1、伯努力方程 (Bernoullis Equation)是 流体力学中 描述 理想流体 (ideal fluid)能量守恒的方程式 。理想流体满足以下 4 个条件： 1. 流体是非粘性的 (nonviscous)，在相邻流层之间无内摩擦力； 2. 流体不可压缩 (incompressible)，因此密度恒定；3. 流体运动 是稳态的 (steady)，即流体中每一点的运动速度、密度和压力不随时间改变； 4. 流体运动不存在湍流 (turbulence)，意味着每个流体 单元相对于中心的角速度为零，因此在该运动的流体中无任何涡流 (eddy current)。 由于质量守恒及液体的流动处于稳态，因
2、此有 连续性方程 (Equation of Continuity): 根据能量守恒，可推导出理想流体的 伯努力方程 ： 通常表示为： 伯努力方程 中的每一项都是压力单位，在 SI 单位制中是 Pa 或 N/m2。 由于1J=1Nm，所以 1Pa=1J/m3。 每一项的物理意义是单位体积的能或做功，压力表示单位体积的流体对前方流体所做的功。 122 为单位体积具有的动能， gy为单位体积具有的重力势能。 伯努力方程 有两个特殊情况： 1. 水平流动的液体 y1=y2； 2. 静止的液体v1=v2=0，则得到流体静力学方程： 伯努力方程 将 理想流体不同两点的流速、压力和高度联系了起来，在应用该方
3、程计算过程中先要分别写出每点各自的 3 个参数。需要考虑几个要点： 1. 是否是以上 2 个特例； 2. 如果 不是 特例 1，选择参考水平面，一般选择 2 个中较低的点作为参考比较简单； 3. 如果给出两处流体截面的半径或面积，则可 根据连续性方程 确定它们的流速关系； 4. 如果 一个 截面 面积远远大于另一个截面 （比如水桶里的水 面和水桶下方的小孔 ） ，则截面大的流速 v 0； 5. 和大气 相通 则压力等于大气压 (或表压为零 )。 例 题 一 一个装满水的桶 在 水面 以下 0.80m处有一个开孔。 (a)当出口是水平开放的，水流出的速度是多少？ (b)如果开口末端是竖直向上的，
4、则形成的“喷泉”能达到多高？ 解 ： (a) 由于 P1=P2，则 伯努力方程 为 点 1 比点 2 高 0.80m，即 根据连续性方程 A1 A2， v1 相对于 v2 可忽略不计，故 v1 0。 伯努力方程 简化为 各项同除以 ，解出 v2： (b) 取点喷泉最高点为点 2，故 v2=0。 伯努力方程 简化为 “喷泉”恰好回到和桶内水面等高！ (a)计算出小孔水流出的速度相当于水直接从 0.80m 自由落体 (Torricellis law)，然而这并不奇怪因为伯努力方程是能量守恒的一种表达形式 (不计能量损失 )。 (b)的结果被称为托里拆利原理 (Torricellis theorem
5、)，实际上由于摩擦力和空气阻力造成的能量损失，喷泉不可能达到原来水面的高度。 例 题二 一个横截面积为 1.00m2 的大管道下降 5.00m 并缩小至 0.500m2 到达一个阀门。如果在 处的压力为大气压，阀门敞开使水自由流出，计算水流出 阀门的速度。 解 ： 对截面 、 应用 伯 努力方程 ，两 处 的压力都为大气压 (或表压均为零 )，高度差为 h。已知两处的截面积，根据连续性方程可求得流速比值。 例 题 三 文丘里流量计 (Venturi meter)被用来测定 管道 内液体的流 速 。 一段收缩的管道 (横截面 A2)放置在正常的管道 (横截面 A1)中，两个竖直向上的细管分别大气
6、相通，其中一个位于管道收缩部位。两个细管的作用类似于压力计，可以测定两点之间的压力差，并据此 计算出管道中液体的流速。假定管道中输送的液体为水， A1=2.0A2， h1=1.20m， h2=0.80m。 (a)计算两点的速度比 v2/v1； (b)计算 表 压力P1 和 P2； (c)计算管道中水的流速 v1。 解： (a) 根据连续性方程 (b) 表压力为相对于标准大气压的压力 (c) 伯努力方程 由于管道水平， y1 y2， 可忽略重力势能密度 gy 的微小差异 例 题 四 一架飞机的两个机翼分别是 4.00m2， 通过设计机翼上方和下方的空气流速分别为 245m/s 和 222m/s。
7、假定 跨 越机翼压力差产生的推力是竖直向上的，计算飞机的质量以便能够支撑自身的重量。 解 ： 对机翼下方 (点 1)和机翼上方 (点 2)应用 伯努力方程 ，重力势能相对于其它项很小可以忽略 思考： 机翼上方和下方的气流并不在同一流线上，为什么可以应用伯努力方程 ？ 例 题五 用虹吸管从高位槽向反应器加料，如图所示。高位槽和反应器均与大气相通，要求料液在管内以 5 m/s 的速度流动（不计能量损失）。求高位槽的液面应比虹吸管的出口高出多少米？ 解 ：取高位槽液面为截面 1 1，虹吸管出口内侧为截面 2 2，并取截面 2 2为标准面。在两截面间列伯努利方程式，即 gh1 122 1 gh2 22
8、2 2 式中， h1 h， h2 0， v1 0， v2 5 m/s， p1 p2 0（表压） 将上述数值代入，并简化 9.81h 12.5 解得 h 1.27 m 即高位槽液面应比虹吸管出口高 1.27m。 练习题： 1. 下图是两个大坝的俯视图，具有相同的宽度和高度，它们的右边分别是一个大湖和一条窄的河流，哪一个大坝应该建得更加牢固 ? 2. 土拨鼠 生活在 至少具有两个入口的地下巢穴 ，它们在一个入口上修建一个土堆 (下图所示 )，开放于四周微风吹过时产生的气流。另一个入口位于地表，周围几乎没有空气流动。这一结构如何在巢穴中产生气流达到换气的目的 ? 3. 浇花软管的半径为 1.0cm，
9、水在管中以 1.4m/s 的速度水平流动，通过 0.25cm的喷嘴水平喷出。水在软管内的表压力是多少？ 4. 如下图所示，虹吸管是引导液体翻越障碍的装置。长途汽车中途加油由于大油桶不能倾倒而用虹吸管，或利用虹吸管跨越河堤引河水灌溉。那么，液体在出口处的流速多大？在最高点处液体内的压力多大？最大扬水高度是多少？这些问题都可利用伯努利方程解出。 假定虹吸管具有 均匀 的直径，水在其中稳定流动且没有内摩擦力。 (a) 如果距离 h=1.00m，计算水流出虹吸管的流速； (b) 虹吸管最大的扬水高度 y 是多少？ (提示：为了保持液体的连续性，压力不能低于液体的蒸汽压。 ) 参考答案： (a) 4.4
10、3m/s； (b) y 10.3m。 5. 水靠空气压力从灭火器中喷出，水面位于喷嘴下方 0.500 m。在灭火器中需要多大的空气表压力 (相对于大气压高出的压力 )，才能使水以 30.0 m/s 的速度喷出？ 参考答案： 455 kPa。 6. 一支注射器内药物的密度与水相同。注射器内 筒 的横截面积 A=2.50 10-5m2，针筒部分的横截面积 a=1.00 10-8m2。 在活塞未受到推力的情况下，各处的压力均为 1 atm。现给与活塞 F=2.00 N 的推力，使药物水平从针筒喷出。求药物离开针筒尖部的速度。 参考答案： 12.6 m/s。 7. 一个大储水槽装满水，上部与大气相同。
11、在水面以下 16.0 m 处侧壁上开一小孔，水的流量为 2.50 10-3 m3/min，计算： (a)水流出小孔的速度； (b)小孔的直径。 8. 水平管道大的部分直径为 2.50 cm，水向右流动的流量为 1.80 10-4 m3/s。计算管道在收缩部分的直径。 参考答案： 1.47 cm。 9. 皮托管 (pitot tube)用于测定飞机的 空速 (飞机相对于空气的速度 )，包括位于外管中一些小孔 B(图中显示 4 个 )允许空气进入管内，并且与 U 形管 (U-tube)的一个臂相连。 U 形管的另一个臂与前端开孔 A 相连，其开口恰好对着飞机飞行的方向。空气在 A 处停滞 因此 v
12、A=0， B 处空气的流速近似于飞机的空速 v。(a) 应用伯努利方程推导出 为 U 形管中液体的密度， h 为 U 形管两个臂中液体的高度差。 (b) 假定管中液体为乙醇，高度差 h 为 26.0cm。飞机相对于空气的速度是多少？ 空气的密度是 1.03kg/m3，乙醇的密度是 810kg/m3。 10. 如上题，飞机在高海拔飞行中测定压力差为 180Pa，空气的密度是 0.031 kg/m3，飞机的空速是多少？ 参考答案： 1.1 102 m/s。 11. 如图所示文丘里流量计 (venturi meter)，请 应用伯努利方程和连续性方程 推导 为 被测量流速液体的密度 ， p 为 1、 2 两处 的压力差。 12. 水以 20m/s 的速度从水管中竖直向上喷出，已知喷嘴处的直径为 1cm，求 形成的 喷泉在喷嘴 0.5m高处形成水柱横截面直径的大小。 如果您对回答满意请采纳，花一晚上的时间才整理好（主要从国外的 几本 教材） 。
