1、三角形第 3 节 多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”这个问题提炼出数学问题为：设 C 为直线 上的一个动点，当点 C 在 l 的什么位置时，A
2、C l与 CB 的和最小(如图)作法：(1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B；(2)连接 AB，与直线 l 交于点 C.则点 C 即为所求证明：如图，在直线 l 上任取一点 C(与点 C 不重合)，连接 AC，BC，BC.由轴对称的性质知，BC BC，BCBC. AC BC AC BC AB，ACBC ACBC.在ABC中，ABACBC， AC BCACBC.即 AC BC 最短. 预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt ABC 中， C90，则有 22ABC【诊断自测】1、如图，直线 l 是一条河， A、B 两地相距 5km，A
3、 、B 两地到 l 的距离分别为3km、6km，欲在 l 上的某点 M 处修建一个水泵站，向 A、B 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）A B C D2、如图所示，四边形 OABC 为正方形，边长为 3，点 A，C 分别在 x 轴，y 轴的正半轴上，点 D 在 OA 上，且 D 的坐标为（1，0），P 是 OB 上的一动点，则“求 PD+PA 和的最小值”要用到的数理依据是（ ）A“ 两点之间，线段最短”B“轴对称的性质”C“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D以上答案都不正确3如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN
4、，使从 A 到 B 的路径AMNB 最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（ ）A B C D【考点突破】例 1、如图，在矩形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，点 F 在 CD 上，要使AEF 的周长最小时，确定点 F 的位置的方法为 答案：作点 E 关于 DC 的对称点 E，连接 AE交 CD 于点 F解析：根据题意可知 AE 的长度不变，AEF 的周长最小也就是 AF+EF 有最小值作点 E 关于 DC 的对称点 E，连接 AE交 CD 于点 F故答案为：作点 E 关于 DC 的对称点 E，连接 AE交 CD 于点 F例 2、如图所示，点 P 在AOB 的内部，点 M，
5、N 分别是点 P 关于直线 OA，OB 的对称点，线段 MN 交 OA，OB 于点 E，F.（1 ）若 MN=20 cm，求PEF 的周长；（2 ） 若AOB=35，求EPF 的度数.答案：见解析解析：（1 ） M 与 P 关于 OA 对称OA 垂直平分 MP.EM=EP.又N 与 P 关于 OB 对称OB 垂直平分 PN.FP=FN.PEF 的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2 ）连接 OM，ON，OP，OA 垂直平分 MP，OM=OP.又OB 垂直平分 PN，ON=OP.MOEPOE(SSS)，POFNOF(SSS).MOE=POE，OME=OPE，POF=
6、NOF，OPF=ONF.MON=2AOB=70EPF=OPE+OPF=OME+ONF=180 -MON=110.例 3、如图，AOB=30，点 M、N 分别在边 OA、OB 上，且 OM=2，ON=6 ，点 P、Q 分别在边 OB、OA 上，则 MP+PQ+QN 的最小值是（ ）A2 B C20 D2答案：A解析：作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，如图所示：连接 MN，即为 MP+PQ+QN 的最小值根据轴对称的定义可知：N OQ=MOB=30，ONN =60，ONN 为等边三角形，OMM 为等边三角形，NOM=90，在 RtM ON中，MN= =2 故选：A
7、例 4、如图，四边形 ABCD 中，C=50，B=D=90，E、F 分别是 BC、DC 上的点，当AEF 的周长最小时，EAF 的度数为（ ）A50 B60 C70 D80答案：D解析：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A，A ，连接 AA，交 BC 于 E，交 CD 于 F，则AA即为AEF 的周长最小值作 DA 延长线 AH，C=50 ，DAB=130，HAA =50，AAE +A =HAA =50，EA A=EAA ，FAD= A，EAA +A AF=50，EAF=13050=80 ，故选：D例 5、如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形
8、ABCD 对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为（ ）A2 B2 C4 D4答案：B解析：由于点 B 与 D 关于 AC 对称，所以连接 BD，与 AC 的交点即为 F 点此时PD+PE=BE 最小，而 BE 是等边ABE 的边，BE=AB，由正方形 ABCD 的面积为 12，可求出 AB 的长，从而得出结果连接 BD，与 AC 交于点 F点 B 与 D 关于 AC 对称，PD=PB，PD+PE=PB +PE=BE 最小正方形 ABCD 的面积为 12，AB=2 又ABE 是等边三角形，BE=AB=2 故所求最小值为 2 故选 B例 6、如图，荆州古城河在 CC处
9、直角转弯，河宽均为 5 米，从 A 处到达 B 处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B 在东西方向上相距 65 米，南北方向上相距 85 米，恰当地架桥可使 ADDEEB 的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。解析：作 AFCD ，且 AF=河宽，作 BGCE，且 BG=河宽，连接 GF，与河岸相交于 E、D作 DD、EE 即为桥证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形 AFDD 为平行四边形，于是 AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF 最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB 最短距离为 +52=110 米【易错精选】1如图，已知锐角ABC 的面积为 6，AC=4 ，BAC 的平分线交 BC 于点 D、M、N 分别是 AD 和 BC 上的动点，求 BM+MN 的最小值及画出图形2、作图：（1）在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小；（2）在直线 l 上求作一点 P，使 PAPB 最大【精华提炼】下列给出常考解题作图方法： 最大值()PAB对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况
