1、 菱形的判定 - 第 1 页 共 12 页 菱形的判定 专项练习 30 题（有答案） 1如图，梯形 ABCD 中， AD BC， BA=AD=DC= BC，点 E 为 BC 的中点 （ 1）求证：四边形 ABED 是菱形； （ 2）过 A点作 AF BC 于点 F，若 BD=4cm，求 AF 的长 2如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，且 AC BD点 M， N 分别在 BD、 AC 上，且 AO=ON=NC，BM=MO=OD 求证： BC=2DN 3如图，在 ABC 中， AB=AC， D， E， F 分别是 BC， AB， AC 的中点 （ 1）求证：四边形 A
2、EDF 是菱形 ； （ 2）若 AB=12cm，求菱形 AEDF 的周长 4如图，在 ABCD 中， EF BD，分别交 BC， CD 于点 P， Q，交 AB， AD 的延长线于点 E， F已知 BE=BP 求证：（ 1） E= F； （ 2） ABCD 是菱形 菱形的判定 - 第 2 页 共 12 页 5如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E 是 AD 的中点，过点 A作 AF BC， AF 与 CE 的延长线相交于点 F，连接 BF （ 1）求证： AF=DC； （ 2）若 BAC=90，求证：四边形 AFBD 是菱形 6已知平行四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分 AB
3、C，求证： 四边形 ABCD 是菱形 7如图，在一个含 30的三角板 ABC 中，将三角板沿着 AB 所在直线翻转 180得到 ABF，再将三角板绕点 C 顺时针方向旋转 60得到 DEC，点 F 在 AC 上，连接 AE （ 1）求证：四边形 ADCE 是菱形 （ 2）连接 BF 并延长交 AE 于 G，连接 CG请问：四边形 ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？ 8如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形， DE AB， DF BC，垂足分别是为 E F，并且 DE=DF求证：四边形 ABCD 是菱形 9如图，在 ABC 中， DE BC，分别交 AB， AC 于点 D， E，以 AD，
4、 AE 为边作 ADFE 交 BC 于点 G， H，且EH=EC 求证：（ 1） B= C； （ 2） ADFE 是菱形 菱形的判定 - 第 3 页 共 12 页 10如图，在 ABC 中， ACB=90， CD 是 AB 边上的高， BAC 的平分线 AE 交 CD 于 F， EG AB 于 G （ 1）求证： AEG AEC； （ 2） CEF 是否为等腰三角形，请证明你的结论； （ 3）四边形 GECF 是否为菱形，请证明你的结论 11如图，在 ABC 中， AB=AC，点 D、 E、 F 分别是 ABC 三边的中点 求证：四边 形 ADEF 是菱形 12如图，在四边形 ABCD 中，
5、AB=CD， M、 N、 E、 F 分别为 AD、 BC、 BD、 AC 的中点，求证：四边形 MENF为菱形 13已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， AB=AD， BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，连接 DE求证：四边形 ABED 是菱形 14如图，在 ABC 中， AB=AC， M、 O、 N 分别是 AB、 BC、 CA的中点求证：四边形 AMON 是菱形 菱形的判定 - 第 4 页 共 12 页 15如图：在 ABC 中， BAC=90， AD BC 于 D， CE 平分 ACB，交 AD 于 G，交 AB 于 E， EF BC 于 F 求证：四边形 AEFG是
6、菱形 16如图，矩形 ABCD 绕其对角线交点旋转后得矩形 AECF， AB 交 EC 于点 N， CD交 AF 于点 M 求证：四边形 ANCM 是菱形 17如图，四边形 ABCD、 DEBF 都是矩形， AB=BF， AD、 BE 交于 M， BC、 DF 交于 N，那么四边形 BMDN 是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由 18已知如图所示， AD 是 ABC 的角平分线， DE AC 交 AB 于 E， DF AB 交 AC 于 F，四边形 AEDF 是菱形吗？说明理由 19已知：如图所示， BD 是 ABC 的角平分线， EF 是 BD 的垂直平分线，且交 AB 于
7、E，交 BC 于点 F求证：四边形 BFDE 是菱形 菱形的判定 - 第 5 页 共 12 页 20如图，在平行四边形 ABCD 中， O 是对角线 AC 的中点，过点 O 作 AC 的垂线与边 AD、 BC 分别交于 E、 F 求证：四边形 AFCE 是菱形 21如图，在矩形 ABCD 中， EF 垂直平分 BD （ 1）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由 （ 2）已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长 22如图所示，在 ABCD 中，点 E 在 BC 上， AE 平分 BAF，过点 E 作 EF AB求证：四边形 ABEF 为菱形 23已知，如图，矩形 ABCD 中
8、， AB=4cm， AD=8cm，作 CAE= ACE 交 BC 于 E，作 ACF= CAF 交 AD 于F （ 1）求证： AECF 是菱形；（ 2）求四边形 AECF 的面积 24如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、 BC 分别交于 E、 F问四边形 AFCE 是菱形吗？请说明理由 25如图：在平行四边形 ABCD 中， E、 F 分别是边 AB、 CD 的延长线上一点，且 BE=DF，连接 EF 交 AC 于 O （ 1） AC 与 EF 互 相平分吗？为什么？ （ 2）连接 CE、 AF，再添加一个什么条件，四边形 AECF 是菱形？为什么？ 菱形的判
9、定 - 第 6 页 共 12 页 26已知：如图， ABC 和 DBC 的顶点在 BC 边的同侧， AB=DC， AC=BD 交于 E， BEC 的平分线交 BC 于 O，延长 EO 到 F，使 EO=OF求证：四边形 BFCE 是菱形 27如图，在 ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点， CF BE （ 1）求证： BDE CDF； （ 2）请连接 BF， CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由； （ 3）在（ 2）下要使 BECF 是菱形，则 ABC 应满足何条件？并说明理由 28如图，在 ABC 中， ACB=90， BC
10、的垂直平分线 DE 交 BC 于 D，交 AB 于 E， F 在 DE 上，并且 AF=CE （ 1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形； （ 2）当 B 的大小满足什么条件时，四边形 ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论 29如图，在 ABC 中， AD 是 BAC 的平分线， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F 求证：四边形 AEDF 是菱形 30如图， ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN BC，设 MN 交 BCA的平分线于点 E，交 BCA的外角平分线于点 F （ 1）探究：线段 OE 与 OF 的数量关系并加以证明； （ 2）当
11、点 O 运动到何处，且 ABC 满足什么条件时，四边形 AECF 是正方形？ （ 3）当点 O 在边 AC 上运动时，四边形 BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由 菱形的判定 - 第 7 页 共 12 页 矩形的判定专项练习 30 题 参考答案 ： 1 1）证明： 点 E 为 BC 的中点， BE=CE= BC， BA=AD=DC= BC， AB=BE=ED=AD， 四边形 ABED 是菱形； （ 2）解：过点 D 作 DH BC，垂足为 H， CD=DE=CE， DEC=60， DBE=30， 在 Rt BDH中， BD=4cm， DH=2cm， AF=DH， AF=2cm
12、 2 AO=ON， BM=MO， 四边形 AMND 是平行四边形， AC BD， 平行四边形 AMND 是菱形， MN=DN， ON=NC， BM=MO， MN= BC， BC=2DN 3（ 1） D， E 分别是 BC， AB 的中点， DE AC 且 DE=AF= AC 同理 DF AB 且 DF=AE= AB 又 AB=AC， DE=DF=AF=AE， 四边形 AEDF 是菱形 （ 2） E 是 AB 中点， AE= AB=6cm，因此菱形 AEDF的周长为 46=24cm 4（ 1） BE=BP， E= BPE， BC AF， BPE= F， E= F （ 2） EF BD， E= A
13、BD， F= ADB， ABD= ADB， AB=AD， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 是菱形 5 1）证明： E 是 AD 的中点， AE=DE， AF BC， 1= 2， 在 AEF 和 DEC 中 ， AFE DCE（ AAS）， AF=DC； （ 2）证 明： D 是 BC 的中点， DB=CD= BC， AF=CD， AF=DB， AF BD， 四边形 AFBD 是平行四边形， BAC=90， D 为 BC 中点， AD= CB=DB， 四边形 AFBD 是菱形 6 对角线 BD 平分 ABC， 1= 2， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB DC， 3= 1， 3
14、= 2， DC=BC， 又 四边形 ABCD 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形 7（ 1） 三角板 ABC 中，将三角板沿着 AB 所在直线翻转 180得到 ABF， ABC ABF，且 BAC= BAF=30， FAC=60， AD=DC=AC， 又 ABC EFC， CA=CE， 又 ECF=60， AC=EC=AE， AD=DC=CE=AE， 四边形 ADCE 是菱形； 菱形的判定 - 第 8 页 共 12 页 （ 2） 证明：由（ 1）可知： ACD， AFC 是等边三角形， ACB AFB， EDC= BAC= FAC=30，且 ABC 为直角三角形， BC= AC， EC=
15、CB， EC= AC， E 为 AC 中点， DE AC， AE=EC， AG BC， EAG= ECB， AGE= EBC， AEG CEB， AG=BC，（ 7 分） 四边形 ABCG是平行四边形， ABC=90， 四边形 ABCG是矩形 8在 ADE 和 CDF 中， 四边形 ABCD 是平行四边形， A= C， DE AB， DF BC， AED= CFD=90 又 DE=DF， ADE CDF（ AAS） DA=DC， 平行四边形 ABCD 是菱形 9 （ 1） 在 ADFE 中， AD EF， EHC= B（两直线平行，同位角相等） EH=EC（已知） ， EHC= C（等边对等角
16、）， B= C（等量代换）； （ 2） DE BC（已知）， AED= C， ADE= B B= C， AED= ADE， AD=AE， ADFE 是菱形 10 1）证明： ACB=90， AC EC 又 EG AB， AE 是 BAC 的平分线， GE=CE 在 Rt AEG与 Rt AEC 中， ， Rt AEG Rt AEC（ HL）； （ 2）解： CEF 是等腰三角形理由如下： CD 是 AB 边上的高， CD AB 又 EG AB， EG CD， CFE= GEA 又由（ 1）知， Rt AEG Rt AEC， GEA= CEA， CEA= CFE，即 CEF= CFE， CE=C
17、F，即 CEF 是等腰三角形； （ 3）解：四边形 GECF 是菱形理由如下： 由（ 1）知， Rt AEG Rt AEC，则 GE=EC；由（ 2）知， CE=CF， GE=EC=FC 又 EG CD，即 GE FC， 四边形 GECFR 是菱形 11 D、 E、 F 分别是 ABC 三边的中点， DE AC， EF AB， 四边形 ADEF 为平行四边形 又 AC=AB， DE=EF 四边形 ADEF 为菱形 12 M、 E、分别为 AD、 BD、的中点， ME AB， ME= AB， 同理： FH AB， FH= AB， 四边形 MENF 是平行四边形， M F 是 AD， AC 中点，
18、 MF= DC， AB=CD， MF=ME， 四边形 MENF 为菱形 13 AE 平分 BAD， BAE= DAE， （ 1 分） 在 BAE 和 DAE 中， 菱形的判定 - 第 9 页 共 12 页 ， BAE DAE（ SAS） （ 2 分） BE=DE， （ 3 分） AD BC， DAE= AEB， （ 4 分） BAE= AEB， AB=BE， （ 5 分） AB=BE=DE=AD， （ 6 分） 四边形 ABED 是菱形 14 AB=AC， M、 O、 N 分别是 AB、 BC、 CA的中点， AM= AB= AC=AN， M0 AC， NO AB，且 MO= AC=AN， N
19、O= AB=AM（三角形中位线定理）， AM=MO=AN=NO， 四边形 AMON 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形） 15证法一： AD BC， ADB=90， BAC=90， B+ BAD=90， BAD+ CAD=90， B= CAD， CE 平分 ACB， EF BC， BAC=90（ EA CA）， AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）， CE=CE， 由勾股定理得： AC=CF， ACG和 FCG中 ， ACG FCG， CAD= CFG， B= CAD， B= CFG， GF AB， AD BC， EF BC， AD EF， 即 AG EF， AE GF， 四边形 A
20、EFG是平行四边形， AE=EF， 平行四边形 AEFG是菱形 证法二： AD BC， CAB=90， EF BC， CE 平分 ACB， AD EF， 4= 5， AE=EF， 1=180 90 4， 2=180 90 5， 1= 2， AD EF， 2= 3， 1= 3， AG=AE， AE=EF， AG=EF， AG EF， 四边形 AGFE 是平行四边形， AE=EF， 平行四边形 AGFE 是菱形 16 CD AB， FMC= FAN， NAE= MCF（等角的余角相等）， 在 CFM 和 AEN 中 ， ， CFM AEN（ ASA）， CM=AN， 四边形 ANCM 为平行四边形
21、， 在 ADM 和 CFM 中， ， ADM CFM（ AAS）， AM=CF， 四边形 ANCM 是菱形 17四边形 BMDN 是菱形 AM BC， AMB= MBN， BM FN MBN= BNF， AMB= BNF， 又 A= F=90， AB=BF， ABM BFN， BM=BN， 同理， EMD CND， 菱形的判定 - 第 10 页 共 12 页 DM=DN， ED=BF=AB， E= A=90， AMB= EMD， ABM EDM， BM=DM， MB=MD=DN=BN， 四边形 BMDN 是菱形 18如图，由于 DE AC， DF AB，所以四边形 AEDF为平行四边形 DE
22、AC， 3= 2， 又 1= 2， 1= 3， AE=DE， 平行四边形 AEDF 为菱形 19 EF 是 BD 的垂直平分线， EB=ED， EBD= EDB BD 是 ABC 的角平分线， EBD= FBD FBD= EDB， ED BF 同理， DF BE， 四边形 BFDE 是平行四边形 又 EB=ED， 四边形 BFDE 是菱形 20方法一： AE FC EAC= FCA（ 2 分） 又 AOE= COF， AO=CO， AOE COF（ 5 分） EO=FO 又 EF AC， AC 是 EF 的垂直平分线（ 8 分） AF=AE， CF=CE， 又 EA=EC， AF=AE=CE=
23、CF 四边形 AFCE 为菱形（ 10 分） 方法二：同方法一，证得 AOE COF（ 5 分） AE=CF 四边形 AFCE 是平行四边形（ 8 分） 又 EF 是 AC 的垂直平分线， EA=EC， 四边形 AFCE 是菱形（ 10 分） 方法三：同方法二，证得四边形 AFCE 是平行四边形（ 8分） 又 EF AC，（ 9 分） 四边形 AFCE 为菱形 21（ 1）四边形 BEDF 是菱形 在 DOF 和 BOE 中， FDO= EBO， OD=OB， DOF= BOE=90， 所以 DOF BOE， 所以 OE=OF 又因为 EF BD， OD=OB， 所以四边形 BEDF 为菱形
24、（ 5 分） （ 2）如图，在菱形 EBFD 中， BD=20， EF=15， 则 DO=10， EO=7.5 由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 S 菱形 EBFD= EFBD=BEAD， 即 所以得 AD=12 根据勾股定理可得 AE=3.5，有 AB=AE+EB=16 由 2（ AB+AD） =2（ 16+12） =56， 故矩形 ABCD 的周长为 56 22 四边形 ABCD 是平行四边形， AF BE， 又 EF AB， 四边形 ABEF 为平行四边形， AE 平分 BAF， BAE= FAE， FAE= BEA， BAE= BEA， BA=BE， 平行四边形 ABEF 为菱形 23（ 1）证明：在 矩形 ABCD 中， AB CD， BAC= DCA， 又 CAE= ACE， ACF= CAF， EAC= FCA AE CF 四边形 AECF 为平行四边形， 又 CAE= ACE， AE=EC AECF 为菱形 （ 2）设 BE=x，则 EC=AE=8 x， 在 Rt ABE 中， AB2+BE2=AE2， 即 42+x2=（ 8 x） 2 解之得 x=3，
