1、 1 导数应用题 1. 如图，在半径为 1，圆心角为 2 (0 )2 的扇形 OAB 内作一内切圆 P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆 P 外切的小圆 Q （ 1）求圆 Q 的半径 Qr （用 表示）； （ 2）当 变化时，求 Qr 的最大值； （ 3）如果按照本题的作法，再作下去，猜 想第 n 个圆的半径 nr 用 表示的式子（不要证明，只要写出其关系式，设圆 P 是第一个圆） 2. 如图 , 有一块半径为 R 的 半圆形空地 ,开发商计划征地建一个矩形游泳池 ABCD 和其附属设施 ,附属设施占地形状是等腰 CDE,其中 O 为圆心 , A, B 在圆的直径上， C,D, E 在圆
2、周上 . （ 1）设 BOC ,征地面积记为 ()f ,求 ()f 的表达式 ; （ 2）当 为何值时 ,征地面积最大 ? 3. 交管部门遵循公交优先的原则 ,在某路段开设了一条仅供车身长为 10m的公共汽车行驶的专用车道 . 据交管部门收集的大量数据分析发现 ,该车道上行驶着的前 、 后两辆公共汽车间的安全距离 d(m)与车速v(km/h)之间满足二次函数关系 d=f(v). 现已知车速为 15 km/h 时 ,安全距离为 8 m;车速为 45 km/h时 ,安全距离为 38 m;出现堵车状况时 ,两车安全距离为 2 m. (1)试确定 d关于 v 的函数关系 d=f(v); (2)车速 v
3、(km/h)为多少时 ,单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多 ,最多是多少辆 ? OED CBA2 4. 某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形 ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形 QPRE （线段 EQ 和 RP 为两个底边），已知 2 , 6 , 4 ,A B k m B C k m A E B F k m 其中 AF 是以 A 为顶点、 AD 为对称轴的抛物线段 试求该 高科技工业园区的最大面积 5. 某地区注重生态环境建设 ,每年用于改造生态环境总费用为 x 亿元 ,其中用于风景区改造为 y 亿元 .该市 决 定建立生态环境改造投资方
4、案 ,该方案要求同时具备 下列三个条件 : 每年用于 风景区改造费用 随每年 改造生态环境总费用 增加而增加 ; 每年改造 生态环境总费用 至少 a 亿 元 ,至多 b 亿 元 ; 每年用于 风景区改造费用 不得低于每年 改造生态环境总费用的 15%,但不得每年 改造生态环境总费用的 22%. (1)若 2a , 2.5b ,请你分析能否采用函数模型 y = 31 ( 4 16)100 xx作为 生态环境改造投资方案 ; (2)若 a 、 b 取正整数 ,并用函数模型 y = 31 ( 4 16)100 xx作 为 生态环境改造投资方案 ,请你求出 a 、 b 的取值 . A B C D E
5、F P Q R 3 6. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段为了保证安全，交通部门规定， 隧 道内的车距（）正比与车速（）的平方与自身长（）的积，且车距不得小于半个车身长而当车速为（）时，车距为 .个车身长在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道的车流量最大？ 7. 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 k ( 0)k 现已知相距 18km 的 A， B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别为 ,ab，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和设 AC x （ km ） （ 1）试将 y 表示为
6、x 的函数； （ 2）若 1a ，且 6x 时， y 取得最小值，试求 b 的值 8. 因发生意外交通事故 ,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中 .为了治污 ,根据环保部门的建议 ,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂 .已知每投放 (1 4aa,且 )aR个 单位的药剂 ,它在 水 中 释 放的 浓 度 y (克 /升 )随 着 时间 x (天 )变 化 的函 数 关 系式 近 似为 ()y a f x ,其中16 1 ( 0 4)8()15 ( 4 10)2 xxfxxx. 若多次投放 ,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和 .根据经验 ,当水
7、中药剂的浓度不低于 4(克 /升 )时 ,它才能起到有效治污的作用 . （）若一次投放 4 个单位的药剂 ,则有效治污时间可达几天 ? 4 （）若第一次投放 2 个单位的药剂 ,6 天后再投放 a 个单位的药剂 ,要使接下来的 4 天中能够持续有效治污 ,试求 a 的最小值 (精确到 0.1,参考数据 : 2 取 1.4). 9、（宿迁市高三 12 月联考）（本题满分 14 分）某森林出现火灾，火势正以每分钟 2m100 的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在 火灾发生后 5 分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火 2m50 ，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每
8、人每分钟 125 元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林损失费为 60 元 （ 1）设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 t 与 x 的函数关系式； （ 2）问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？ （总损失 灭火材料、劳务津贴等费用车辆、器械和装备费用森林损失费） 14 分 10（无锡市 1 月期末调研）（本小题满分 14 分） 已知 A、 B 两地相距 2R ，以 AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点 C，连接 AC、 BC，在三角形 ABC 内种草坪（如图）， M、 N 分别为弧 AC、弧 BC 的中点，
9、在三角形 AMC、三角形 BNC 上种花，其余是空地设花坛的面积为 1S ，草坪的面积为 2S ，取 ABC 用 及 R 表示 1S 和 2S ； 求12SS的最小值 5 11（徐州市 12 月高三调研） (本小题满分 16 分 ) 某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯，样式如图中实线部分 所示 . 其上部分是以 AB 为直径的半圆，点 O 为圆心，下部分是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， ,DEDF 是两根支杆，其中 2AB 米，2 ( 0 )4E O A F O B x x . 现在弧 EF 、线段 DE 与线段 DF 上装彩灯，在弧 AE 、弧 BF 、线段 AD 与线
10、段 BD 上装节能灯 . 若每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比，且彩灯的比例系数为 2k ，节能灯的比例系数为 ( 0)kk ，假定该霓虹灯整体的“心悦效果” y 是所有灯“心悦效果”的和 . （）试将 y 表示为 x 的函数； （）试确定当 x 取何值时，该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳？ D O A B E F 第 18题 2x 6 12（盐城市第一次调研） (本小题满分 14 分 ) 因发生意外交通事故 ,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中 .为了治污 ,根据环保部门的建议 ,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂 .已知每投放 (1 4aa,且 )aR个单位
11、的药剂 ,它在水中 释 放 的 浓 度 y ( 克 / 升 ) 随 着 时 间 x ( 天 ) 变 化 的 函 数 关 系 式 近 似 为 ()y a f x , 其中16 1 ( 0 4)8()15 ( 4 10)2 xxfxxx. 若多次投放 ,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和 .根据经验 , 当水中药剂的浓度不低于 4(克 /升 )时 ,它才能起到有效治污的作用 . （）若一次投放 4 个单位的药剂 ,则有效治污时间可达几天 ? （）若第一次投放 2 个单位的药剂 ,6 天后再投放 a 个单位的药剂 ,要使接下来的 4 天中能够持续有效治污 ,试求 a
12、的最小值 (精确到 0.1,参考数据 : 2 取 1.4). 13. （苏北四市 2011 届高三第二次调研）（本小题满分 14 分） 据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为 k ( 0)k 现已知相距 18km 的 A， B 两家化工厂（污染源）的污染强度分别 为 ,ab，它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和设 AC x （ km ） （ 1）试将 y 表示为 x 的函数； （ 2）若 1a ，且 6x 时， y 取得最小值，试求 b 的值 7 14. （苏州市 2011 届高三调研测试）（本小题满
13、分 14 分） 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段 .为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距 dm正比于车速 /v km h 的平方与车身长 lm的积，且车距不得小于一个车身长 l （假设所有车身长均为 l ） .而当车速为 60 /km h 时，车距为 1.44 个车身长 . 求通过隧道的最低车速； 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量 Q 最多？ 15 (江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测 )（本小题满分 16 分 ） 某连锁分店销售某种商品，每 件商品的成本为 4 元，并 且每件商品需向总店交 a 元（ 1 a 3）的管理费，预计当每件
14、商品的售价为 x 元（ 8 x 9）时，一年的销售量为 (10 x)2 万件 （ 1）求该连锁分店一年的利润 L（万元）与每件商品的售价 x 的函数关系式 L(x)； 来源 :Z&xx&k.Com （ 2）当每件商品的售价为多少元时，该连锁分店一年的利润 L 最大，并求出 L 的最 来源 :Z,xx,k.Com 大值 M(a) 8 16（ 2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教 学情况调查一） (本小题满分 16 分 ) 来源 :学 .科 .网 如图， ABCD 是正方形空地，边长为 30 m，电源在点 P 处，点 P 到边 AD， AB 距离分别为 9 m， 3 m某广告公司计划在此空
15、地上竖一块长方形液晶 广告屏幕 MNEF ，: 16:9MN NE 线 段 MN 必须过点 P，端点 M， N 分别在边 AD，AB 上，设 AN=x（ m），液晶广告屏幕 MNEF 的面 积为 S(m2) 来源 :学科网 (1) 用 x 的代数式表示 AM； （ 2）求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义 域； （ 3）当 x 取何值时，液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小？ 17（江苏省无锡市部分 学校 2 010 年 4 月联考试卷）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需要建两端桥 墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥 墩的工程费用为 256 万元，距离
16、为 x 米的相邻两墩 之间的桥面工程费用为 (2 )xx 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为 y 万元。 （）试写出 y 关于 x 的函数关系式； （）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小 ？（ 16 分） N M P F E D C B A （第 18 题图） 9 18.（本小题满分 12 分） 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为 803立方米，且 2lr .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 .已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元
17、，半球形部分每平方米建造费用为 ( 3)cc .设该容器的建造费用为 y 千元 . （ ）写出 y 关于 r 的函数表达式，并求该函数的定义域； （ ）求该容器的建造费用最小时的 r . 19（本小题满分 14 分） 设函数 ()fx定义在 (0, ) 上， (1) 0f ，导函数 1()fxx ， ( ) ( ) ( )g x f x f x （ 1）求 ()gx 的单调区间和最小值； （ 2）讨论 ()gx 与 1()gx 的大小关系； （ 3）是否存在 0 0x ，使得0 1| ( ) ( ) |g x g x x对任意 0x 成立？若存在，求出 0x 的取值范围；若不存在，请说明理由
18、10 20 (本小题满分 13 分 ) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y (单位：千克 )与销售价格x (单位：元 /千克 )满足关系式 210( 6)3ayxx ，其中 36x ， a 为常数，已知销售价格为 5元 /千克时，每日可售出该商品 11 千克 ( ) 求 a 的值 ； ( ) 若该商品的成品为 3 元 /千克 , 试确定销售价格 x 的值 ,使商场每日销售该商品所获得的 利润最大 21 （本 小题满分 12 分 ） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况 在一般情况下，大桥上的车流速度 v （单位：千米 /小时）是车流密度 x （单位：辆 /千米）的函数 当桥上的车流密度达到 200 辆 /千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆 /千米时，车流速度为 60 千米 /小时 研究表明：当 20020 x时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数 （）当 2000 x 时，求函数 xv 的表达式； （）当 车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时） xvxxf 可以达到最大，并求出最大值 （精确到 1 辆 /小时）
