1、 第 1 页 共 33 页 . 考点 6 导数、 定积分 1.（ 2010 海南高考 理科 T3） 曲线 2xy x 在点 1, 1 处的切线方程为 （ ） （ A） 21yx （ B） 21yx （ C） 23yx （ D） 22yx 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解 . 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程 . 【规范解答】 选 A.因为 22( 2)y x ，所以，在点 1, 1 处的切线斜率1 22 2( 1 2 )xky ，所以，切线方程为 1 2( 1)yx ，即 21yx，故选 A. 2.（ 2010山东高考文科
2、 8） 已知某生产厂家的年利润 y （单位：万元）与年产量 x （单位：万件）的函数关系式为 31 8 1 2 3 43y x x ，则 使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 （ ） (A) 13万件 (B) 11 万件 (C) 9 万件 (D) 7万件 【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力 . 【思路点拨】利用导数求函数的最值 . 【规范解答】 选 C， 2 81yx ,令 0y 得 9x 或 9x （舍去），当 9x 时 0y ；当 9x 时 0y ，故当 9x 时函数有极大值，也是最大值，故选 C. 3.（ 2010山东高考理
3、科 7） 由曲线 y=2x ,y=3x 围成的封闭图形面积为 （ ） （ A） 112 (B) 14 (C) 13 (D) 712 【命题立意】 本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积 ,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力 . 【思路点拨】 先求出 曲线 y= 2x ,y= 3x 的交点坐标，再利用定积分求面积 . 【规范解答 】 选 A,由题意得 : 曲线 y= 2x ,y=3x 的交点坐标为 (0,0)， (1,1)，故所求封闭图形的面积为1 2 30 x -x )dx=（ 1 1 11- 1=3 4 12 ,故选 A. 4.（ 2010辽宁高考理科 10
4、） 已知点 P在曲 线 y= 41xe上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 （ ） 第 2 页 共 33 页 . (A)0,4 ) (B) , )42 3( , 24 (D) 3 , )4 【命题立意】 本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率。 【思路点拨】 先求导数的值域，即 tan 的范围，再根据正切函数的性质求 的范围。 【规范解答】 选 D. 224,14 4 4 411( 1 ) ( ) 2 1 12 2210 0 , 1 01 ta n 0 ,30D4xxxx x xxxxxxxyeeeye e ee ee eexeyy 当 且
5、 仅 当 ， 即 时 “ ” 成 立 。又 。设 倾 斜 角 为 ， 则又 ， ， 。 故 选5.（ 2010湖南高考理科 4） 421dxx等于 （ ） A、 2ln2 B、 2ln2 C、 ln2 D、 ln2 【命题立意】考查积分的概 念和基本运算 . 【思路点拨】记住 x1 的原函数 . 【规范解答】选 D .421dxx =(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数 . 6.（ 2010江苏高考 8） 函数 y=x2(x0)的图像在点 (ak,ak2)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为ak+1, kN其 中 ，若 a1=16，
6、则 a1+a3+a5的值是 _ 【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。 【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数 y=x2(x0)的图像在点 (ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由 0y ，即可求得切线与 x 轴交点的横坐标。 【规范解答】 由 y=x2(x0)得， 2yx ， 所以函数 y=x2(x0)在点 (ak,ak2)处的切线方程为： 2 2 ( ),k k ky a a x a 当 0y 时，解得 2kax ， 第 3 页 共 33 页 . 所以1 1 3 5, 1 6 4 1 2 12kk aa a a a . 【答案】 21 7.（
7、 2010江苏高考 4） 将边长为 1m 正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 2(S 梯 形 的 周 长 ）梯 形 的 面 积,则 S的最小值是 _ _。 【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。 【思路点拨】可设剪成的 小正 三角形的边长为 x ，然后用 x 分别表示梯 形的周长和面积，从而将 S用 x 表示，利用函数的观点解决 . 【规范解答】 设 剪成的 小正 三角形的边长为 x ， 则： 222( 3 ) 4 ( 3 ) ( 0 1 )11 3 3( 1 ) ( 1 )22xxSxxxx 方法一：利用导数的方法求最小值。 22
8、4 (3 )() 13 xSx x ， 22224 ( 2 6 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 )() ( 1 )3 x x x xSx x 222 2 2 24 ( 2 6 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) 4 2 ( 3 1 ) ( 3 )( 1 ) ( 1 )33x x x x x xxx 1( ) 0 , 0 1, 3S x x x ， 当 1(0, 3x 时， ( ) 0,Sx 递减；当 1 ,1)3x 时， ( ) 0,Sx 递增； 故当 13x 时， S的最小值是 3233 。 方法二：利用函数的方法求最小值 令 1 1 13 , ( 2 , 3 ) , ( , )32
9、x t t t ，则： 2224 4 1866833 1tStt tt 故当 1 3 1,83xt 时， S 的最小值是 3233 。 【答案】 3233 【 方法技巧 】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数第 4 页 共 33 页 . 的的综合解答题中考察。高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式 法。 8.（ 2010陕西高考理科 3） 从 如图所示的长方形区域内任取一个 点 M（ x,y） ,则点 M 取自阴影部分的概率 为 ； 【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。 【思路点
10、拨】由积分求出 阴影部分的面积即可 【规范解答】 阴影部分的面积为 1 12300 3 1 .S x dx x 阴 影所以 点 M 取自阴影部分的概率 为113 1 3SP S 阴 影长 方 形答案： 139 （ 2010 海南高考 理科 T13） 设 y=f(x)为区间 0,1上的连续函数，且恒有 0 f(x) 1,可以用随机模拟方法近似计算积分 10 ()f xdx,先产生两组（每组 N 个）区间 0,1上的均匀随机数 1x ,2x ,Nx 和1y , 2y , Ny ,由此得到 N 个点 ( , )iixy （ i=1,2, ,N） ,在数出其中满足 1y 1()fx （ （ i=1,2
11、, ,N）的点数 1N ，那么由随机模拟方法可得积分 10 ()f xdx的近似值为 . 【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式 . 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解 . 【规范解答】 由题意可知， ,xy所有取值构成的区域是一个边长为 1 的正方形，而满足 iy ()ifx 的点( , )iixy 落在 y=f(x)、 0y 以及 1x 、 0x 围成的区域内，由几何概型的计算公式可 知 10 ()f xdx 的近似值为 1NN . 答案： 1NN10.（ 2010北京高考理科 8） 已知函数 f (x )=In(1+x )-x
12、+ 22kx，(k 0)。 第 5 页 共 33 页 . ( )当 k =2 时，求曲线 y =f (x )在点 (1， f (1)处的切线方程； ( )求 f (x )的单调区间。 【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。解决本题时一个易错点是忽视定义域。 【思路点拨】（ 1）求出 (1)f ，再代入点斜式方程即可得到切线方程；（ 2）由 k 讨论 ()fx的正负，从而确定单调区间。 【规范解答】 （ I）当 2k 时， 2( ) ln (1 )f x x x x ， 1( ) 1 21f x xx 由于 (1) ln2f ， 3(1) 2f ， 所以曲线 ()y
13、 f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程为 3ln 2 ( 1)2yx 即 3 2 2 ln 2 3 0xy （ II） 1 ( 1 )( ) 111x k x kf x k xxx ， ( 1, )x . 当 0k 时， ( ) 1 xfx x . 所以，在区间 ( 1,0) 上， ( ) 0fx ；在区间 (0, ) 上， ( ) 0fx . 故 ()fx的单调递增区间是 ( 1,0) ，单调递减区间是 (0, ) . 当 01k时，由 1()( ) 01 kkx x kfx x，得 1 0x ，2 1 0kx k所以，在区间 ( 1,0) 和 1( , )kk 上， ( ) 0fx
14、 ；在区间 1(0, )kk 上， ( ) 0fx 故 ()fx的单调递增区间是 ( 1,0) 和 1( , )kk ，单调递减区间是 1(0, )kk . 当 1k 时， 2( ) 1xfx x 故 ()fx的单调递增区间是 ( 1, ) . 当 1k 时， 1()( ) 01 kkx x kfx x，得1 1 ( 1, 0)kx k ， 2 0x . 第 6 页 共 33 页 . 所以在区间 1( 1, )kk 和 (0, ) 上， ( ) 0fx ；在区间 1( ,0)kk 上， ( ) 0fx 故 ()fx得单调递增区间是 1( 1, )kk 和 (0, ) ，单调递减区间是 1( ,
15、0)kk 【方法技巧】 （ 1） ()y f x 过 00( , ( )x f x 的切线方程为 0 0 0( ) ( ) ( )y f x f x x x 。 （ 2）求单调区间时要在定义域内讨论 ()fx内的正负。 11.（ 2010安徽高考文科 20） 设函数 sin c o s 1f x x x x ， 02x ，求函数 fx的单调区间与极值。 【命题立意】 本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查考生运算能 力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。 【思路点拨】 对函数 ()fx求导，分析导数 ()fx 的符号情况，从而确定 ()fx的单调区间和极值。 【
16、规范解答】 ( ) 1 2 ( )4xx 解 ： 由 f(x)=sinx-cosx+x+1,00, 所以“ 32() 3af x x bx cx d 在（ - ， + ）内无极值点”等价于“ 2( ) 2 0f x ax bx c 在（ -， +）内恒成立”。 由（ *）式得 2 9 5 , 4b a c a 。 又 2( 2 ) 4 9 ( 1 ) ( 9 )b a c a a 解 09 ( 1)( 9 ) 0a aa 得 1,9a 即 a 的取值范围 1,9 第 8 页 共 33 页 . 【方法技巧】（ 1）当 ()fx在 0x 的左侧为正，右侧为负时， 0x 为极大值点；当 ()fx在
17、0x 的左侧为负，右侧为正时， 0x 为极小值点 （ 2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式 来解决。 2y ax bx c 恒大于 0，则 00a；2y ax bx c 恒小于 0，则 00a； 13.（ 2010安徽高考理科 17） 设 a 为实数，函数 2 2 ,xf x e x a x R。 (1)求 fx的单调区间与极值； (2)求证：当 ln2 1a且 0x 时， 2 21xe x ax 。 【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。 【思路点拨】 (1)先分析 ()f
18、x的导数 ()fx 的符号情况，从而确定 ()fx的单调区间和极值； (2) 设 2( ) 2 1xg x e x ax ， 把问题转化为：求证：当 ln2 1a且 0x 时， ( ) 0gx 。 【规范解答】 （ 1） ( ) 2 2xf x e x a ， ( ) 2xf x e 令 ( ) 0fx ，得 ln2x ， x ,ln2 ln2 ln2, ()fx 0 ()fx 极小值 ()fx在 ,ln2 上单调递减，在 ln2, 上单调递增； 当 ln2x 时， ()fx取得极小值为 2 2ln2 2a （ 2）设 2( ) 2 1xg x e x ax ， ( ) 2 2 ( )xg x
19、 e x a f x 由（ 1）问可知， ()gx 2 2ln2 2a恒成立， 当 ln2 1a时，则 ()gx 0恒成立，所以 ()gx 在 R 上单调递增， 第 9 页 共 33 页 . 所以当 0x 时， ( ) (0) 0g x g， 即 当 ln2 1a且 0x 时， 2 21xe x ax 。 【方法技巧】 1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法，简单易行； 2、 证明函数不等式问题，如证 12( ) ( )f x f x ，通常令 12( ) ( ) ( )g x f x f x，转化为证明： ( ) 0gx 。 14.（ 2010天津高考文科 20） 已知函
20、数 f（ x） = 323 1( )2ax x x R ，其中 a0. （）若 a=1，求曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线方程； （）若在区间 11,22上， f（ x） 0 恒成立，求 a的取值范围 . 【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。 【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。 【规范解答】 （） 当 a=1 时， f（ x） = 323x x 12， f（ 2） =3； f(x)= 233xx , f(2)=6.所以曲线 y=f（ x）在点（ 2，f（ 2）处的
21、切线方程为 y-3=6（ x-2），即 y=6x-9. （） f (x)= 23 3 3 ( 1)ax x x ax .令 f (x)=0，解得 x=0 或 x=1a . 以下分两种情况讨论： （ 1） 若 110 a 2 a2 ， 则 ，当 x 变化时， f (x)， f（ x）的变化情况如下表： X 102，0 120，f (x) + 0 - f(x) 极大值 当 11x f x22， 时 ， （ ） 0等价于5a1 0,( ) 0 ,821 5 a( ) 0 , 0.28ff 即 解不等式组得 -52，则 110 a2 .当 x 变化时， f (x),f（ x）的变化情况如下表： X 1
22、02，0 1a0，1a 11a2，f (x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 当 11x22，时， f（ x） 0 等价于1f(- )21f( )0,a0,即25811- 0.2aa0,解不等式组得 2 52 a 或 22a .因此 2a5. 综合（ 1）和（ 2），可知 a的取值范围为 0a5. 15.（ 2010山东高考文科 21） 已知函数 1( ) l n 1 ( )af x x a x a Rx （ 1）当 1a 时，求曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线方程； （ 2）当 12a 时，讨论 ()fx的单调性 . 【命题立意】本题主要考查导数的概念、导
23、数的几何意义和利用导数研究函数性质的能力 .考查分类讨论思想、数形结合思想和等价变换思想 . 【思路点拨】 (1)根据导数的几何意义求出曲线 ()y f x 在点 (2, (2)f 处的切线的斜率；（ 2）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性 ,同时应注意分类标准的选择 . 【规范解答】 （ 1） 当 1 ( )a f x 时 ， ),0(,12ln xxxx 所以 22 2xxfx x 因此， 21f ,即曲线 ( ) 2 ( 2 ) ) 1 .y f x f 在 点 （ ， 处 的 切 线 斜 率 为 ， 又 ,22ln)2( f 所以曲线 ( ) 2 ( 2 ) ) ( l n 2 2 ) 2 , y f x f y x 在 点 （ ， 处 的 切 线 方 程 为 ln 2 0. xy 即
