1、1习题 11.1 求题图1-2 双边指数函数的傅里叶变换 , 双边指数函数的波形如图所示, 其数学表达式为 0 t题图1-2 双边指数函数解：是一个非周期信号，它的傅里叶变换即为其频谱密度函数，按定义式求解：xt() 220)2j(0)2j( 02j0jj )(j1j dddfaffatete tefXfafa ftatfttf 1.2 求题图 1-1周期三角波的傅里叶级数 (三角函数形式和复指数形式), 并画出频谱图。周期三角波的数学表达式为 202)( TttTAtx()A0 tT22题图1.2 周期性三角波解：将 展开成三角函数形式的傅里叶级数，求其频谱。)(tx计算傅里叶系数： 是偶函
2、数 )0()(atetxat000x(t)2 0nb21d)(12/0 ATtxTa 2/00 2/00/00/ dcos8 dcos)(4dcos4)(T Tn tntA tntAtnAxa tnt 020cos10i1于是，有 2/02000 )cos1si(8TtntTAa.6,4532n由此得 的三角函数形式傅里叶级数展开上展开式为)(txtnAtxn0,3122cos)(若取 )i(0nan次谐波分量的幅值 224bnnn次谐波分量的相位 arctn画出 的频谱如题图1.2(b)所示。)(tx将 展开成复数形式的傅里叶级数，求其频谱。计算傅里叶系数 2d)(120AtxTc202 0
3、0jdcos)(1 d)sincoTtnn ttx tjtec3.6,4253102nAn42A92452A94812A0 3070n /2 /2 /2 /2 /2 0 305709题图1.2(b)由此得 的复指数形式傅里叶级数展开上展开式为)(tx tnneAtx0j,.53,122)( n次谐波分量的幅值 2cnn次谐波分量的相位 0arctntnbnn画出 的频谱如题图1.2(c)所示。xt()1-3 求正弦信号 的绝对均值 ，均方根值 及概率密度函数)si()(tAt x)(rmstxp(x)。解42cosdsin2d)in(1)(1/0/02/ AattaTAtTxTTx d1i10
4、2022 ttx Axx)(2rmsn2A925249A812907500 3035070n0350700 907503- - - - -题图1.2(c) 取 taAtxsin)(有 dcodattTxtp 2sin1s2)( 21A1.4 求被矩形窗函数截断的余弦函数 (题图1.4) 的频谱，并作频谱图。t0cosTttx)(解 Tt tteX0j0 dcos2dcos)( 5ttT d)cos()cos(00000ininT)c(si)c(siTT题图1.4或者， tetXTdcos)(j0tTt)(21j()j 0 )csinsin00TT1.5 单边指数函数 与余弦振荡信号 的乘积为
5、,)(tAetxttty0cos(z(t)=x(t) y(t), 在信号调制中 , x(t) 叫调制信号, y(t) 叫载波 , z(t) 便是调幅信号 。若把 z(t) 再与 y(t) 相乘得解调信号 w(t)= x(t) y(t) z(t)。求调幅信号 z(t) 的傅里叶变换并画出调幅信号及其频谱。求解调信号 w(t) 的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。解：首先求单边指数函数 的傅里叶变换及频谱)0,(taAetxt2j2j dd)( tefXftatf0)j(0)j( jtfatfafAe22)(jf)(faX余弦振荡信号 的频谱tfty02cos)(6)()(21)( 00fffY利
6、用 函数的卷积特性,可求出调幅信号 的频谱tyxtz)()()()()( 00fffXfffZ)(21)(212020fafaAxt() f(A A/a0 t 0 fa a x(t) Yf()0 0 t 0 ff0fb bzt() Zf()A aA20 t 0 f f0f0c c题图1.5 a 调幅信号及其频谱求解调信号 w(t) 的傅里叶变换并画出解调信号及其频谱。利用数的卷积特性, 求出调幅信号 的频谱, 见题图1,5b。)()(tytxw)2()2(1)2(1(4 )( 0202 00 fafafaAfffZfYfZfW7Wf()aA20 20fff00ff题图1.5 b 解调信号频谱若
7、 足够大，从解调信号频谱图中区间（- ， ）的图像可恢复原信号的波形，图f0 f0略。1-5 求三角窗函数的频谱，并作频谱图。题图1-5解： 20,2)(TttTAtx txetXt d)sinj)(cod)()(j 2/02/0 co4sTTttttcos10in2于是，有 )12(cos4)sin(4)( 2/022 TAttTAXT8)4(csin2)4(sin2TATA或 )(i2ffX1-7 求用单位脉冲序列g(t) 对单边指数衰减函数y (t)采样(题图1-7)的频谱，并作频谱图。x(t)10 tT0 4T03T02T0题图1.70,0)()(0taetynttgtn解： )(1)(00nTffG2)(afYnS aTnfTfffY 2020)/(411)()
