1、72 学时高等数学 辅导材料 1 72 学时高等数学辅导材料 第一章、 函数与极限 1、函数的定义、函数的二要素 表达式和定义域，两个函数相等的条件； 2、函数的分类 :分段函数、反函数、复合函数 他们的特点和要点； 3、函数的极限的定义、性质和要点，特别是 0xx 时的情况； 4、 无穷小量和无穷大量的定义、无穷小量的性质、他们之间的关系、无穷小量的比较 p23 (10)； 5、函数极限的运算； 6、极限存在定理； 7、两个重要极限；结构和使用方法 p23 8、函数的连续性 定义、函数连续的三要素、间 断 9、 初等函数的连续性 5 个性质 连续函数的四则运算还是连续函数、连续函数的复合函数
2、还是连续函数、最值定理、介值定理、根存在定理； _ 1、 在下列各对函数中那些事相同的 a、 xxgxxf )(,)()( 2 b、 1)(,c o ss i n)( 22 xgxxxf C、 xxgxxf ln2)(,ln)( 2 d、 2 1( ) , ( ) 11xf x g x xx 2、 2233( ) ( 1 3 ) ( 1 3 ) ( )f x x x x 判 定 的 奇 偶 性 3、042lim 11xxx 4、 xxxsinlim 5、 311lim(3 2 )xx x 6、函数 2312 xxy的间断点为 7、函数)2)(1( 1 xxy的连续区间为 8、011lim ln
3、(1 )x xx= 9.，计算极限 3 11lim (3 2 ) xx x 10、 . xx xxx tansintanlim 20 11、 lim ( 1 )n nn . . 72 学时高等数学 辅导材料 2 12、设 001 coslimln(1 )x xxt dt ， . 13、 ta n( ) a r c sin( ) ( 0 )2 xf x xx 补充定义 (0)f 之值，使 ()fx在 0x 处连续。 . 14，设 ( ) ( 1 ) ( 2) ( 3 ) ( 4)f x x x x x ，则 ( ) 0fx 在区间 1,4 上恰有 _个根 15、 11lim ( sin sin
4、)1n n nn . 16、设函数 3 ta n( ) a r c sin( ) ( 0) , ( ) 02 xf x x f x xx 要 使 得 在 处 连 续 ， 需要补充定义函数值 (0)f 为多少？ 第二章、 导数与微分 1、 导数的定义0limxy dyx dx 、导数的意义、 2、 函数的连续性与可导性的关系 3、 函数的求导法则 导数的四则运算法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、参数方程函数求导法则、高阶导数 4、 微分的定义、几何意义 5、 微分的求法、微分形式不变性 6、 近似计算 ( ) (0 ) (0 )f x f f x和 0 0 0( ) (
5、) ( ) ( )f x f x f x x x _ 1、 设函数 ()fx 在点 0x 处可导，且 (0) 1f ， 0 (5 ) ( 2 )limx f x f xx 2、 2lnxxy ， y 3、 ln si ny x x y 4、 xey x ln ， y = 5、 xey x sin ， y 6、设 cossi n( ),xy dyx 求 7、设 xxy sin)(cos ，求 y 8、 sincosx a ty b t （ a、 b 为常数），求22dxyd 9、 23cosx a tyt dyy dx 为 10，若 1arctan 1 xy x ， 则 yd 72 学时高等数学
6、 辅导材料 3 11、若 lg( ) ,xfxx则 ()fx 12、设 a r c ta n 2 1 , 求 dyyxdx13、 设 ,sin)(1 2 dtttxf x则 )( xf 14、设 s in( c os ) , ( 0 , ) , d2xy x x y 求 : 15、 0 xyee yx y 16、 122 xyyx ， dy 17、若 1( ) ,1 tft t 则 (9)f 18、设 a r c ta n 3 1 , dyyxdx 求. _ 第三章、 导数的应用 1、 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理 注重他们的使用条件和特点 2、 罗比达法则 两个无穷小量之比的极限、两
7、个无穷大量之比的极限、 未定型的极限 000 1 0 3、 函数性态的研究 2 个定义、 5 个定理、 三条渐近线 极值的定义、拐点的定义、 1 单调性定理、 2 极值的判断定理、 3 两个极值的判定定理、凹凸性的判定定理。水平渐近线、垂直渐近线、一般渐近线 4 、函数的最大值和最小值的计算 _ 1、函数 32( ) 3 9 5f x x x x 的极小值是：（ ） 2、当 |x 较小时， )1ln( x 4、当 x 较小时， x2sin 5、 函数24 ( 1)( ) 2xfx x有没有极值，如果有，是极大还是极小值 ？ 6求 xxxxf 1292)( 23 的单调区间和极值。 72 学时高
8、等数学 辅导材料 4 7、曲线)1(4 )3(2 xxy的斜渐 近线方程为 8、 xee xxx sinlim09、 210lim(cos )xx x10、x xx 20 cos1lim = 11、 exxex 2lnlim 212、 xx x0lim13、求：2000(ta n )lim2 ( sin )xxxt t dtt t t dt。 14、 10(1 )lim xxxex 15、 10(1 )lim xxxex求 = 16、已知点 3213 y a x b x a b （ ， ） 是 的 拐 点 ， 则 17、已知 )31(， 为曲线 1423 bxaxxy 的拐点，则 ba、 的值
9、分别为 _ 第四章、 不定积分 1、 不定积分的 定义 原函数族 ( ) ( )f x dx F x c 2、 不定积分的意义 几何意义和物理意义 3、不定积分的性质（ 5 个） 4、不定积分的基本公式 16 个 5、积分法 、直接积分法； 、换元积分法；凑微分法和换元法 、分部积分法；降幂法和循环法 _ 1、 dxxcos1 1 2、 dxxsin1 1 3、 求 xedx21= 4、 ( ( ) )d f x dxdx 5、求 3 23 xdx= 6、求 xdxxarctan 7、 tanxdx 8、 11 x dxe 19、 2、设 ，求 f(x) 5、 dxex 求 323(1 )x
10、dxx 72 学时高等数学 辅导材料 5 9、 ()xf x dx 10、 xxaedx 11、 xxedx 12、 xdxxln 13、 1xedx14、 dxae xx 15、1dxx16、 xxaedx = 17、 tanln cosx dxx . _ 第五章、 定积分及其应用 1、 定积分的概念 定义：0lim ( ) ( )bii af a x f x dx 、几何意义 -曲边梯形面积 2、 定积分的补充点；定积分只是一个纯数、与积分变量无关、 ( ) 0aa f x dx、( ) ( )baabf x dx f x dx 3、 定积分的性质 7 个 4、 变动上线函数 ( ) (
11、)xaQ x f t dt且有 ( ) ( )Q x f x 5、 牛顿 -莱布尼兹公式 ( ) ( ) ( )ba f x d x F b F a要注意它的适应条件 只能在 ,ab 这样的闭区间中使用。 6、 定积分的计算 实际上就是利用不定积分后带上下线，方法与不定积分行同。 7、 广义积分和无界函数积分 8、 定积分的应用（ 5 个） A、 平面图形的面积；直角坐标系下平面图形面积的计算 4 种情况； 极坐标系下平面图形面积的计算 2121 ()2s r d B、 旋转体的体积 22( ) ( )bdxyacV y x d x V x y d yC、 函数的平均值 ()bay f x d
12、x就是积分 中值定理 D、 变力所做的功 ()baW f x dsE、 液体的静压力 baF pds_ 1、0 sinxy tdt2xy 2、1221xe dxx 3、 10 xxe dx 72 学时高等数学 辅导材料 6 4、 若在 ,aa 上 )(xf 为偶函数，则0( ) ( ) ( )aaa f x d x f x d x 5、 1 20xdx（ ） 1 30xdx6、 21 xe dx（ ） 2 21 xe dx7、 41 xdx 8、 221 16dxx 9、 2 20 cosx xdx 10、 1 20 xe dx11、求 dxxex 1 0 12、 1 sin(ln )e x
13、dx13、 23423 sin3 2 1xx x d-14、广义积分21 d1 xx ，2 d1 x xx ， 121 1 dxx中收敛的个数为 .15、 20 2 xxe dx 16、 1 321 cosxx 17、设 21() 1Fx x ，且 3(1) 2F ，则 ()Fx _ 18、设 )(xf 有一个原函数为 xxsin ，求 2 )( dxxfx19、设函数 ()fx在闭区间 , ab 上连续， ( ) ( )bxx f t dt ，那么 ()x 是 ()fx的（一个原函数 ） 20、设 1 l n (1 )( ) ( 0 )x tf x d t xt ， 则 1( ) ( )f
14、x f x = 2ln2x _ 第六章、 空间解析几何 1、 空间直角坐标系 8 个卦限 注意每一个卦限的坐标的表示 3 个坐标平面 注意以坐标平面对称的点表示。 2、 两点之间的距离 2 2 22 1 2 1 2 1( ) ( ) ( )A B x x y y z z 3、 向量及坐标表示 AB xi yj zk 、 单位向量 0 aaa4、 向量的数量积 c o s ( , )a b a b a b 数量积是一个实数、两个非零向量相互垂直的充分条件是 0ab 72 学时高等数学 辅导材料 7 10i i j j k k i j j k k i 两个向量的夹角余弦 1 2 1 2 1 22
15、2 2 2 2 21 1 1 2 2 2c os( , )x x y y z zabab abx y z x y z 5、 向量的向量积 大小 sin ( , )c a b a b 实质上是所构成 的平行四边形的面积、 方向 c a b 右手法则、两个非零向量平行的充分条件是 0ab 、或表示为 （两个非零向量平行的充分条件是它们的对应坐标成比例）； 向量积的坐标表达式： 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2( ) ( ) ( )i j ka b x y z y z z y i z x x z j x y y x kx y z 6、 空间平面方程 一般方程 0
16、0 00 ( ) ( ) ( ) 0A x B y C z D A x x B y y C z z ABC、 、 是空间平面的方向向量； 截距式方程 1x y za b c 其中 D D DabcA B C 分别是在想 x、 y、 z 轴上的截距； 两个平面垂直的充分必要条件是 1 2 1 2 1 2 1 2 0n n A A B B C C 两个平面平行（或重合）的充分必要条件是 1 1 1 1 12 2 2 2 2()A B C D DA B C D D 或 参阅平 122 123 例题 1、 点 ),( cba 关于坐标面 yoz 、 xoz 的对称点分别为： 3、在 x 轴上与两点 )
17、2,5,3()7,1,4( BA 和 等距离的点为 _ 6、在 z 轴上与两点 )1,5,3()5,1,4( 和 等距离的点为 _ 7、在 y 轴上与两点 )2,5,3()7,1,4( BA 和 等距离的点的坐标为 _ 8、点 )3,2,1( 关于 z 轴对称的点的坐标为 9、求过点 3,2,10 P ，且与两平面 12 zx 和 23 zy 平行的直线方程。 72 学时高等数学 辅导材料 8 10、如 )35.02( kji / )4( 22 kyjxi 则： 22,yx 11.求经过两相交直线及的平面方程 . 12、 1( 2 4 2 ) ( 3 5 )2i j k i j k 13、判断
18、直线 l x y z: 23 54 1与平面 :3 2 15 0x y z 是否平行？ _ 第七章、 多元函数的微分学 1、多元函数的定义； 2、二元函数的极限，注意只有在所有路径的极限都存在时的极限才存在； 3、二元函数的连续性，间断点 点状间断点和现状间断点； 4、多元函数的偏导数 5、偏导数与连续性的关系 -两者没有关系。注意：混合偏导的次序问题； 6、多元函数的全增量和全微分的概念 7、多元复合函数的连锁法则、全微分形式不变性 8、隐函数的微分法 多元隐函数的微分法； 9、多元函数的极值； 1、 22221l n ( 1 ) 4z x y xy 的定义域为 2、函数 )ln (1 22
19、 yxz 的定义域为 3、 xxyyx 3)sin(2lim)1,0(),(4、 3222( , ) ( 0 ,0 )limxy xyxy _. 5、( , y ) ( 0 ,1)2 si n( )lim 3xxyx 6、计算极限 222( , ) ( 0 ,0 )lim xy xyxy。 7、( , ) ( 0 ,0 )lim 11xyxyxy 。 8、 设 z= 求. 。 72 学时高等数学 辅导材料 9 9、 )()( 2 ygxfz 的二阶混合偏导数为 _ 10、 xyze 对 y 的偏导数为 11、 cos( )y xy 的二阶混合偏导数为 _ 12、 )( xyzed 13、设 2
20、xyze , 而 3sin ,x t y t, 求 dz 14、设 xyyxfz ，22 ，其中函数 f 具有二阶连续的偏导数，试求xz，yxz2 15、已知 )(,),( uFxyuuxFxyz 而为可微函数，求证： xyzyzyxzx 16、glT 2，求证： 0 gTglTl17、设函数 sin + cosxz e y y ， 试求： zx ， 22zy， 32zxy。 18、设 2 2 2 40x y z z ，则 22zx= 。 19、设 2 2 2 , si n ( ) ,uuu x y z x y zyz 求 ：。 20、设： ln ( ), xyu x y z z e 求： u
21、x 。 21、设 si n ( si n si n ) (u x f y x f 为可微函数） 证明： yxyxyxyu c o sc o sc o sc o s 22、 设 222,x zzzy x x y 求 ：_ 第八章、 多元函数的积分 1、二重积分的定义、性质（ 5 个） 2、如何将二重积分化为二次积分 3、直角坐标系下二重积分的计算方法、如何确定二重积分的积分区间和积分次序以及上下线的确定； 72 学时高等数学 辅导材料 10 4、极坐标系下二重积分的计算方法、如何确定二重积分的积分区间和积分次序以及上下线的确定； 5、如何更换二 重积分的积分次序； _ 1、 20c o s0 )
22、,( a drrGd 的积分区域为： 2、 设 D 是由抛物线 2yx 和 直线 yx 围成的平面区域，则二重积分D xyd_ 3、设 D 为 90 22 yx 的上半部分，则 D dyxf ),(在极坐标下的二次积分式为： _ 4、改变二次积分 221 11 1 ( , )xxdx f x y dy 的次序的积分为 _ 5、交换 0 1 1 11 0 0 0( , ) ( , ) xxd x f x y d y d x f x y d y积分次序后为 _.。 6、 更换 1200 ( , )ydy f x y dx的积分次序后的积分为 7、 2211 ( , )xxdx f x y dy 更
23、换积分次序后的积分为 8、 21100 ( , )xdx f x y dy 其极坐标的二次积分式为： 9、计算 c os( ) , 0 ,2积 分 区 域 ： 由 及 围 成D x y d D x y y x 。 10、计算 cos( ) ,D x y d D由 0, 2xy 及 yx 围成 11、计算2( 2 ) ,D x y d D由 2yx 与 yx 所围成 12、计算 ()D x y dxdyD：由 0 , 0 , , si nx y x y x 所围成的平面域 13、 计算 22ln (1 )D x y dxdy22: 1 , 0 , 0D x y x y （提示：用极坐标计算积分） 14、计算 22ln (1 ) d dD x y x y， 22:4D x y，且 0x ， 0y . 。 15、计算 2 2 2 2 2 2sin , 9D x y d D x y 积 分 区 域 ：。 16、计算 Dy xxyxyDd xd yxeI 0,2,1:, 2所围区域 17、求平面 1(z h h 0) 与抛物面 221 yxz 所围成的立体的体积 V
