1、第 页 共 页1.（10 分）随机变量 彼此独立，且特征函数分别为12,X，求下列随机变量的特征函数： 12(),v（1） （2）12XX 12536XX解：（1）12 12() jvXjvjvjvXvEeEeEe 1212 12()jvXjvXv和 独 立（2）12 12536536()jvX jvXjvXjvXvEeEeee 1253612jvXjvXjve和 独 立612(5)(3)jvev2.（10 分）取值 ，概率 的独立 二进制传输信1,0.4,6半 随 机号 ，时隙长度为 ，问：()Xt T（1） 信号的均值函数 ；EXt（2） 信号的自相关函数 ；,XRtt（3） 信号的一维概
2、率密度函数 。;Xfxt解：（1） 10.4.60.2EXt(2) 当 在同一个时隙时：,tt222()()()10.6(1)0.41XRtXtEt当 不在同一个时隙时：,tt(,)()()()0.2.0.4XttXtEXtEXt（3） ;.61.1Xfxtxx3.（10 分）随机信号 ， ，其中 为0()sin()Xtt0cosYtt0学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封.线.以.内.答.题.无. .效.第 页 共 8 页 2常数， 为在 上均匀分布的随机变量。-,（1） 试判断 和 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关XtYt性及正交性；（2） 试判断 和 是否联合广义平稳。
3、tYt解：（1） 由于 和 包含同一随机变量 ，因此非独立。X(t)(t) 根据题意有 。12f，0 0sin() 0EX(t)Etsin(wt)d0 01cos()2Y(t)tcos(t) 12121201020102012 012 0121 14 2XYXYC(t,)R(t,)EX(t)YtEsin(wt)cos(wt)sinwtcos(wtdsi(t)sin(t)dsinw(t) 由于 ， 和 在同一时刻正交、线0XYXYR(t,)C(t,)X(t)Y(t)性无关。除 外的其他不同时刻 ，012wtk 12120XYXYR(t,)C(t,)所以 和 非正交且线性相关。1X(t)2Y(t)
4、（2） 由于 ， 和 均值平稳。0EX(t)EY(t)X(t)Y(t) 1201020102012 0120120142XR(t,)sinwtsinwti(t)i(t)dcosw(t)cosw(t)ds(t)cos() 同理可得 ，因此 和 均广义平稳。1212YXR(t,)R(t,)X(t)Y(t)学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封.线.以.内.答.题.无. .效.第 页 共 8 页 3由于 ，因此121201201XYXYR(t,)C(t,)sinw(t)sin(w)和 联合广义平稳。(t)t4.（10 分）判断下列函数是否能作为实广义平稳随机过程的自相关函数（其中 均为
5、常数）？如果不能，请写出理由。c（1） os() |4()0 c cR其（2）cos() |2() 0 c cR其（3）10cos() |() 0 c cR其（4） ()=cos() |c解：（1）不能，因为零点连续，而 点不连续。4/（2）能。（3）不能，因为 ，而 又不是 的周期20cR()()R()2c/函数。（4）能。5.（10 分）线性时不变系统的框图如下图所示。若输入白噪声的双边功率谱密度 ，求系统输出噪声的功率谱密度函01 W/Hz2N数和自相关函数，以及输出噪声总功率。学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封.线.以.内.答.题.无. .效.第 页 共 8 页 4解
6、：系统的传递函数为 ，1RHjjLj则系统输出功率谱密度为。22211YXSSHj输出噪声的自相关函数为 2YRe输出噪声总功率为 10NYP()(W)6.（10 分）设随机信号 ，其中 为()()()sinZtXttYtt00cos 0常数， 均为零均值的平稳随机过程，并且相互正交。()()XtYt和问：（1） 是否联合广义平稳？()()tt和（2） 假如 ， 是否为广义平稳的随机信号？ ()XYR=()Zt证明： （1） 由于 相互正交，所以 ，()()tt和 (,)(,)0XYYXRttRtt与 t 无关 ，又因为 均为零均值的平稳随机过程，所()()XtYt和以 是联合广义平稳随机信号
7、。()()XYt和（2） 假如 ，()()XYR=()sin0EZtttYtt0cos常 数(,)()(ZRtttZt ()()()sin()()()sinEXttYttXttYtt 0 0 00cos cos ttttEtYttt co i()()()()Y 00 00sinssinsi由于 相互正交，所以Xtt和()()(EEYtXt,)()()ZRtXt tEYtttt00 00coscossinsin学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封.线.以.内.答.题.无. .效.第 页 共 8 页 5()()()()X YRttRtt0000coscossinsin，与 t 无关
8、 YR所以 是广义平稳的随机信号。()Zt7.（10 分）下列函数中哪些是实广义平稳随机信号功率谱密度的正确表达式？若是，求该信号的平均功率；若不是，请说明原因。 （1） （2）29()6S= 24()109S=（3） （4）210()0S ()2S解：（1） 不可以。不是偶函数。（2） 可以。 ，所以422211()1099S=，所以3()Ree142 1(0)3PR=42（3） 可以。 10()2PSdd （4） 可以。 11() ()122d 8.（10 分）某语音随机信号 满足广义各态历经性，现将该信()Xt号经过无线信道进行传输，假设信道噪声为广义各态历经的加性高斯白噪声 。讨论：(
9、)Nt（1） 收到的信号 的均值各态历经性；()()()YtXtNt（2） 满足广义各态历经性的条件。()Yt解： 由 满足广义各态历经性，所以 广义平稳且满足：()Xt ()Xt学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封.线.以.内.答.题.无. .效.第 页 共 8 页 6()()()(xEXtAtmtXt t ， 与 无 关， 与 无 关同理， 广义平稳且满足：()Nt1()()lim()02()()()2TToEtAt NtdNttNtt 由于 与 是独立的，所以： ()Xt()t()XEYtttm(,)()()()()()()Y XNRttEXtNtXtNtR 所以 是广义
10、平稳的。且有：t()()()()()()()XAtNtAttEttm所以， ()()()()() ()(YttXtNtXtNtAXAAAtXt ()( )()(XNt tRt t由于 ，所以 是均值各态历经的。()()XEYtAYtm()Yt假如 ，则 是广义各态历经的。()()0AXtNttN()t9.（10 分）已知平稳随机信号 的功率谱密度 。()Xt 24()XS通过频率响应为 的系统后得到 。求：()Xt 1()Hj()Yt（1） 的均值、平均功率；()Yt（2） 系统的等效噪声带宽； （3） 信号 的矩形等效带宽。 ()t解: (1) 2 124XRFe， ()0mYXH学院_ 姓
11、名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封.线.以.内.答.题.无. .效.第 页 共 8 页 722222414()()() 331YXSH21()3YRe(0)YP（2） 2 2211() ()hHreu202(0) 141YhNrBRjNH（3）信号 的矩形等效带宽()Yt012()6eqYRBS10. （10 分） 所表0 0()()cos(2)()sin(2)NtXtftYtft设示的零均值平稳窄高斯随机信号的功率谱密度 如下图示，()NSf若 为 100Hz，试求：0f（1） 随机信号 的一维概率密度函数；()Nt（2） ；()XXYR和（3） 的两个正交分量的联合概率密度函数。
12、Nt解： 也是高斯的ttYttt 00sin)(cos)()( tYtX,依题 EtEXtEt)(24)97103(20222 wdfSRNNYXN (1) 48exp3412exp241;2nntnfN 学院_ 姓名_ 学号_ 任课老师_ 选课号_.密.封.线.以.内.答.题.无. .效.第 页 共 8 页 8（2） =100Hz，根据 X(t)和 Y(t)的性质知0f )()()( 00NNX SSLPS且 )()( 00N则可得 ， 如图(XYR(fSX求 的傅立叶反变换可得)(fSX 2321()() ()sin6424j jfXX XjfRedSfeded (3) 21;exp4824Xfxt2;eY yfyt关于 对称，所以 在任意时刻正交,不相关,独NS0 ,XtYt立. 2212121,;,;exp4848XY XY yfxytfxtfyt
