1、 1 / 17 北京市西城区 2018 年九年级统一测试 数学试卷 一、选择题（本题共 16 分，每小题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能 “绝艺 ”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储 58000000000本书籍，将 58000000000用科学记数法表示应为（ ） A 105.810 B 115.810 C 958 10 D 110.58 10 2在中国集邮总公司设计的 2
2、017 年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（ ） A B C D 3将 3 4bb 分解因式，所得结果正确的是（ ） A 2( 4)bb B 2( 4)bb C 2( 2)bb D ( 2)( 2)b b b 4如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ） A三棱柱 B圆柱 C六棱柱 D圆锥 5若实数 a ， b ， c ， d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ） 俯视图左视图主视图2 / 17 A 5a B 0bd C 0ac D cd 6如果一个正多边形的内角和等于 720 ，那么该正多边形的一个外角等于（ ） A 45 B 60 C 72 D 90 7空
3、气质量指数（简称为 AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，它的类别如下表所示 AQI 数据 0 50 51 100 101 150 151 200 201 300 301 以上 AQI 类别 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 某同学查阅资料，制作了近五年 1月份北京市 AQI 各类别天数的统计图如下图所示 根据以上信息，下列推断不合理的是 A AQI 类别为 “优 ”的天数最多的是 2018 年 1 月 B AQI 数据在 0 100 之间的天数最少的是 2014 年 1 月 C这五年的 1月里， 6 个 AQI 类别中，类别 “优 ”的天数波动最大 D 2018 年 1月的
4、AQI 数据的月均值会达到 “中度污染 ”类别 8将 A ， B 两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下： 投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 A 投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75 投中频率 0.700 0.750 0.767 0.750 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750 B 投中次数 8 14 23 32 35 43 52 61 70 80 投中频率 0.800 0.700 0.767 0.800 0.700 0.717 0.743 0.763 0.778 0.800 下面有三个
5、推断： 投篮 30 次时，两位运动员都投中 23 次，所以他们投中的概率都是 0.767 0246810121416优良轻度污染中度污染重度污染严重污染2014 年1 月2015 年1 月2016 年1 月2017 年1 月2018 年1 月时间天数1 234 46789610121032134691141210dcba0-1-2-3-4-5 1 2 3 4 53 / 17 yxEOD CBA 随着投篮次数的增加， A 运动员投中频率总在 0.750 附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计 A 运动员投中的概率是 0.750 投篮达到 200 次时， B 运动员投中次数一定为 160 次 其
6、中合理的是（ ） A B C D 二、填空题 (本题共 16 分，每小题 2 分 ) 9若代数式 11xx 的值为 0 ，则实数 x 的值为 _ 10化简： ( )( )4 2 ( 1)a a a a _ 11如图，在 ABC 中， DE AB ， DE 分别与 AC ， BC 交于 D ， E 两点若 49DECABCSS ，3AC ，则 DC _ 12从杭州东站到北京南站，原来最快的一趟高铁 G20 次约用 5h 到达从 2018 年 4 月 10 日起，全国铁路开始实施新的列车运行图，并启用了 “杭京高铁复兴号 ”，它的运行速度比原来的 G20 次的运行速度快35km/h ，约用 4.5
7、h 到达。如果在相同的路线上，杭州东站到北京南站的距离不变，设 “杭京高铁复兴号 ”的运行速度设 “杭京高铁复兴号 ”的运行速度为 km/hx ，依题意，可列方程为 _ 13如图， AB 为 O 的直径， C 为 AB 上一点， 50BOC ， AD OC ，AD 交 O 于点 D ，连接 AC ， CD ，那么 ACD_ 14在平面直角坐标系 xOy 中，如果当 0x 时，函数 1y kx（ 0k ）图象上的点都在直线 1y 上方，请写出一个符合条件的函数 1y kx（ 0k ）的表达式： _ 15如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为 (1,0)A ，等腰直角三角形 ABC
8、的边 AB 在 x 轴的正半轴上， 90ABC ，点 B 在点 A 的右侧，点 C 在第一象限。将 ABC 绕点 A 逆时针旋转 75 ，如果点 C 的对应点 E 恰好落在 y 轴的正半轴上，那么边 AB 的长为 _ 16阅读下面材料： EDCBAODCBA4 / 17 EDCBA在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理 已知：直线和直线外的一点 P 求作：过点 P 且与直线 l 垂直的直线 PQ ，垂足为点 Q P 某同学的作图步骤如下： 步骤 作法 推断 第一步 以点 P 为圆心，适当长度为半径作弧，交直线 l 于 A ，
9、B 两点 PA PB 第二步 连接 PA ， PB ，作 APB 的平分线，交直线 l 于点 Q APQ _ 直线 PQ 即为所求作 PQ l 请你根据该同学的作图方法完成以下推理 : PA PB ， APQ _， PQ l （依据： _） 三、解答题（本题共 68 分，第 1719 题每小题 5 分，第 20 题 6 分，第 21、 22 题每小题 5 分，第 23 题 6分，第 24 题 5 分，第 25、 26 题每小题 6 分，第 27、 28 题每小题 7 分） 17计算： 111 8 4 s i n 3 0 2 15 18解不等式组 3( 2) 4112xxx ，并求该不等式组的非
10、负整数解 19如图， AD 平分 BAC ， BD AD 于点 D ， AB 的中点为 E ， AE AC （ 1）求证： DE AC （ 2）点 F 在线段 AC 上运动，当 AF AE 时，图中与 ADF 全等的三角形是 _ 20已知关于 x 的方程 2 (3 ) 3 0mx m x （ m 为实数， 0m ） 5 / 17 BDAO-1-111BMA（ 1）求证：此方程总有两个实数根 （ 2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数 m 的值 21如图，在 ABD 中， ABD ADB ，分别以点 B ， D 为圆心， AB 长为半径在 BD 的右侧作弧，两弧交于点 C ，分别连接 BC
11、 ， DC ， AC ，记 AC 与 BD 的交点为 O （ 1）补全图形，求 AOB 的度数并说明理由 ; （ 2）若 5AB ， 3cos 5ABD，求 BD 的长 22如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x m 与 x 轴的交点为 0()4,A ，与 y 轴的交点为 B ，线段 AB的中点 M 在函数 ky x （ 0k ）的图象上 （ 1）求 m ， k 的值 ; （ 2）将线段 AB 向左平移 n 个单位长度（ 0n ）得到线段 CD ， A ， MB 的对应点分别为 C ， N ， D 当点 D 落在函数 ky x （ 0x ）的图象上时，求 n 的值 当 MD MN 时
12、，结合函数的图象，直接写出 n 的取值范围 23某同学所在年级的 500名学生参加 “志愿北京 ”活动，现有以下 5 个志愿服务项目： A 纪念馆志愿讲解员 B 书香社区图书整理 C 学编中国结及义卖 D 家风讲解员 E 校内志愿服务要求：每位6 / 17 学生都从中选择一个项目参加，为了了解同学们选择这个 5 个项目的情况，该同学随机对年级中的 40 名同学选择的志愿服务项目进行了调查，过程如下： 收集数据：设计调查问卷，收集到如下数据（志愿服务项目的编号，用字母代号表示） B ， E ， B ， A ， E ， C ， C ， C ， B ， B ， A ， C ， E ， D ， B ，
13、 A ， B ， E ， C ， A ， D ， D ， B ， B ， C ， C ， A ， A ， E ， B ， C ， B ， D ， C ， A ， C ， C ， A ， C ， E ， 整理、描述诗句：划记、整理、描述样本数据，绘制统计图如下，请补全统计表和统计图 选择各志愿服务项目的人数统计表 志愿服务项目 划记 人数 A 纪念馆志愿讲解员 正 8 B 书香社区图书整理 C 学编中国结及义卖 正正 12 D 家风讲解员 E 校内志愿服务 正 6 合计 40 40 选择各志愿服务项目的人数比例统计图 A 纪念馆志愿讲解员 B 书香社区图书整理 C 学编中国结及义卖 E 校内志愿
14、服务 D 家风讲解员 分析数据、推断结论： a ：抽样的 40 个样本数据（志愿服务项目的编号）的众数是 _（填 AE 的字母代号） b ：请你任选 AE 中的两个志愿服务项目，根据该同学的样本数据估计全年级大约有多少名同学选择这两个志愿服务项目 24如图， O 的半径为 r ， ABC 内接于 O ， 15BAC ， 30ACB ， D 为 CB 延长线上一点， AD与 O 相切，切点为 A %30%20%15%EDCBA7 / 17 AOB CD（ 1）求点 B 到半径 OC 的距离（用含 r 的式子表示） （ 2）作 DH OC 于点 H ，求 ADH 的度数及 CBCD 的值 25如图
15、， P 为 O 的直径 AB 上的一个动点，点 C 在 AB 上，连接 PC ，过点 A 作 PC 的垂线交 O 于点 Q 已知 5cmAB ， 3cmAC 设 A 、 P 两点间的距离为 cmx ， A 、 Q 两点间的距离为 cmy 某同学根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究 下面是该同学的探究过程，请补充完整： （ 1）通过取点、画图、测量及分析，得到了 x 与 y 的几组值，如下表： (cm)x 0 1 2.5 3 3.5 4 5 (cm)y 4.0 4.7 5.0 4.8 4.1 3.7 （说明：补全表格对的相关数值保留一位小数） （ 2）建立平面
16、直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象 （ 3）结合画出的函数图象，解决问题：当 2AQ AP 时， AP 的长度均为 _cm 26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 G ： 2 2 1( 0 )y m x m x m m 与 y 轴交于点 C ，抛物线 G 的顶点为D ，直线 l ： 1( 0)y mx m m （ 1）当 1m 时，画出直线 l 和抛物线 G ，并直接写出直线 l 被抛物线 G 截得的线段长 OQPCBA8 / 17 （ 2）随着 m 取值的变化，判断点 C ， D 是否都在直线 l 上并说明理由 （ 3）若直线 l 被抛物线 G 截得的线
17、段长不小于 2 ，结合函数的图象，直接写出 m 的取值范围 27正方形 ABCD 的边长为 2 ，将射线 AB 绕点 A 顺时针旋转 ，所得射线与线段 BD 交于点 M ，作CE AM 于点 E ，点 N 与点 M 关于直线 CE 对称，连接 CN （ 1）如图 1，当 0 45 时， 依题意补全图 1 用等式表示 NCE 与 BAM 之间的数量关系： _ （ 2）当 45 90 时，探究 NCE 与 BAM 之间的数量关系并加以证明 （ 3）当 0 90 时，若边 AD 的中点为 F ，直接写出线段 EF 长的最大值 28对于平面内的 C 和 C 外一点 Q ，给出如下定义：若过点 Q 的直
18、线与 C 存在公共点，记为点 A ， B ，设 AQ BQk CQ ，则称点 A （或点 B ）是 C 的 “k 相关依附点 ”，特别地，当点 A 和点 B 重合时，规定Oxy11CDBA图 1备用图CDBAM9 / 17 AQ BQ ， 2AQk CQ （或 2BQCQ ） 已知在平面直角坐标系 xOy 中， ( 1,0)Q ， (1,0)C ， C 的半径为 r （ 1）如图 1，当 2r 时， 若 1(0,1)A 是 C 的 “k 相关依附点 ”，则 k 的值为 _ 2(1 2,0)A 是否为 C 的 “2 相关依附点 ”答： _（填 “是 ”或 “否 ”） （ 2）若 C 上存在 “k
19、 相关依附点 ”点 M ， 当 1r ，直线 QM 与 C 相切时，求 k 的值 当 3k 时，求 r 的取值范围 （ 3）若存在 r 的值使得直线 3y x b 与 C 有公共点，且公共点时 C 的 “ 3 相关依附点 ”，直接写出b 的取值范围 答案 1.【答案】 A【解析】用科学记数法表示为 105.810 2.【答案】 C【解析】中心对称绕中心转 180 与自身重合 3.【答案】 D【解析】 324 ( 4 ) ( 2 ) ( 2 )b b b b b b b 备用图CyxOQ图 1CyxOA 1A 2Q10 / 17 4.【答案】 C【解析】由俯视图可知有六个棱，再由主视图即左视图分
20、析可知为六棱柱 5.【答案】 D【解析】 5a ，故 A 错 0bd，故 B 错 0ac ，故 C 错 01c ， 42d ， 6.【答案】 B【解析】多边形内角和 ( 2) 180 720n ， 6n 正多边形的一个外角 360 360 606n 7.【答案】 D【解析】 AQI 为 “优 ”最多的天数是 14 天，对应为 2018 年 1 月，故 A 对 AQI 在 0 100 之间天数最少的为 2014 年 1 月，故 B 对 观察折线图，类别为 “优 ”的波动最大，故 对 2018 年 1月的 AQI 在 “中度污染 ”的天数为 1 天，其他天 AQI 均在 “中度污染 ”之上，因此
21、D 推断不合理 8.【答案】 B 【解析】 在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮 30 次，次数太少，不可用于估计概率，故 推断不合理 随着投篮次数增加， A 运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故 推断合理 频率用于估计概率， 但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中 200 次数，而不能确定一定是 160次，故 不合理 9.【答案】 1x 【解析】 1 01xx ， 10x ， 1x 10.【答案】 8a 【解析】 224 2 1 2 8 8( ) ( ) ( )a a a a a a a a a 11.【答案】 2 【解析】 DE AB ， 2 49DECABCS CDS AC， 23CDAC 3AC ， 2CD 12.【答案】 4.5 5( 35)xx 【解析】依题意可列方程： 4.5 5( 35)xx 13.【答案】 40 14.【答案】 1yx（答案不唯一） 【解析】答案不唯一， 0k 即可 15.【答案】 2 16.【答案】 BPQ ，等腰三角形三线合一
