1、第一章 参考答案 1 体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子，试证明之。 证 ： 体心立方格子的固体物理学 原胞 （ Primitive cell）的三个基矢 是 )(2),(2),(2 321 kjiaakjiaakjiaa)(2)(2)(22122,2:3213321213132321jiabikabkjabaaaaaabaabaab定义它们是倒点阵面心 立 方的 三个基矢 。 2 对六角密堆积结构固体物理学原胞基矢如 kcajaiaajaiaa321 232232求倒 格 子基矢。 解： ;, 213 aaa jaiaajaiaaaaa2322322121)33(32)32(223321
2、23213jiaacaiacjaabcaaaaakca jiaaab 3332/2 132 kcaab 2/22133 求解 简 单 立方 中晶面指数为 (hkl)的晶 面 簇 间距 。 解： 正格子基矢 是 kacjabiaa , 令 为相应的倒基矢 * , cba 21222*,3*)()()(2222)(222alakahKdklajkaihaclbkahKacbakacjabiaah k ln k llkh4 试证明六角密集结构中 c/a= 83 =1.63 如图所示， ABC 分别表示六角密 排 结构中三个原子， D 表示中心的原子。 DABC 构成一个正四面体，边长为 a。 DE=
3、AE AO=BO=2OE D O A B C 面 ，则 DO=2c ， DE= 32 a， OE=1 3 33 2 6 a，且 DO OE 则由勾股定理得， OD= 223 3 6( ) ( )2 6 3a a a， 从而 c=2OD= 263 a ， c/a= 83 =1.63 5（ x-射线）如 x 射线沿简立方晶胞的 oz 方向入射，求证：当 222lkla 22222c o s klkl 时， 衍射线在 yz 平面上，其中 2是衍射线和 oz 方向的夹角。 证 : 入射线 0S 和衍射 S 之间夹角为 2 2dsin=n 令 n=1 （ 1） 简立方面间距为： 21222 )( lkh
4、adh k l （ 2） 因衍射线和入射线必在一个平面内， 222222 )s i n21(2c o s)2c o s (c o s klkl （ 3） 从 （ 3） 式 我 们 得 21222s in kl l 0s由（ 1）、（ 2）、（ 3） 得 212222122 )()(2hklklla （ 4） 222lkla （ 5） 比较 （ 4）（ 5） 我们有 h=0 这表示 衍射 的晶面簇指数是 (0 k l)， 与晶面簇 (0 k l) 对应的 倒格矢 kljkaK h 2 因此， 衍射线在 yz平面上 。 6 分别证明： （ a）面心立方 (fcc)和体心立方 (bcc)点阵的惯用初
5、基元胞三基矢间夹角 相等，对 fcc为 60，对 bcc为 10927 。 解：对面心立方晶格，元胞基矢为 : jiaakiaakjaa 2;2;2 321 1a = 2a = 3a = a22 cos(1a , 2a )=2121 21 aa aa , cos(2a ,3a )=213232 aa aa , cos(3a ,1a )= 211313 aa aa 从而 fcc 的初基元胞三基矢间夹角相等，均为 60。 对体心立方晶格，元胞基矢 kjiaakjiaakjaa 2;2;i-2 321 1a = 2a = 3a = a23 cos(1a ,2a )=3121 21 aa aa , c
6、os(2a ,3a )=3132 32 aa aa , cos(3a ,1a )=3113 13 aa aa =arccos 31-=109 27 从而体心立方 惯用初基元胞三基矢间夹角相等，均为109 27 （ b）在金刚石结构中，作任一原子与其四个最近邻原子的连线。证明任意两条线之间夹角 均为 arccos(- 1 3 )=109 27。 7证明在六角晶系中密勒指数为（ hkl）的晶面族间距212222234 clakhkhd 证： * clbkahK h kjiji c lakah 2)33(32)33(32 kji lckhakha 2)(32)(2 晶格面间距 hK2d 212222
7、234 clakhkhd 8试讨论金刚石结构晶体的消光法则。 解：如果原胞取为惯用的立方体，基团包含八个原子，其坐标为（ 0,0,0）（ 4 14 14 1 ， ）（ 02 12 1 ， ）（ 2 102 1 ， ， ） )2121,0( ， （ 434341 ， ）（ 4 34 14 3 ， ）（ 4 14 34 3 ， ） 从而金刚石结构的几何因子为： )(2),( iiii lzkyhxixpfelkhF )33(2)33(2)33(2)(2)()()(1 lkhilkhilkhilkhilkikhilhi eeeeeeef = )()()()(2 11 lkikhilhilkhi eeeef , 其中， f 为构成金刚石结构晶体的原子的散射因子。 （ 1）若 ,01 )(2 lkhie 则 0),( lkhF ，产生消光，这时，,12 lkhie 这时， 1n22 lkh ，此时产生消光。 （ 2）若 hkl 部分为奇部分为偶时，有 01 )lk()kh()lh(i ii eee ，此时也产生消光。
