1、1.1 已知高斯随机变量 X 的概率密度 ，求它的数学期望和方差。2()1()xmfxe解：根据数学期望与方差定义：2()()()xmEfded令 ， ，代入上式并整理xmtdt22() 02tt mEeed2()2()(xDxmfx与前面以一样同样变换，即令 ，整理后t220()tDxed查数学手册的积分表，可得： 2103naxnedaA令 及 ，利用上式的积分结果，可得1n/2a22()Dx可见高斯变量的概率密度分布由它的数学期望和方差唯一决定。1.2 随即变量 ，其中 为随机变量， 、 为常数且 0，求 与 的相关YXbabaXY系数解：根据数学期望的定义，若 ，则()XEm()XYE
2、Ymb先求协方差，再求相关系数 ()()()()(,)XY XYCEXYxyfxyd将 ， 代入，并由概率密度性质，消去 ，得到abYmab2 22()(,)()(XYX XXxfxydaxmfxda同理，将 ， 代入，并由概率密度性质，消去 则有/ba/XYbx22 211()(,)()(YXYYYYCymfxydyfydaaa有前两式联立，解得 ，22XaYXC可见，当 与 呈线性关系 ，且 0 时，二者的相关系数XYbaX 1XYCr即 与 是完全相关的。1.5 随机变量 和 满足线性关系 ， 为高斯变量， 、 为常数，求 的Yab概率密度。解：设 的数学期望和方差分别为 和 ， 的概率
3、密度为XXm22()1()2Xxmfxe因为 和 是严格单调函数关系，其反函数Y()Ybha且 1()ha即可得到得概率密度 2 2 2() () ()11 1()2X X YybmyambymaYX XYfyeee 1.7 已知二维随机变量 的联合概率密度 ，求 ， 之和12(,)12(,)fx12的概率密度。12Y解：设 ；X12Y先求随机变量 ， 的反函数及雅克比行列式，即 ；12 1XY21Y120xyJ二维随机变量 的联合概率密度为12(,)Y12 12121(,)(,)(,)YXXXfyJfxfxfy利用概率密度性质， 的边缘概率密度为22121(,)YXffyd最后，用 和 代替
4、 和 ，得Y1X21Y11()(,)Xfyfx这就是两个随机变量之和的概率密度。1.9 随机变量 ， 为相互独立的高斯变量，数学期望为零，方差为 1。求的1X2概率密度。12Y解：已知数学期望为零、方差为 1 的高斯变量概率密度为2()xXfxe先根据定义求 ， 的特征函数12X211()()wjxXwfed22()由特征函数的性质， 212()()wYXe则可求得 的概率密度： 22 41 1()()2 yjwywjyYYfyedd1.11 求两个数学期望和方差不同且相互独立的高斯变量 ， 之和的概率密度。1X2解：设 ，可得两个相互独立的随机变量之和的概率密度为12X121()()Yfyf
5、xydx将 ， 的概率密度代入上式122211 21()() 112 1()xmyx AxBCYfyeded 利用欧拉积分 22 1()1212 1() ()ACB ymYfyexe 显然， 也是高斯变量，且数学期望和方差分别为； 12Ym21Y习题：1.10 已知二维随机变量（X1,X2）的概率密度为，随机变量（ X1,X2）与（Y1,Y2）随机变量的关系有下式唯一确定，证明12 121212(,)(,)YXfyfaybcdyadbc证：因为 ，1212,YXfyJfx12111xabJdccy所以 12 12 121 1212(,)(,)(,)YXXfadbcfdfydy又 和 ， 和 可
6、得2XY1abYc， ， ，1adbc1adbccd1d所以 12 121212(,)(,)YXfyfycyadbc习题 1.17 已知高斯随机变量 X 的数学期望为 0，方差为 1，求 的概率密度2YaX已知 XN(0,1)，所以21()xfxe由 得到2YaX12(),()YYhXhaa2121()()()(yYXXfyfyfye2.1 若随机过程 为 ， ，式中 A 为在(0,1)上分布的随机变量，求t)tAtEX(t)及 RX(t1,t2)式中 为在 上均匀分布的随机变量，求 及A(0,1) ()EXt解：由于 与 之间有确定的时间函数关系 ，故二者的概率分布函数相等，即Xxa()(A
7、Fat10,)(,)()( 2XXAAEtxftdxFtdtatdtatatfad考虑到()()XEgxfd故有 121212120(,)()()3XAtRtatfatd2.2 设复随机过程为 ，式中，An(n=1,2,.N) 是相互独立的实正态随机变量，1()nNjtnZte其均值为 0，方差为 ；求复随机过程 Z(t)的均值、自相关函数和协方差函数。2解：由欧拉公式可知 11()cossinNNnZtAtjt因为 的实部 和虚部 均为正态随机变量 的线性组合，故()Zt1sNnt1injt nA有它们也都是正态的。所以，由定义式可分别求得 均值、自相关函数和自协方差函数()Zt为 ()()
8、()()0ZmtEtXtjEYt()11()2,1, ()nmmnnNNjtjtNjttjn znmRt AeAeR 21()(), )nZzzNjnCtEZtttEZtReC 2.4 设随机信号 ，均值 5，方差 1，设随机信号 ，求3()costXtV0()()tYXdY(t)的均值、自相关函数、自协方差函数。解：E(V)=5,D(V)=1,于是 226EDV相应的，可求出 的均值、自相关函数分别为：()t33()cos25cos2t tXmtee12 123() 3()21211 12,() 6cost tREtXtEVet 另外，有随机过程积分的数学期望和相关函数运算法则，可求得 的均
9、值，自相关函数Yt分别为： 3015()()(2sincos2)3t tYXmdetxt1 23()20 031122(,)(,)6s6sincossinco)39t tYXt tRedetttt 可得 的协方差为()t 1 23 3121212 1 2,()(sincos)(sincos)369t tYYYCRtmtetet2.5 证明由不相关的两个任意分布的随机变量 A,B 构成的随机过程是宽平稳而不一定是严平稳的。式中，w0 为常数，A,B 的00()cos()in()XtAwtBt数学期望为零，方差 相同。2证：由题意知： , ,E2DAB0EAB首先，证明 是宽平稳的。()Xt000
10、0cosin()cos()sin()tAwtBtwtt010102022201(,)()i)(s)in()csio()XREttAtBtt令 ，则有 , 0220(,)cos()X XRtwR22()()XEtR故 是宽平稳的。()Xt其次，证明 非严平稳。t3 3330000()cos()in()cos()sin()EtAwtBtEAwtEBt可见， 的三介矩与 t 有关，所以 非严平稳。XX58 页 联合宽平稳随机过程 性质 1 ()()YR证明：根据互相关函数定义，有 ()()X YXEtEYttR证毕。同理可得 ()()XYC2.10 两个平稳随机过程 和 ，试问是否平稳相依，是()c
11、os)EXtt(sin)Ytt否正交、不相关、统计独立解：因为平稳随机过程 和 的互相关函数为()t 1(,)cos()in()sin()2XY XYRtYttR故这两个过程是平稳相依的。由于 ，仅在 时为 0，这时 和 的取1(,)sin2XYt (0,1,) ()t值才是正交的。而对于其他 值， 和 是互不正交的。)XtY又因为 和 的均值分别为()tcos()0XmEt()(Ytt故得到协方差函数 (,)(,)()(,)()XYXYXYXYXYCtRtmtRt1sin2由于 仅在 等于 0，此时，随机过程 、 的状态才()XYt(0,12,) ()t是不相关的；而在 时， ，故从整体来看
12、，随机过程 和 是相关(XYCtX()Yt的，因而它们是统计不独立的。2.11 。A、B 是相互独立的正太随机变量，且有00()cosintAwtt、 ，求 X(t)的一、二维概率密度 t)0EAB22EB解：由于 是一正态过程，为了求其概率密度，只要求出其均值和方差即可()Xt0000cosincossinXwttEAwtBtm2 200 0(,)() ()sin()iiXRtEEwttABttBtt 因为随机变量 A 与 B 统计独立，所以有这时，2 20 020(,)cos()sin()cos()XXRtEwttEBwtt这样，便可求得 的均值、方差为()Xt ，2(0)XR22(0)X
13、Rm由上面分析可知，正态过程 是平稳的，它的一维概率密度与 t 无关，即t21()xfxe为了确定平稳正态过程 的二维概率密度，只需求出随机变量 与 的相关系()Xt 1()Xt2t数 ，这里令 ， 容易求得()Xr1t20222()()cosXXCRmw则二维概率密度为 2212012220cs1(,;)exp()(ocosX xxfx 2.12 通过一十字路口的车流是一泊松过程。设 1 分钟内没有车辆通过的概率为 0.2，求2 分钟内有多于一辆车的概率解：以 表示在区间0,t内通过的车辆数，设 是泊松过程，则()t (),0Xt,01,2!ktPXt故 ，则(1)0.eln0.2222()
14、1()()1.l.83PXPX2.13 设有三个状态1,2,3的马氏链，其 P=1/2 1/4 1/4;1/3 1/3 1/3;1/4 1/2 1/4，试问何时此链具有遍历性？解：(1)显然，m=1 时，有 P(1)=P，因 P 中所有元素均大于 0，所以 m=1 时，该链具有遍历性，即 lim(),1,23ijjnpi（2）求 在 时可列出方程组 ，j, 112131pp， ，12232pp332323p有题设条件解上述方程组，得到 ， ，16454习题 2.14 设 X(t)雷达发射信号，与目标后返回接收机的微弱信号是 aX(t-1) ，a 远小于1，噪声为 N(t)，全信号为 Y(t)=
15、 aX(t-1)+ N(t),(1)若 X(t) 、N(t)各自联合平稳，求互相关函数 RXY(t1,t2),(2)在(1) 条件下，假如 N(t)均值为 0，且与 N(t)相互独立，求 RXY(t1,t2)（1） 121212112(,)()()()XYRtEtYaEXtEXtN因为 、 是各自平稳且联合平稳N所以 ，1211221()(,)()XXtRttt2,NEXt所以 12112(,)()(,)YXXNRtatt令 ，2,YtR（2） ，且()0ENt()()0EttEt1212112,()()XYXRat NtR习题 2.17 设复随机过程 ，AiN(0, ),求Z(t)，t=0
16、的均值函数和相关1iNjwtiZtAe2i函数解： 1()cosin)NiiiZtAtjt令， ,()siiiiXtwtYt则 ,()cos0iiiEE()in0i iwtEA(1) 11()()()NNii iii iZttjtXtjYt(2) ()11()1(,) i imk NjwtjtZ iNjwttkkmRtEZEAeAe 令 m=k,则 21(,)()kNjZ ZkRt R习题 2.22 设马尔科夫链的一步转移概率 P=1/2 1/3 1/6;1/3 1/3 1/3;1/3 1/2 1/6，试问（1）几个状态？是遍历？求二步转移矩阵。 （2）求 Pj解：（1）共有 3 个状态，因为
17、 （对一切 i,j）,所以是遍历的0ijp=5/12 13/36 2/9;7/18 7/18 2/9;7/18 13/36 1/42()p（2） 得到 ， ，11213123312p125p1385p3.1 已知正弦随相过程 ，求 X(t)的功率谱密度 及其平均功0()cos()XtAwt()XGw率解： 含有周期分量，引入 函数可得()XRw002 200)()()4jwjAGedw表示 X(t)的功率谱密度在 处的 函数，功率集中在 处00随机过程的平均功率为该过程的均方值，即 2 20001()()()cos()2cosXXPEtRGwdEAwtAt 90 页随机过程功率谱密度性质 2 是 w 的实函数，满足()X ()()XXGw证明： 211()limlim()XTTTTGwEE性质 3 是偶函数，满足 ()()XG证明：对于实随机过程 X(t)的截断函数的频谱有推到()()TT()()TTw代入式 中2 211limlim()2X TGwEEXw则有()li()1()2TTXwG96 页互功率谱密度性质 5 若 X(t)、Y(t)不相关，且分别具有常数均值，则，(,)XYxyRtm()()XYYX证：（1）因为 X(t)、Y(t) 不相关，所以 ，又,)0Ct
