1、第二章习题答案1某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。如果它们前十年每年底存款1000元，后十年每年底存款1000+ X 元，年利率7%。计算 X 。解： 20|7%10|751|65.2ssSX2价值10,000元的新车。购买者计划分期付款方式：每月底还250元，期限4年。月结算名利率18%。计算首次付款金额。解： 设首次付款为 X ，则有48|1.5%102a解得 X = 1489.363设有 n年期期末年金，其中年金金额为 n，实利率 i = 1。试计算该年金的现值。解： 2|1( 1)nnnivPVa4解： 则2(1)nnnad1 ()nYX5已知： 。计算 i。7118 5.
2、83, 7.6, 0.276a解：解得 i = 6.0%71871av6.证明： 10 sa证明： 1010 10()isaiv7已知：半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：开始4年每半年200元，然后减为每次100元。解：8某人现年40岁，现在开始每年初在退休8p3%20310 19.76aaPV金帐号上存入1000元，共计25年。然后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。设前25年的年利率为8%，后15年的年利率7%。计算每年的退休金。解： 设每年退休金为 X，选择65岁年初为比较日157%10258as解得 X = 8101.659已知贴现率为10%，计算 。8解
3、： d = 10%，则 8819 () 5.63ivai10.求证： 1 21 ()n nn nvsi。并给出两等式的实际解释。证明： (1) 1 nnnnnvavidi所以 nnv(2) 1(1)()()1 ()1nnnnii is id所以 ()nna12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利率6%，计算：1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终值。解：PV = 100a49】1.5% 100a 21.5% = 3256.88AV = 100s491.5% 100s21.5% = 6959.3713.现有价值相等
4、的两种期末年金A和B。年金A在第110年和第2130年中每年1元，在第1120年中每年2元；年金B在第110年和第2130年中每年付款金额为 Y ，在第1120年中没有。已知： 102v，计算 Y 。解： 因两种年金价值相等，则有 10 10303 i iivivaaY所以0132 .8Y14.已知年金满足：2元的2 n期期末年金与3元的 n期期末年金的现值之和为36；另外，递延 n年的2元 n 期期末年金的现值为6。计算 i。解： 由题意知， 2 3 niiiav解得 i = 8.33%15.已知。求X，Y和Z。731Yas解： 由题意得 731( )XZYviv解得X = 4, Y = 7
5、,Z = 416.化简 153015()av。解： 153015 45( ) 17.计算下面年金在年初的现值：首次在下一年的4月1日，然后每半年一次2000元，半年结算名利率9%。解： 年金在4月1日的价值为 P = (1+4.5%)/4.5% 2000 = 46444.44 ，则23410657( )PVi18.某递延永久年金的买价为 P，实利率 i，写出递延时间的表达式。解： 设递延时间为 t，有解得1tPviln(1)i19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。从第三十年底开始每年领取一定的金额 X，直至永远。计算 X。解： 设年实利率为 i，由两年金的现值相等，有29201
6、iav解得 3010 (1 )( )ii20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：前 n年，A、B和C三人平分每年的年金， n年后所有年金由D一人继承。如果四人的遗产份额的现值相同。计算 。( )i解： 设遗产为，则永久年金每年的年金为 i，那么A,B,C得到的遗产的现值为 ，而D得到遗产的现值为 vn。由题意得3nia所以1v(1 ) 4ni21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个 n年，B接受第二个 n年，C接受第三个 n 年，D接受所有剩余的。已知：C与A的份额之比为0.49，求B与D的份额之比。解： 由题意知 2 0.49nCAavPV那么 31 .6
7、nBDiv22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最后一次的还款大于100元。计算最后一次还款的数量和时间。解： 解得 n = 174.5%1.00nav列价值方程解得 X = 146.072164.5%0 0aXv23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。如果以同样的年利率计算货币的价值在 n年内将增加一倍，计算 n。解： 两年金现值相等，则 ，可知364 518ia18 0.25v由题意， 解得 n = 9(1 )2ni24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：每月底还100元，5年还清； k个月后一次还6000元。
8、已知月结算名利率为12%，计算 k。解： 由题意可得方程100a60p1% = 6000(1 + i)k解得 k = 2925.已知 ，求 i。21.75i解： 由题意得解得 i = 9.38%21 .v26.某人得到一万元人寿保险赔付。如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年的期末年金为每年1072元。计算年利率。解：27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支取，银行将扣留提款的5% 作为惩罚。已知：在第4、5、6和7年底分别取出 K元，且第十年底的余额为一万元，计算 K 。解： 由题意可得价值方程 31024%241035242410 97.5
9、Kavv则28.贷款 P从第六个月开始分十年逐年还清。第一次的还款额为后面还款的一半，前四年半的年利率为 i，后面的利率为 j。计算首次付款金额 X的表达式。解： 选取第一次还款日为比较日，有价值方程 121 4245445() ( )() aijijiXiPi。29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：每两年付款2000元，共计8次。解：30.计算下面十年年金的现值：前5年每季度初支付400元，然后增为600元。已知年利率为12%。（缺命令）解： 5 40 6 146.PVv31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现值表达式。解：32.
10、给出下面年金的现值：在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。解： 242843247311(1 )ii aiPVavs s33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次 R元的30年期末年金代替，半年换算名利率4%，求 R的表达式。解： 设年实利率为 i，则(1 + 2%)2 = 1 + i。有题意得3020p75aiiRis解得 R = 1114.7734.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。解： 由题意知解得 i = 20%31259is35.已知：1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款 R元的永久期初年金，计算
11、 R。解： 由题意得解得 R = 1.9520ida36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。试用贴现率表示递延时间。解： 设贴现率为 d，则1221 ()id设递延时间为 t，由题意得解得210 50tva 12ln 0l()t37. 计算： 计算i 。2213 45nns解：解得：1222 niniias1, 230nvi39.已知： 。求 的表达式。1ta解： 0 ln()tsdnae40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻 t，使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位，则两种年金的现值相等。解： 第一种年金的现值为 10tevd第二种年金的现值为 ，则te所以
12、1te1 lni41.已知： = 0.08。计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现值。（结果和李凌飞的不同）解： 设季度实利率为 i。因 ，则 所以() tae14 ()i80801 1 ( 3.5i vPVai42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。同时每年以2400元的固定速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？解： 设年实利率为 i，则 设基金可维持 t年，由两现值相等得1e解得 t = 2840 2tia43.已知某永久期末年金的金额为：1，3，5，. . . 。另外，第6次和第7次付款的现值相等，计算该永久年金的现值。解： 由题意： 2167
13、13()()ii22 () 1( )nPVvv 解得: PV = 6644.给出现值表达式 所代表的年金序列。用这种表达式给出如| |()nnAaBD下25年递减年金的现值：首次100元，然后每次减少3元。解： 年金序列： A + nB,A + (n 1)B, . . . ,A + 2B,A + B所求为 25| 25|()45. 某期末年金（半年一次）为：800 , 750, 700, . . . , 350。已知半年结算名利率为16。若记： ，试用 A表示这个年金的现值。10|8%Aa解： 考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有： 10|8%10|82(10)3 5()
14、3 6532aDAi47. 已知永久年金的方式为：第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。证明其现值为:410vid解： 把年金分解成：从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久年金 . . .。从而 4442101 0 02| vPVvviiida48. 十年期年金：每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。证明其现值为： 元410|1|6()Ia证： 首先把一年四次的付款折到年初： 2 4, 1, 0 16mnRm从而每年初当年的年金现值： 元41|6()I再贴现到开始时： 元410|1|()
15、aI49. 从现在开始的永久年金：首次一元，然后每半年一次，每次增加3，年利率8，计算现值。解： 半年的实利率： 12 8% 3.9j21.03. ( ). ()2.59PVjj50. 某人为其子女提供如下的大学费用：每年的前9个月每月初500元，共计4年。证明当前的准备金为：证： 首先把9个月的支付贴现到年初： m = 12, n = 9/12,R = 500m (12)4|/|60a= 6000 从而每年初当年的年金现值：贴现到当前：129/|60a (12)4|9/|60a51. 现有如下的永久年金：第一个 k 年每年底还；第二个 k 年每年底还2 R ；第三个 k 年每年底还3 R；依
16、此类推。给出现值表达式。解： 把此年金看成从第 nk年开始的每年为 R的永久年金( n = 0, 1, 2, ):每个年金的值为在分散在每个 k年的区段里：Ra |ak再按标准永久年金求现值： v2|()kRa52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20 X表示首次付款从第三年底开始的永久年金：1 , 2, 3, 的现值。计算贴现率。解： 由题意： 2210 ()iXi解得： i = 0.05即： 4761d53. 四年一次的永久年金：首次1元，每次增加5元， v4 = 0.75，计算现值。与原答案有出入解： (期初年金)49(4)42415 6 561)niPVvvv(期末年
17、金) 0 9.87PV A54. 永久连续年金的年金函数为:(1 + k)t，年利率 i，如果：0 k i ，计算该年金现值。与原答案有出入解： 由于0 k i，故下列广义积分收敛： 01 1(1)()ln( )l( )t tkPVeddiik59. 计算 m + n年的标准期末年金的终值。已知：前 m年年利率7%，后 n年年利率11%， 。7%| |134, 28ss解： 由 的表达式有：|ns |1%(1 0.) . nn|7%|1| |1| (0. ) 642mnnAVss60. 甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。A股票每年底每股分得红利0.40元，共计
18、10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。B股票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也是以年利率6%进行投资，并且在 n年后出售其股票。为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同，分别对 n = 15, 20两种情况计算乙的股票出售价格。解： 设 X为买价，有价值方程：从而有：(10)10|6%10|6%.4 2.8( .6nnssX()| |( )解得： X =5.22 n = 152.48 n = 2061. 某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31
19、日用半年结算名利率8%结算利息。另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐款5000元。(从1991年的7月开始？)每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖金。计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。解： 由题意： 2020|4%20|4%| |0451 196.02ssAV62. 已知贷款L经过N（偶数）次、每次 K元还清，利率 i 。如果将还贷款次数减少一半，记每次的还款为 K1，试比较 K1与2 K 的大小。解： 由题意： 21|1 ()mmiiKai63. 已知贷款L经过N次、每次 K元还清，利率 i 。如果将每次的还款额增加一倍，比较新的还款次数与N/2的大小。解： 由题意：即： M N/22| 1 2 NMaMiNi vK
