1、高一数学必修一专题复习 - 1 - / 50 第一章 集合与函数概念 知识架构 集合 集 合 表 示 法 集 合 的 运 算 集 合 的 关 系 列 举 法 描 述 法 图 示 法 包 含 相 等 子集与真子集 交 集 并 集 补 集 函数 函数 及其表示 函数基本性质 单调性与最值 函数的概念 函数 的 奇偶性 函数的表示法 映射 映射的概念 集合与函数概念 高一数学必修一专题复习 - 2 - / 50 第一讲 集合 知识梳理 一：集合的含义及其关系 1.集合 中的元素具有的三个性质 :确定性 、 无序性 和 互异性 ; 2.集合的 3 种表示方法： 列举法 、 描述法 、 韦恩图 ； 3.
2、集合中元素与集合的关系： 文字语言 符号语言 属于 不属于 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 复数集 符号 N N 或 N ZQ R C 二： 集合间的基本关系 表示 关系 文字语言 符号语言 相等 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 BA 且 AB BA 子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素 BA 或 AB 真子集 A 中任意一元素均为 B 中的元素，且 B 中至少有一元素不是A 的元素 A B 空集 空集是任何集合的子集，是 任何非空集合的真子集 A ， B （ B ） 三：集合的基本运算 两个集合的交集 : AB= x x A x B且
3、 ; 两个集合的并集 : AB= x x A x B或 ; 设全集是 U,集合 AU ,则 UCA x x U x A且 交 并 补 | , A B x x A x B 且 | , A B x x A x B 或 UCA x x U x A且 高一数学必修一专题复习 - 3 - / 50 方法 :常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算 . 重、难点突破 重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的 交、并、补三种运算。 难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的 交、并、补三种运算。 重难点： 1.集合的概念 掌握集合的概念的关键是把握集合元素
4、 的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性， 在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验； 2集合的表示法 （ 1）列举法要注意元素的三个特性；（ 2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如 )(xfyx 、 )(xfyy 、 )(),( xfyyx 等的差别， 如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误： (3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。 3集合间的关系的几个重要结论 （ 1）空集是任何集合的子集，即 A （ 2）任何集合都是它本身的子集，即 AA （ 3）子集、真子集都有传递性，即若 BA ， CB ，则 C
5、A 4集合的运算性质 （ 1）交集： ABBA ； AAA ； A ； ABA ， BBA BAABA ； （ 2）并集： ABBA ； AAA ； AA ； ABA ， BBA ABABA ； （ 3）交、并、补集的关系 ACA U ； UACA U )()()( BCACBAC UUU ； )()()( BCACBAC UUU 热点考点题型探析 考点一：集合的定义及其关系 高一数学必修一专题复习 - 4 - / 50 题型 1：集合元素的基本特征 例 1（ 2008 年江西理）定义集合运算： | , ,A B z z x y x A y B 设 1, 2 , 0, 2AB，则集合 AB 的
6、所有元素之和为（ ） A 0； B 2； C 3； D 6 解题思路 根据 AB 的定义，让 x 在 A 中逐一取值，让 y 在 B 中逐一取值， xy 在值就是 AB的元素 解析 ：正确解答本题 ,必需清楚集合 AB 中的元素，显然，根据题中定 义的集合运算知AB = 4,2,0 ，故应选择 D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。 题型 2：集合间的基本关系 例 2数集 ZnnX ,)12( 与 ZkkY ,)14( 之的关系是（ ） A X Y ； B Y X ； C YX ； D
7、 YX 解题思路 可有两种思路：一是将 X 和 Y 的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。 解析 从题意看，数集 X 与 Y 之间必然有关系，如果 A 成立，则 D 就成立，这不可能； 同样， B 也不能成立；而如果 D 成立， 则 A、 B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是 C 【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。 新题导练 1 第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行，若集合 A=参加北京奥运会比赛的运动员 ，集合 B=参加北京奥运会比赛
8、的男运动员 ，集合 C=参加北京奥运会比赛的女运动员 ，则下列关系正确的是（ ） A BA B. CB C. CBA D. ACB 解析 D；因为全集为 A ，而 CB =全集 =A 2 (2006 山东改编）定义集合运算 : ByxxyyxB A,zA 22, 设集合 1,0A , 3,2B ,则集合 BA 的所有元素之和为 解析 18，根据 BA 的定义，得到 12,6,0A B ，故 BA 的所有元素之和为 18 3 (2007湖北改编）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合 QP QxPxx 且,| ，如果 1log3 xxP ， 1 xxQ ,那么 QP 等于 解析 31 xx ；因为
9、 )3,0(1lo g 3 xxP ， )1,1(1 xxQ ，所以 )3,1(QP 4研究集合 42 xyxA ， 42 xyyB ， 4),( 2 xyyxC 之间的关系 解析 A 与 C ， B 与 C 都无包含关系，而 B A ；因为 42 xyxA 表示 高一数学必修一专题复习 - 5 - / 50 42 xy 的定义域，故 RA ； 42 xyyB 表示函数 42xy 的值域，),4 B ； 4),( 2 xyyxC 表示曲线 42 xy 上的点集，可见， B A ，而 A与 C ， B 与 C 都无包 含关系 考点二：集合的基本运算 例 3 设集合 0232 xxxA ， 0)5
10、()1(2 22 axaxxB （ 1） 若 2BA ，求实数 a 的值； （ 2）若 ABA ，求实数 a 的取值 范围 若 2BA ， 解题思路 对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 解析 因为 2,10232 xxxA ， （ 1）由 2BA 知， B2 ，从而得 0)5()1(42 22 aa ，即 0342 aa ，解得 1a 或 3a 当 1a 时， 2,2042 xxB ，满足条件； 当 3a 时， 20442 xxxB ，满足条件 所以 1a 或 3a （ 2）对于集合 B ，由 )3(8)5(4)1(4 22 aaa 因为 ABA ，所以
11、AB 当 0 ，即 3a 时， B ，满足条件； 当 0 ，即 3a 时， 2B ，满足条件； 当 0 ，即 3a 时， 2,1 AB 才能满足条件， 由根与系数的关系得725521)1(22122 aaaa ，矛盾 故实数 a 的取值 范围 是 3a 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空 ,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况 . 抢分频道 基础巩固训练： 1 （ 09 年吴川市川西中学 09 届第四次月考）设全集 U B A 高一数学必修一专题复习 - 6 - / 50 R , ( 3 ) 0 , 1U A x x x
12、 B x x , 则右图中阴 影部分表示的集合为 ( ) A 0xx ； B 30xx ； C 31xx ； D 1xx 解析 C； 图中阴影部分表示的集合是 BA ，而 03 xxA ，故 13 xxBA 2. （韶关 09 届高三摸底考）已知 2(1 ) 0 , l og 0A x x x B x x 则 AB= A (0,1) ； B (0,2) ； C )0,( ； D ( , 0) (0, 解析 A；因为 10 xxA ， 10 xxB ，所以 10 xxBA 3. （苏州 09 届高三调研考 ）集合 1,0,1 的所有子集个数为 解析 8； 集合 1,0,1 的所有子集个数为 82
13、3 4.（ 09 年无锡市高三第一次月考） 集合 A 中的代表元素设为 x ，集合 B 中的代表元素设为 y ，若 Bx 且 Ay ，则 A 与 B 的关系是 解析 AB 或 AB ；由子集和交集的定义即可得到结论 5 (2008 年天津 )设集合 RTSaxaxTxxS ,8|,32| ，则 a 的取值范围是（ ） A 13 a ； B 13 a C 3a 或 1a ； D 3a 或 1a 解析 A； 5132| xxxxxS 或， 8| axaxT ， RTS 所以 581aa，从而得 13 a 综合提高训练： 6 01 mmP , 恒成立对于任意实数 xmxmxRmQ 0442 则下列关
14、系中立的是 ( ) A P Q ; B Q P ;C QP ;D QP 解析 A；当 0m 时，有 0)4(4)4(02 mmm ，即 01 mRmQ ；当 0 时， 0442 mxmx 也恒成立，故 01 mRmQ ，所以 P Q 7.设 )(12)( Nnnnf ， 5,4,3,2,1P ， 7,6,5,4,3Q ，记 PnfNnP )( ， QnfNnQ )( ，则 )()( PCQQCP NN ( ) A. 3,0 ; B.2,1 ; C. 5,4,3 ; D. 7,6,2,1 高一数学必修一专题复习 - 7 - / 50 解析 A；依题意得 2,1,0P ， 3,2,1Q ，所以 0
15、)( QCP N ， 3)( PCQ N ，故应选 A 8（ 09 届惠州第一次调研考）设 A、 B 是非空集合，定义 A B x x A B x A B 且，已知 A= 2 | 2 x y x x， B= | 2 , 0xy y x， 则 A B 等于（ ） A 0, ； B 0,1 2, ； C 0,1 2, ； D 0,1 (2, ) 解析 D； 22 0 0 2x x x ， A=0， 2， 0 2 1xx ， B=（ 1，）， A B=0, ）， A B=（ 1， 2，则 A B 0,1 (2, ) 第 2 讲 函数与映射的概念 知识梳理 1函数的概念 (1)函数的定义： 设 BA、
16、 是两个非空的 数集 ，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的 每一个数 x ，在集合 B 中都有 唯一确定 的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为Axxfy ),( (2)函数的定义域、值域 在函数 Axxfy ),( 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做 )(xfy 的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合 Axxf )( 称为 函数 )(xfy 的值域。 (2)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则 2映射的概念 设 BA、 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的 任意 元素，在集合 B中
17、都有 唯一确定 的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的 映射 ，通常记为BAf : 重、难点突破 高一数学必修一专题复习 - 8 - / 50 重点：掌握 映射 的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点： 1关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题 1：已知函数 )(xfy 的定义域为 ba， ，求 )2( xfy 的定义域 误解 因为 函数 )(xfy 的定义域为 ba， ，所以 bxa ，从而 222 bxa 故 )2( xfy 的定义域是 2,2 ba 正解 因为 )
18、(xfy 的定义域为 ba， ，所以在函数 )2( xfy 中， bxa 2 ， 从而 22 bxa ，故 )2( xfy 的定义域是 2,2 ba 即本题的实质是求 bxa 2 中 x 的范围 问题 2：已知 )2( xfy 的定义域是 ba， ，求 函数 )(xfy 的定义域 误解 因为 函数 )2( xfy 的定义域是 ba， ，所以得到 bxa 2 ，从而 22 bxa ，所以 函数 )(xfy 的定义域是 2,2 ba 正解 因为 函数 )2( xfy 的定义域是 ba， ，则 bxa ，从而 222 bxa 所以 函数 )(xfy 的定义域是 2,2 ba 即本题的实质是由 bxa
19、 求 2x 的范围 即 )(xf 与 )2( xf 中 x 含义不同 2 求值域的几种常用方法 （ 1）配 方法： 对于（可 化为） “二 次函数 型 ” 的函数 常用配 方法， 如求函数4c o s2s in 2 xxy ，可变为 2)1( c o s4c o s2s in 22 xxxy 解决 （ 2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(lo g 221 xxy 就是利用函数 uy 21log 和 322 xxu 的 值域来求。 （ 3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域 。如求函数 22 122 xx xy的 值域 由 22 122
20、xx xy得 012)1(22 yxyyx ，若 0y ，则得 21x ，所以 0y 是函数 值 域 中 的 一 个 值 ； 若 0y ，则由 0)12(4)1(2 2 yyy 得02 1332 133 yy 且，故所求 值域是 2 133,2 133 高一数学必修一专题复习 - 9 - / 50 （ 4）分离常数法：常用来求 “分式型 ”函数的值域。如求函数 1cos 3cos2 xxy 的 值域，因为 1c o s 521c o s 3c o s2 xxxy ，而 2,0(1cos x ，所以 25,(1c o s5 x ，故 21,( y （ 5）利用基本不等式求值域：如求函数432 x
21、 xy的 值域 当 0x 时， 0y ； 当 0x 时，xxy 43 ，若 0x ，则 4424 xxxx 若 0x ，则 4)4()(2)4(4 xxxxxx，从而得所求 值域是 43,43 （ 6）利用函数的单调性求求值域：如求函数 )2,1(22 24 xxxy 的 值域 因 )14(228 23 xxxxy ，故 函数 )2,1(22 24 xxxy 在 )21,1( 上递减、在)0,21( 上递增、在 )21,0( 上递减、在 )2,21( 上递增，从而可得所求 值域为 30,815 （ 7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地 得出函数的值域（求某些分段函数的值域
22、常用此法）。 热点考点题型探析 考点一： 判断两函数是否为同一个函数 例 1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （ 1） 2)( xxf ， 3 3)( xxg ； （ 2） xxxf )( ， ;01 ,01)( xxxg（ 3） 12 12)( n nxxf ， 1212 )()( nn xxg （ n N*）； （ 4） xxf )( 1x ， xxxg 2)( ； （ 5） 12)( 2 xxxf ， 12)( 2 tttg 解题思路 要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 解析 （ 1）由于 xxxf 2)( ， xxxg 3 3)( ，故它们的值域及对应法则都
23、不相同，所以它们不是同一函数 . 高一数学必修一专题复习 - 10 - / 50 （ 2）由于函数xxxf )(的定义域为 ),0()0,( ，而 ;01 ,01)( xxxg的定义域为 R，所以它们不是同一函数 . （ 3）由于当 n N*时， 2n1 为奇数， xxxf n n 12 12)( ， xxg nn 1212 )()( ，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数 . （ 4）由于函数 xxf )( 1x 的定义域为 0xx ，而 xxxg 2)( 的定义域为 10 xxx 或 ，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数 . （ 5）函数的定义域、值域和对应法则都相同
24、，所以它们是同一函数 . 答案 （ 1）、（ 2）、（ 4）不是；（ 3）、（ 5）是同一函数 【名师指引】 构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。 第（ 5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不 透，在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如 1)( 2 xxf ，1)( 2 ttf ， 1)1()1( 2 uuf 都可视为同一函数 . 新题导练 1 (2009佛山 ) 下列函数中与函数 xy 相同的是 ( ) A .y
25、 = ( x )2 ; B. y = 33t ; C. y = 2x ; D. y= xx2 解析 B；因为 y = 33t t ，所以应选择 B 2 (09 年重庆南开中学 )与函数 )12lg(1.0 xy 的图象相同的函数是 （ ） A. )21(12 xxy ； B. 12 1 xy ； C. )21(12 1 xxy ； D. |12 1| xy 解析 C；根据对数恒等式得 12 1101.0 12 1lg)12l g ( xy xx ，且函数 )12lg(.0 xy 的定义域为 ),21( ，故应选择 C 考点二：求函数的定义 域、值域 题型 1：求有解析式的函数的定义域 例 2.（ 08 年湖北）函数 )(xf )4323ln (1 22 xxxxx 的定义域为 ( ) A. ),2)4,( ;B. )1,0()0,4( ； C. 1,0()0,4, ;D. )1,0()0,4, 解题思路 函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 解析 欲使函数 )(xf 有意义，必须并且只需
