1、2018 年全国各地中考数学压轴题汇编（山东专版） 几何综合 参考答案与试题解析 1（ 2018威海）如图，将矩形 ABCD（纸片）折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合， EG 为折痕；点C 与 AD 边上的点 K 重合， FH 为折痕已知 1=67.5， 2=75， EF= +1，求 BC 的长 解：由题意，得： 3=180 2 1=45， 4=180 2 2=30， BE=KE、 KF=FC， 如图，过点 K 作 KM BC 于点 M， 设 KM=x，则 EM=x、 MF= x， x+ x= +1， 解得： x=1， EK= 、 KF=2， BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF
2、=3+ + ， BC 的长为 3+ + 2（ 2018枣庄）如图，在 4 4 的方格纸中， ABC 的三个顶点都在格点上 （ 1）在图 1 中，画出一个与 ABC 成中心对称的格点三角形； （ 2）在图 2 中，画出一个与 ABC 成轴对称且与 ABC 有公共边的格点三角形； （ 3）在图 3 中，画出 ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的三角形 解：（ 1）如图所示， DCE 为所求作 （ 2）如图所示， ACD 为所求作 （ 3）如图所示 ECD 为所求作 3（ 2018枣庄）如图，在 Rt ACB 中， C=90， AC=3cm， BC=4cm，以 BC 为直径作 O 交 AB
3、 于点 D （ 1）求线段 AD 的长度； （ 2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直线 ED 与 O 相切？请说明理由 解：（ 1）在 Rt ACB 中， AC=3cm， BC=4cm， ACB=90， AB=5cm； 连接 CD， BC 为直径， ADC= BDC=90； A= A， ADC= ACB， Rt ADC Rt ACB； ， ； （ 2）当点 E 是 AC 的 中点时， ED 与 O 相切； 证明：连接 OD， DE 是 Rt ADC 的中线； ED=EC， EDC= ECD； OC=OD， ODC= OCD； EDO= EDC+ ODC= ECD
4、+ OCD= ACB=90； ED OD， ED 与 O 相切 4（ 2018潍坊）如图，点 M 是正方形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AM，作 DE AM 于点 E， BF AM于点 F，连接 BE （ 1）求证： AE=BF； （ 2）已知 AF=2，四边形 ABED 的面积为 24，求 EBF 的正弦值 （ 1）证明： 四边形 ABCD 为正方形， BA=AD， BAD=90， DE AM 于点 E， BF AM 于点 F， AFB=90， DEA=90， ABF+ BAF=90， EAD+ BAF=90， ABF= EAD， 在 ABF 和 DEA 中 ， ABF DEA（ AA
5、S）， BF=AE； （ 2）解：设 AE=x，则 BF=x， DE=AF=2， 四边形 ABED 的面积为 24， xx+ x2=24，解得 x1=6， x2= 8（舍去）， EF=x 2=4， 在 Rt BEF 中， BE= =2 ， sin EBF= = = 5（ 2018淄博）如图，以 AB 为直径的 O 外接于 ABC，过 A 点的切线 AP 与 BC 的延长线交于点P， APB 的平分线分别交 AB， AC 于点 D， E，其中 AE， BD（ AE BD）的长是一元二次方程 x2 5x+6=0的两个实数根 （ 1）求证： PABD=PBAE； （ 2）在线段 BC 上是否存在一点
6、 M，使得四边形 ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由 解：（ 1） DP 平分 APB， APE= BPD， AP 与 O 相切， BAP= BAC+ EAP=90， AB 是 O 的直径， ACB= BAC+ B=90， EAP= B， PAE PBD， ， PABD=PBAE； （ 2）过点 D 作 DF PB 于点 F，作 DG AC 于点 G， DP 平分 APB， AD AP， DF PB， AD=DF， EAP= B， APC= BAC， 易证： DF AC， BDF= BAC， 由于 AE， BD（ AE BD）的长是 x2 5x+6=0， 解得
7、： AE=2， BD=3， 由（ 1）可知： ， cos APC= = ， cos BDF=cos APC= ， ， DF=2， DF=AE， 四边形 ADFE 是平行四边形， AD=AE， 四边形 ADFE 是菱形， 此时点 F 即为 M 点， cos BAC=cos APC= ， sin BAC= ， ， DG= ， 在线段 BC 上是否存在一点 M，使得四边形 ADME 是菱形 其面积为： DGAE=2 = 6（ 2018烟台）【问题解决】 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图 1，点 P 是正方形 ABCD 内一点， PA=1， PB=2， PC=3你能求出 APB 的度数吗？
8、小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 思路一：将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到 BPA，连接 PP，求出 APB 的度数； 思路二：将 APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到 CPB，连接 PP，求出 APB 的度数 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程 【类比探究】 如图 2，若点 P 是正方形 ABCD 外一点， PA=3， PB=1， PC= ，求 APB 的度数 解：（ 1）思路一、如图 1， 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到 BPA，连接 PP， ABP CBP， PBP=90， BP=BP=2， AP=CP=3， 在 Rt PBP中， BP=
9、BP=2， BPP=45，根据勾股定理得， PP= BP=2 ， AP=1， AP2+PP2=1+8=9， AP2=32=9， AP2+PP2=AP2， APP是直角三角形，且 APP=90， APB= APP+ BPP=90+45=135； 思路二、同思路一的方法； （ 2） 如图 2， 将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到 BPA，连接 PP， ABP CBP， PBP=90， BP=BP=1， AP=CP= ， 在 Rt PBP中， BP=BP=1， BPP=45，根据勾股定理得， PP= BP= ， AP=3， AP2+PP2=9+2=11， AP2=（ ） 2=11， AP2
10、+PP2=AP2， APP是直角三角形，且 APP=90， APB= APP BPP=90 45=45 7（ 2018东营）如图， CD 是 O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上 （ 1）求证： CAD= BDC； （ 2）若 BD= AD， AC=3，求 CD 的长 （ 1）证明：连接 OD，如图所示 OB=OD， OBD= ODB CD 是 O 的切线， OD 是 O 的半径， ODB+ BDC=90 AB 是 O 的直径， ADB=90， OBD+ CAD=90， CAD= BDC （ 2）解： C= C， CAD= CDB， CDB CAD， = BD= AD， = ， = ，
11、 又 AC=3， CD=2 8（ 2018济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面 积的方法，现有以下工具； 卷尺； 直棒 EF； T 型尺（ CD 所在的直线垂直平分线段 AB） （ 1）在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）； （ 2）如图 2，小华说： “我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下： 将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M， N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积 ”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积 解：（ 1）如图点 O 即为所求； （ 2）设切点为
12、 C，连接 OM， OC MN 是切线， OC MN， CM=CN=5， OM2 OC2=CM2=25， S 圆环 =OM2 OC2=25 9（ 2018潍坊）如图， BD 为 ABC 外接圆 O 的直径，且 BAE= C （ 1）求证： AE 与 O 相切于点 A； （ 2）若 AE BC， BC=2 ， AC=2 ，求 AD 的长 证明：（ 1）连接 OA，交 BC 于 F，则 OA=OB， D= DAO， D= C， C= DAO， BAE= C， BAE= DAO，（ 2 分） BD 是 O 的直径， BAD=90， 即 DAO+ BAO=90，（ 3 分） BAE+ BAO=90，即
13、 OAE=90， AE OA， AE 与 O 相切于点 A；（ 4 分） （ 2） AE BC， AE OA， OA BC，（ 5 分） ， FB= BC， AB=AC， BC=2 ， AC=2 ， BF= ， AB=2 ， 在 Rt ABF 中， AF= =1， 在 Rt OFB 中， OB2=BF2+（ OB AF） 2， OB=4，（ 7 分） BD=8， 在 Rt ABD 中， AD= = = =2 （ 8 分） 10（ 2018东营）（ 1）某学校 “智慧方园 ”数学社团遇到这 样一个题目： 如图 1，在 ABC 中，点 O 在线段 BC 上， BAO=30， OAC=75， AO= ， BO： CO=1： 3，求 AB
