1、1通信原理习题参考答案第二章2-1.设随机过程 (t)可表示成(t)2cos(2 t+)式中 是一个离散随机变量，且 P(=0)=1/2、P( =/2)=1/2 ，试求 E(1)及 R (0,1)。解：求 E (1)就是计算 t=1 时 (1)的平均值： (0)2cos(0+) 2cos(1)2cos(2+ ) 2cos E(1)P(=0)2cos0P( =/2)2cos(/2)(1/2)201R (0,1)E(0) (1)E2cos2cos E4cos 2P(=0)4cos 20P(=/2)4cos 2(/2)(1/2)42题解：从题目可知， 是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出
2、 (t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。22-2. 设 Z(t)X 1cos 0tX 2sin 0t 是一个随机过程，若 X1 和 X2 是彼此独立且具有均值为 0，方差为 2 的正态随机变量，试求(1) EZ(t)、EZ 2(t) (2) Z(t)的一维分布密度函数 f(z);(3) B(t1,t2)与 R(t1,t2)。解：(1) EX 1EX 20，且 X1 和 X2 彼此独立 EZ(t)EX 1cos 0tX 2sin 0tEX 1cos 0tEX 2sin 0tEX 1cos 0tEX 2sin 0t0EZ2(t)E(X 1cos 0tX 2sin 0t)2EX 12co
3、s2 0t2 X 1 X2 cos 0t sin 0tX 22sin2 0tEX 12cos2 0tE2 X 1 X2 cos 0t sin 0tEX 22sin2 0tcos 2 0t EX122 cos 0t sin 0tEX1EX2sin 2 0t EX22cos 2 0t EX12 sin 2 0t EX22又 EX 12DX 1E 2 X1DX 1 2EX22DX 2E 2 X2DX 2 2 EZ 2(t) 2 cos2 0t 2 sin2 0t 2 (cos2 0tsin 2 0t) 2(2)由于 Z(t)X 1cos 0tX 2sin 0t 是由两个正态随机变量 X1 和X2 叠
4、加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的其中： EZ(t)0DZ(t)EZ 2(t)E 2 Z(t)EZ 2(t) 2exp)( 2)(aZf 3所以得一维分布密度函数 f(Z)为：(3) B(t1,t2)R(t 1,t2)E Z(t 1) E Z(t2)R(t 1,t2)E Z(t 1) Z(t2)E (X 1cos 0t1X 2sin 0t1)( X1cos 0t2X 2sin 0t2)E X 12cos 0t1 cos 0t2X 1 X2cos 0t1 sin 0t2X 1X2sin 0t1cos 0t2X 22sin 0t1 sin 0t2cos 0t1 cos 0t2E X12cos
5、0t1 sin 0t2 E X1 X2sin 0t1cos 0t2 E X1 X2sin 0t1 sin 0t2 E X22cos 0t1 cos 0t2E X12 sin 0t1 sin 0t2 E X22 2 (cos 0t1 cos 0t2sin 0t1 sin 0t2) 2 cos 0(t1t 2) 2 cos 0 其中 t 1t 22-4. 若随机过程 z(t)m(t)cos( 0t)，其中 m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数 Rm()为 是服从均匀分布的随机变量，它与 m(t)彼此统计独立。(1) 证明 z(t)是宽平稳的；(2) 绘出自相关函数 Rz()的波形；(3) 求功率
6、谱密度 Pz()及功率 S。exp1)( 2Zf 01其 它,14解：(1) Ez(t)Em(t)cos( 0t) （m(t)和 彼此独立）Em(t) Ecos( 0t )=0RZ()R Z(t , t+)Ez(t) z(t+)Em(t)cos( 0t) m(t+ )cos 0(t+) Em(t) m(t+) Ecos( 0t)cos 0(t+)由上可见：z(t)的均值 Ez(t)与时间 t 无关，相关函数 RZ()只与时间 有关 z(t)是宽平稳的随机过程(2)由 RZ()可知：R Z() 是由 和 cos 00cos)(21mR)(21m在时域上相乘的结果，而 和 cos 0 在时域上的图
7、形分别如下：Rm() cos 0 21-1 0 +1 的波形 cos 0 的波形 )(21mRdtmE21)cos()(20 cos212(cos21)( 000 ddtm R5所以 RZ()的波形如下：(3)由 z(t)m(t)cos( 0t) 可以看出：z(t)是由 m(t)和 cos( 0t)在时域上的相乘结果，则在频域上有：Pz()P m( ) *Pc() ，其中 Pm()是 m(t)的频谱Pc()是 cos( 0t)的频谱又因为 Pm() 421sa21aPc() ()(200P z()P m() *P c() *21sa ()00 2)(40saSR Z(0) 0cos)(21m2
8、1RZ() 21-1 +1 21RZ() 的波形 62-7.将一个均值为零、功率谱密度为 n0/2 的高斯白噪声加到一个中心角频率为 c、带宽为 B 的理想带通滤波器上，如图 P2-1 所示。(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数；(2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。解： (1)先求出频域上的输出噪声功率：HPn200,其 它 BBcc再求时域上的自相关函数，实际上就是频域 的傅里叶逆变换：P0dePRj0021 dejBjBcc 021ndenjBjBcc 21040 dejj cc H() 2B 2B c 0 c图 P2-1740 dedenjBjBcc caSos(2)高斯过程通过线性
9、系统时仍然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程，又 其中 是表示输出噪声的时0)(HtEaioto域表达式， 是表示输入噪声的均值i同时 BnBSntRao 00202 cs)(输出噪声的一维概率密度函数为：xxf 020ep212-10. 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为 Tb，脉冲幅度取1 的概率相等。现假设任一间隔 Tb 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证：(1)自相关函数bTR, 0/1b)(2)功率谱密度 P ()T bSa(f T b)2 。 解：(1) ，实际上就是求在时间 tEtR,)(t 和 t+
10、时， 的乘积的均值。当 时， 和 的取值互相独立，如图(a)所示bTttA Tb Tb Tb Tbt t+ t图(a) 8于是有： tER)(211210当 时， 和 的取值有两种情况：bTtt第一种情况： 和 都在同一个 Tb 范围内，也就是说 和t的取值相同，这种情况的概率是 如图(b)所示t bT设此时的自相关函数为 ,则有)(1RtE)(1bT212bT第二种情况： 和 不在同一个 Tb 范围内，也就是说 和tt t的取值分别是两个相邻的码元，这时 和 是相互t tt独立的，如图(c)所示A Tb Tb Tb Tbt t+ t图(b) A Tb Tb Tb Tbt t+ t图(c) 9
11、设此时的自相关函数为 ,则有)(2RtE)(2211210当 时：bTbTRR 21)(综上所述，有 b ,0/T b(2) RP)(由 的取值可以画出它的波形，如图(d)所示：2-12. 若 (t)是一个平稳随机过程，自相关函数为 R ()，试求它通过如图 P2-5 系统后的自相关函数及功率谱密度。R ()1T b Tb 图(d) 2)(babTSbabfbabfTS2(t) 输出图 P2-5相加延时 T10解：设输入信号 的功率谱密度为 ；输出信号为 ，它tPto的自相关函数为 ，它的功率谱密度为 ，于是有：oRoTttttP（傅氏变换的时延特性）jeTR tEooTttTttETttEttE RTTR2ooPTjTjePe jj2cosTP1
