1、参数方程典型例题分析 例 1 在方程 （ 为参数）所表示的曲线上一点的坐标是（ ） （ A）（ 2， 7）（ B）（ ， ）（ C）（ ， ）（ D）（ 1， 0） 分析 由已知得 可否定（ A）又 ，分别将 ， ， 1 代入上式得 ， ， 1，（ ， ）是曲线上的点，故选（ C） 例 2 直线 （ 为参数）上的点 A， B 所对应的参数分别为 ， ，点 P 分 所成的比为 ，那么点 P 对应的参数是（ ） （ A） （ B） （ C） （ D） 分析 将 ， 分别代入参数方程， 得 A 点的横坐标致为 ， B 点的横坐标为 ， 由定比分点坐标公式得 P 的横坐标为 ， 可知点 P 所对应的参
2、数是 故应选（ C） 例 3 化下列参数方程为普通方程，并画出方程的曲线 （ 1） （ 为参数， ） （ 2） （ 为参数）； （ 3） （ 为参数）， 解：（ 1） ， 或 故普通方程为 （ 或 ），方程的曲线如图 （ 2） 将 代入得 普通方程为 （ ），方程的曲线如图 （ 3）两式相除得 代入 得 整理得 普通方程为 （ ），方程的曲线如图 点评（ l）消去参数的常用方法有代入法，加减消元法，乘除消元法，三角消元法等；（ 2）参数方程化普通方程在转化过程中，要注意由参数给出的 ， 的范围，以保证普通方程与参数方程等价 例 4 已知参数方程 若 为常数， 为参数，方程所表示的曲线是什么？
3、若 为常数， 为参数，方程所表示的曲线是什么？ 解：当 时，由（ 1）得 ，由（ 2）得 ， ， 它表示中心在原点， 长轴长为 ，短轴长为 焦点在 轴上的椭圆 当 时， ， ， 它表示在 轴上 的一段线段 当 （ ）时，由（ 1）得 ， 由（ 2）得 平方相减得 ， 即 它表示中心在原点，实轴长为 ，虚轴长为 ， 焦点在 轴上的双曲线 当 （ ）时， ，它表示 轴； 当 （ ）时， ， （ 时）或 （ 时） ， 方程为 （ ）， 它表示 轴上以（ 2， 0）和（ 2， 0）为端点的向左和向右的两条射线 点评 本题的启示是形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线，因此要注意区分问题中
4、的字母是常数还是参数 例 5 直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数）相切，则直线的倾斜角 为（ ） （ A） 或 （ B） 或 （ C） 或 （ D） 或 分析 将参数方程化为普通方程，直线为 （ ）， 当 时不合题意 因为 ，它们相切的充要条件是 ， 解得 ，又 ， 或 ，故选（ A） 例 6 求椭圆 上的点到直线 的最大、最小距离 解 将椭圆普通方程化为参数方程 （ ）， 则椭圆任意一点 的坐标可设为 （ ， ）， 于是点 到直线 的距离 ，此时 ； ，此时 点评 利用参数方程，将圆锥曲线上的点的坐标设为参数形式，这样减少曲线上点的坐标所含变量的个数，将二元函数的问题转化为一元函数的问题 例
5、 7 已知点 P 是圆 C： 上一动点，点 P 关于点 A（ 5， 0）的对称点为 Q，半径 CP 绕圆心 C 按逆时针方向旋转 后得到点 M，求 的最大值和最小值 解 如图，设点 （ ， ）， 则点 M 为（ ， ）， 即 M（ ， ） 又点 A（ 5， 0）为 Q 的中点，则点 Q 为（ ， ）， 且 所以 时， 取得最大值 时， 取得最小值 点评 此题根据圆的参数方程是利用转角 作参数，由点 坐标求点 M 坐标，再把与坐标 ，相关的 的最值转化成 的最值来求解 例 8 直线 与椭圆 交于 A， B 两点，当 变化时，求线段 AB 中点 M 的轨迹 解 设 AB 中点 M（ ， ）， 直线
6、 的方程为 （ ， 为参数） 代入椭圆方程有 中可得 设 A， B 对应的参数值分别为 ， ，则有 ， 又 ， ，又 ， 故 ，即 所以 M 点的轨迹是直线 在椭圆 内部的一条线段 例 9 已知线段 ，直线 垂直平分 交 于点 O，并且在 上 O 点的同侧取两点 P， ，使 ，求直线 BP 与直线 的交点 M 的轨迹 解 如图， 以 O 为原点， 为 轴， 为 轴，建立直角坐标系 ， 依题意，可知 B（ 0， 2）， （ 0， 2）， 又可设 P（ ， 0）， （ ， 0），其中 为参数，可取任意非零的实数 直线 BP 的方程为 直线 的方程为 两直线方程化简为 解得直线 BP 与 的交点坐标为： （ 为参数） 消去参数 得 （ ） 所求点 M 的轨迹是长轴为 6，短轴为 4 的椭圆除去 B， 点 点评 用参数法求解轨迹问题时，首先要建立适当的坐标系，然后选择参数，表示出有关点的坐标，求出动点轨迹的参数方程，必要时还要化成普通方程，根据方程确定轨迹的形状，大小等特征
