc
24、 = Pc1 H c1 ? Pc 2 H c 2 Pc1 + Pc 2 (3-5) 根据 A 点的高程 H A ,A C 水准路线观测的高差 hAC 以及 B C水准路线观测 的高差 hBC ,可推算出 B 点的观测高程 H B 为 : H B = H A + hAC - hBC 水准路线 A B 的高程闭合差为 : f h = H B - H B = H c1 ? H c 2 (3-6) 由（ 3-6)式得到 : H c 2 = H c1 - f h 由（ 3-3)式得到 : Pc1 = C C 、 Pc 2 = N （ N AC 、 N BC 分别表示水准路线 AC、 B N AC BC
25、C 的测站数 ,水准路线 AB 的测站数 N AB = N AC + N BC ) 9 东华理大学毕业设计 水准网平差程序 将上述表达式代入 (3-2-5)式中 ,得到 : (3-7) 如果以水准路线 AC 的距离 S BC 、 C 的距离 S BC 、 B 的距离 S AB ( S AB = S AC + S BC ) B A 来确定高程观测值的 “权 ”值时 ,同样可以得到 : (3-8) 图 3-1 水准路线图 2闭合路线的平差计算 闭合路线的平差计算原理与附合路线相同 ,因而 (3-7)、 (3-8)两式的结论适用于 闭合路线的平差计算。 (3) 具有一个结点的水准网的平差计算 如图
26、2所示为具有一个结点的水准网 ,B,C,D,?为已知高程水准点 ,BA,CA,D A,?为水准路线 ,则接 点 A 的高程最或是值为 : P H + P H + PA3 H A3 + L H A = A1 A1 A 2 A2 = PA1 + PA2 + PA3 + L P i =1 n i =1 n Ai H Ai (3-9) Ai P 式中 H A1 , H A2 , H A3 L 分别为水准路线 BA,CA,DA,?计算 A 的观测高程 ,各高 程相应的 “权 ”值为 PA1 , PA 2 , PA3 L 设 H A1 , H A2 , H A3 L 的算术平均值为 H 0 A ,各高程观
27、测值与 H 0 B 的差值分 别为 A1, A2,A3,?,则有 : 10 东华理大学毕业设计 水准网平差程序 (3-10) 将(3-10)式代入 (3-9)式得到 : (3-11) 当以测站数和距离来确定 “权 ”值时 ,(3-11)分别可以转化为 : (3-12) (3-13) 上述结论也可应用于小三角水准网平差计算。 3.2.3 精度评定 单位权中误差： 0 = V T PV n?t （ 3-12） （ 3-13） （ 3-14） 平差参数的协方差阵： DX X = 2 0 N ?1bb Q$ $ 平差函数的协方差阵： = 2 0 F T N ?1bb F 3.3 水准网间接平差程序信息
28、设计 1数据文件的组织 下面给出一个水准网输入数据文件的例子： 3 3 6（已知点个数、未知点个数、观测值个数） 101 102 103 104 105 106 （点号） 34.788 35.259 37.825 （已知点高程） 104 101 1.625 4.5（起点点号、终点点号、高差观测值、距离观测值） 101 102 -0.418 3.1 105 102 0.714 3.4 102 103 1.243 3.8 106 103 -0.577 4.3 11 东华理大学毕业设计 水准网平差程序 103 101 -0.786 2.5 （其中编号数组未知点在前，已知点在后） 2水准网平差变量约定
29、表 3-1 变量约定表 变量名 ed dd sd gd pn h0 be en h1 s 说明 已知点个数 未知点个数 总点数 观测值个数 点号 已知点高程 起点点号 终点点号 高差观测值 距离观测值 3.4 3.4.1 水准网程序与使用说明水准网程序流程图 图 3-2 水准网流程图 程序的全部代码见附录一。 3.4.2 水准网程序的使用 本程序使用 MATLAB 的矩阵功能计算法方程，在运行程序前首先要有其始数据。 其始数据是一文件的形式保存在磁盘中， 文件的格式在上文已经说明过， 编好文件后， 12 东华理大学毕业设计 水准网平差程序 以后缀名为 .TXT 的形式保存。执行时在 MATLA
30、B 命令窗口直接键入文件名即可。 3.5 案例如下图水准网， 104、 105、 106 为已知点， 101、 102、 103 为待定点，已知点的 高程分别为 34.788， 35.259 ， 37.825 。 观测高差和观测路线长度分别为： h1=1.652, h2=-0.418 ,h3=0.714 ,h4=1.243, h5=-0.577, h6=-0.786. s1=4.5, s2=3.1, s3=3.4, s4=3.8, s5=4.3, s6=2.5. 图 3-3 水准网图 首先编数据文件，命名为data1.txt. 数据的格式如下： 3 3 6 101 102 103 104 10
31、5 106 34.788 35.259 37.825 104 101 1.652 4.5 101 102 -0.418 3.1 105 102 0.714 3.4 102 103 1.243 3.8 106 103 -0.577 4.3 103 101 -0.786 2.5 进入 MATLAB 界面，在命令窗口直接输入 level3 运行程序。弹出如下窗口 13 东华理大学毕业设计 水准网平差程序 图 3-4 数据读入文件 选择 data1.txt 即可运行出如下结果： 图 3-5 计算结果 在图 3-5 中，分别输出了高程的平差值及精度。结果是一文本的形式保存，用户 可对它进行编辑。 14
32、东华理工大学毕业设计 测边网平差程序设计 4. 测边网平差程序设计 4.1 数学模型 4.1.1 误差方程和法方程的组成 控制网中的 观测值为边长，误差方程非零项最多为 4 个，所以误差方程系数矩阵 采用压缩格式进行储存。 可采用以下的方法： A(m,n)=A(m,9) 其中， m 为观测值个数， n 为未知点个数的两倍。 改进后的 A 阵格式为 Ai =（编号 1，系数 1，编号 2，系数 2， L 编号 4，系数 4，常数项） 共 9 列。即只存储误差方程的 4 个非零参数系数。 法方程系数阵 N A 为对称阵，在存储时，只需要存其上三角部分就可以了。其占 用的空间为： sum = n(n
33、 + 1) 2 现有 A 阵： A=（编号 1，系数 1，编号 2，系数 2， L 编号 4，系数 4，常数项） 其中偶数项为系数，加上最后的 A9 为常数项，在组成法方程时，从 A2 开始分别与 剩下的偶数项以及常数项相乘，然后再用 A4 与剩余的项相乘，一直到 A8 为止，这 样就完成了 N A = AT PA 的过程。需要注意的是：若 A1， A3， A5， A7 小于零，则表 示该点已知点，不参与法方程的组成。 4.1.2 边长观测的权 边长观测的精度一般与其长度有关，定权公式为 psi = 02 s 2 i (i = 1, 2,L , n) 式 中 si 2 为所测边长 si 的方差
34、， 0 2 为任意选定的单位权方差。 为了定权 psi 必须已知测边的先验方差 si 2 ， 但精确的已知是十分困难的， 一般采 用厂方给定的测距仪精度，即 s = a + bSi i 式中， a 为固定误差（单位 mm）， b 为比例误差（单位： ppm）， Si 为边长（单 15 东华理工大学毕业设计 测边网平差程序设计 位 km）。 4.1.3 解算法方程 由于法方程是对称正定阵，因此，可采用改进的平方根法进行解算。 平方根法是对称正定矩阵非常有效的三角 分解方法，设 A 为 n 阶方阵，如果其 所有顺序主子式均不为零，则其存在唯一的分解式： A=LDR ?1 ? ?1 ? d1 K 0
35、 ? ? ? ? ? ， D= ? M O M ? ， R = ? L = ? l2 ? ? ?M ? ? O ?0 L d ? ? ? ? n? ? ?l L l ? ? n , n ?1 1 ? ? ? n1 r12 K r1n ? ? M ? O rn ?1, n ? ? ? 1 ? 其中 由于此住 A 对称性，得 L = RT ，又根据 A 阵正定的性质，可证明 D 均为 正数。 现在设 ? d1 ? ? d1 ? ? ? ? ? O D= ? O ? ? =? ? ? ? ? dn ? ? d d1 ? ? 1 ? d1 ? ? ? O ? ? ? ? d d1 ? ? 1 即 则
36、为方便，记为 D = D2 D2 A = LDLT = LD 2 D 2 LT = ( LD 2 )( D 2 LT ) = LL A = LLT 1 1 1 1 T 称为 Cholesky 分解，即正定对称矩阵的平方根分解法。解 AX = b 等阶于求解两个三 角方程组： LY = b 和 LT X = Y 在用平方根分解法计算时，需要进行 n 次开方运算。为了避免开方，可以直接采 用对称正定的 A = LDLT 分解式对平方根法进行改进。从而解方程组 AX = b 可以按如 下步骤进行：把 A 分解成 A = LDLT ，则 AX = b 变成 ( LDLT ) X = b ，即等价于 ?
37、 LY = b ? T ?1 ?L X = D Y 由此可以解出 X 和 Y。这称为改进的平方根法，在计算中避免了开方运算。 平方根法和改进的平方根法的计算量和存储量比消去法节约近一半，而且不需要 选主元，能 得到比较精确的数值解。 16 东华理工大学毕业设计 测边网平差程序设计 法方程用改进平方根法解算的过程如下： (1)分解： C = S T D ?1 S 其中 ? S11 K S1n ? ? S11 ? ? ? ? ? S =? O M ?, D = ? O ? ? ? ? ? Smn ? Smn ? ? ? ? ? ? 1 K c1n ? ? s12 ? ? O M ? = ? s11
38、 ? L cnn ? ? M ? ? s1n ?s ? 11 ? ? ? ? ? S11 K S1n ? ? ? O M ? ? ? ? S mn ? ? ? 1? ? ? c11 ? ? M ?c ? n1 O sn ?1, n sn ?1, n ?1 L s1 j = c1 j c2 j = c3 j = 纯量计算公式为 i =1 ? cij ? i ?1 s s s1 j = ? ki kj cij ? i 1, j 2 ? k =1 skk ? s12 s1 j s11 s13 s1 j s11 s2 j , + s2 j = c2 j ? s12 s1 j s11 , j2 s13
39、s1 j s11 ? s23 s2 j s22 , j3 s23 s2 j s22 + s3 j , s3 j = c3 j ? （ 2）求逆 R = S ?1 ? r11 K r1n ? ? ? R=? O M ? ? ? rnn ? ? 由 RS=I 得 ? r11 r12 L r1n ? r22 L r2 n ? ? O M ? rnn ? ? ? s11 ? ? ? ? ? ? ? ? ? s12 L s22 s1n ? ? ? L s2 n ? ? =? ? ? O M ? ? snn ? ? 1 0 L 0 1 L M M O 0 0 L 0 0 M 1 ? ? ? ? ? ? 1
40、7 东华理工大学毕业设计 测边网平差程序设计 纯量计算公式： rii = 1 sii r11 s12 s 22 r12 = ? r13 = r1n = ? ( r11 s13 + r12 s 23 ) s33 ? ( r11 s1 n + L + r1( n ?1) s ( n ?1) n s nn r22 s12 s33 r23 = ? r24 = r2 n = 通式为 ? ( r22 s 24 + r23 s34 ) s 44 ? ( r22 s 2 n + L + r2 ( n ?1) s( n ?1) n s nn 1 ? ?rii = s ii ? ? j ?1 ? rik skj ? , ?rij = ? k =1 sij ? ? （ 3）求积 j i Q = ( S T D ?1S ) ?1 = S ?1 D( S ?1 )T = RDRT ? r11 K r1n ? s11 ? ? r11 ? ? ? ? ? Q = RDR = ? O M ? O ? M O ? ? ? ? ? rnn ? snn ? ? r1n L rnn ? ? ? T ? s11 r11 s12 r12 L ? s22 r22 L =? ? O ? ? s1n r1n ? ? ? s2 n r2 n ?
