1、概率论第五章习题解答（科学出版社）1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布，现随机地取 16 只，设它们的寿命是相互独立的，求这 16 只元件的寿命的总和 1920h 的概率。解 设这 16 只元件的寿命为 ， ，则 ，iX1,26 16iiX因为 ，()0iE2()0iD于是随机变量 近似的服从16162 1640i ii inXZ(0,1)N0919204XP0.8P .16.8P1(.)172192（1）一保险公司有 10000 个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为 280 美元，标准差为 800 美元，求索赔总金额不超过 2700000 美元的概
2、率；（2）一公司有 50 张签约保险单，每张保险单的索赔金额为 ， （以千美iX,50元计）服从韦布尔分布，均值 ，方差 求 50 张保险单索赔的合计总金()5iEX()6iD额大于 300 的概率。解 （1）设每个投保人索赔金额为 ， 1,20i ，则索赔总金额为10iiX又 ， ，所以，()280iEX2()80iD索赔总金额不超过 2700000 美元的概率717PPX012802708ii10188iiXP近似的服从10201.25ii(0,1)N即 2701(.25)PX(1.)0.894（2） 33051250603iiXP501ii5012.896iiXP(2.89)0.1.3、
3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）将 1500 个数相加，问误差总和的绝对值超过 15 的概率是多少？（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90？解 设每个加数的舍入误差为 ， ，由题设知 相互独立同分布，且在iX1,250 iX（0.5，0.5）上服从均匀分布，从而，0.5()2iEX2(.)1)iD(1)、记 ，由独立同分布的中心定理有 近似的服从150ii50251XX，从而 (0,1)N|15|PXP1P152215()()。32()52(1.34)2(0.9).1
4、802（2） 、记 ，要使 ，由独立同分布的中心极限定理，1niiX|10.9PX近似地有|0P10122Xnn102().9即 ，查表得10().952n(.64)0.5令 ，解得 。.6413n即最多可有 443 个数相加，可使得误差总和的绝对值小于 10 的概率不小于 0.90。4、设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg，圴方为 0.1kg，问 5000 只零件的总重量超过 2510kg 的概率是多少？解 设每只零件的重量为 ， ，由独立同分布的中心极限定理知iX1,250近似地服从501.0ii(,)N则 251250PXPX01.12505
5、ii01.05iiXP10.92070.0793。()(.4)7.05、有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m，现从这批木柱中随机地取100 根，求其中至少有 30 要短于 3m 的概率。解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在 100次试验中长度不小于 3m 的根数记作 ，则 是随机变量 ，且 ，XX(10,.8)b:其分布律为，1010.82kkPXC,2,10所求的概率为 7由德莫弗拉普拉斯定理可求它的近似值10.8701.8022XP1654XP。5()0.938.6226、一工人修理一台机器要两个阶段，每一阶段需要时间（小时）服从均值为
6、0.2 的指数分布，第二阶段所需要的时间服从均值为 0.3 的指数分布，且与第一阶段独立。现有 20 台机器需要修理，求他在 8 小时内完成任务的概率。解 设修理第 （ ）台机器，第一阶段耗时 ，第二阶段为 ，则共耗时为i1,20 iXiYiiZXY已知因为指数分布的数学期望为 ，方差 ，即 ， ，2()0.2iE()0.3i， ，又第一阶段和第二阶段是相互独立的，故 2()0.iD2()0.3i)().3.5iiEZXYEY2()(01iiiiDD20 台机器需要修理的时间由独立同分布的中心极限定理，20 台机器需要维修的时间可认为近似地服从正态分布，即 202020111().5(10,2
7、.6)3iiiiZEZND:而所求概率 201.8ipPZ()2.6()()(1.4).52.6140892.7即不大可能在 8 小时内完成任务。 （因为完成任务的可能性不到 20%）7、一家食品店有三种蛋糕出售，由于出售哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取 1 元、1.2 元、1.5 元各个值的概率分别为 0.3，0.2，0.5。若售出300 只蛋糕，（1）求收入至少 400 元的概率。（2）求售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率。解 设第 格为为 （ ） ，其分布律iiX1,230由此得（即平均收入）()10.32.150.29iEX241.73i22
8、2()().()048iiiDEX以 表示总收入，即 ，由独立同分布中心极限定理，得X301ii303011.2987(3,14.67)48.6i ii iXN:则收入超过 400 元的概率为303011i ii iPXPX30187403.61.6ii403().71(.9.8。0903（2）以 记 300 只蛋糕中售价为 元的蛋糕数，于是Y2， （出售这种蛋糕的平均只数） ，(3,.2)b:(.6EY(二项分布的方差)0.84Di .5ip0.3 0.2 0.5售出价格为 1.2 元的蛋糕多于 60 只的概率为60160PYY4.8.1(0)5（即有 50%的可能售出 60 只价格为 1.
9、2 元的蛋糕。 ）8、 （1）一复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行过程期间每个部件损坏的概率为 0.10，为了使整个系统起作用，至少必须有 85 个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。（2）一个复杂系统由 n 个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠性（即部件正常工作的概率）为 0.9，且必须至少有 80%的部件正常工作才能使整个系统工作，问 n至少为多大时才能使系统的可靠性不低于 0.95。解 （1）设正常工作的部件数为（ ） ，0iX， 第 i个 部 件 在 整 个 运 行 期 间 工 作， 第 个 部 件 在 整 个 运 行 期 间 损 坏 0,12,i由题
10、设知 （ ）相互独立，且 ，i,12,0 .9iPX，设 ，则 。由德莫弗拉普拉斯定理知，0.iP1iiX(10,.)b:近似地服从正态分布 ，从而1.9X(,)N8585PX10.98510.95()(.67).23（2）设观察每个部件是否损坏为一次试验，记损坏的部件数为 ，则 是一个随机X变量，且 ，由于当有 20%的部件不工作时系统就不能工作，因此若设(,0.1)Xbn:（取整数） ，则当正常工作的部件数 时，系统就不能正常工作。根据德莫.NN弗拉普拉斯定理0.10.199XnnPN.03n.()0.95.03n查表得 （由标准正态分布的对称性。 ） ，(1.65)0.9由于 （取整数）
11、 ，故可以认为 ，0.2Nn0.1.Nn令 ，有 ，.34952.即 当 n 至少为 25 时，才能使系统的可靠性不低于 0.959、已知在某十字路口，一周事故发生数的数学期望为 2.2，标准差为 1.4（1）以 表示一年（以 52 周计）此十字路口事故发生数的算术平均，试用中心极限定X理求 的近似分布，并求 。2PX（2）求一年事故数小球 100 的概率。解 （1）设该十字路口第 周发生事故次数为 ，则 （ ）是相互独立iiiX0,12,5的随机变量，已知 ，标准差 ，()2.EX().4D则方差 ，21.496于是 服从正态分布 ，由中心极限定理，i 2(.,14)N。 （见教材 P122
12、 之（2.3）式） 。2.(,)5Xn:又 .1452P.20.1491XP(.03)(.)。85（2）设 ，则521iiX52.1052.04.4XP.(1.3).96152(.43)0.7410、某种汽车氧化氮的排放量的数学期望为 0.9g/km，标准差为 1.9g/km 某汽车公司有这汽车 100 辆，以 表示这些汽车氧化氮排放量的算术平均值，问当 为何值时 的XLXL概率不超过 0.01。解 设每辆汽车的氧化氮排放量为 （ ） ，则 是相互独立的随机变量，iX1,20 iX且 ， ， ，()0.9iEX().9iD2.由中心极限定理知， 2.,10N:于是 1PLXL.9.0.91()
13、00L令 ，即 0.1()1.()查表有 2.3.9令 ，得 g/km0.1L.3427L11、随机地选取两组学生，每组 80 人，分别在两个实验室测量某种化合物的 PH 值，各人测量的结果是随机变量，且相互独立，服从同一分布，数学期望为 5，方差为 0.3。以，X分别表示第一组和第二组所得的结果的算术平均值。Y（1）求 ；4.95.1PX（2）求 00Y解 因为 ， ()E0.3()8D（1） 由中心极限定理知 近似服从 ，于是X(5,.)N4.9.154.95.1038.038XPP.()()62.621.。0948.10.89（2） 因为 ，()()EXYEY()()0.34DXYDY由
14、中心极限定理知 近似服从 ，故,.34N0.10.10.1.34.34XYPXYP.()().2()870.121587。49.80.4912、一公寓有 200 住户，一户拥有汽车数 的分布分赴为XX0 1 2kp0.1 0.6 0.3问需要多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车邻六事鬼概率至少为 0.95。解 设需要的车位数为 , 设第 （ ）户有车辆数为 ，则ni1,20 iX()0.1.6.3iEX248i222()()1.0.36iiDEX因为共有 200 户，各户占有车位相互独立，从而近似地有201(.,036)iiXN:所求概率为，201.95iiPn即 201201.201.()(
15、)367ii nX240().958.n查表知 ，.5).9.5令 ，解得 24018.n24n由此知至少需要 254 个。13、某电子器件的寿命（小时）具有数学期望 （未知） ，方差 。为了估计 ，20随机地取 n 只这种器件 ，在时刻 投入测试（测试是相互独立的）直到失效，测0t得其寿命 ，以 作为 的估计，为使12,nX 1niiX， 问 n 至少为多少？|10.95PX解 由独立同分布中心极限定理， 近似的服从20X(0,1)N|1nPXP()()202()10要使 ，即 ，亦即|1.95PX()1.95n()0.9752n查表知 ，得 ， ，(.6)0.7.6203.136.4故 n
16、 至少为 1537。14、某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难血液病的治愈率为 0.8，医院任意抽查 100 个服用此药品的病人，若其中多于 75 人治愈，就接受此种断言。（1）若实际上药品对这种疾病的治愈率为 0.8，问接受这一的概率是多少？（2）若实际上此药品的治愈率为 0.7，问接受这一断言的概率是多少？解 （1）设 表示服用此种药品而治愈的病人数，则 ，此时X(10,.8)Xb:()10.8E，.216D()4D由德莫弗拉普拉斯中心极限定理， 近似的服从X(,)0.8,.02(8,16)NnpNN若实际上药品对这种疾病的治愈率为 0.8，接受接受这一断言，即 75X75175PX8041(.25)(1.)0.894（2）若实际上此药品的治愈率为 0.7，接受这一断言即 ，而75X
