1、 高二数学试题（选修 2-1） 说明： 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试时间 120 分钟。 第卷 (选择题 共 36分 ) 注意事项： 1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、座号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号， 在 试题卷上 作答无效 。 一选择题 （本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.下列命题是真命题的是 A、 “ 若 0x ，则 0xy ” 的逆命题； B、 “ 若 0x ，
2、则 0xy ” 的否命题； C、若 1x ，则 2x ； D、 “ 若 2x ，则 0)1)(2( xx ” 的逆否命题 2.已知 p: 522 ， q: 23 ，则下列判断中， 错误 的是 A、 p 或 q 为真，非 q 为假； B、 p且 q 为假，非 p 为真； C、 p 且 q 为假，非 p 为假； D、 p且 q 为假， p 或 q为真； 3 命题“ 083, 2 xxRx ”的否定是 A、 083, 2 xxRx B、 083, 2 xxRx C、 083, 2 xxRx D、 083, 2 xxRx 4 抛物线 2yx 的焦点坐标是 A 1,0 B 1,04C 10,8D 10,
3、45.经过点 )62,62( M 且与双曲线 134 22 yx 有共同渐近线的双曲线方程为 A 186 22 yx B 186 22 xy C 168 22 yx D 168 22 xy 6.已知 ABC 的顶点 B 、 C在椭圆 134 32 yx 上 ,顶点 A是椭圆的一个焦点 ,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上 ,则 ABC 的周长是 A.2 3 B. 8 C. 34 D. 4 w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 7 三棱柱 ABC A1B1C1中，若 11, , ,C A a C B b C C c A B 则 A cba B cba C cba D cba 8. 关于曲
4、线 | | | | 1xy所围成的图形，下列判断 不正确 的是 A关于直线 y = x 对称 B关于 y 轴对称 C关于原点对称 D关于 x 轴对称 9. 若抛物线 2 2 ( 0)y px p上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为 10 和 6，则该点横坐标为 A 6 B 8 C 1 或 9 D 10 10 下列各组向量中 不平行 的是 A )4,4,2(),2,2,1( ba B )0,0,3(),0,0,1( dc C )0,0,0(),0,3,2( fe D )40,24,16(),5,3,2( hg 11. 若 A )1,2,1( ， B )3,2,4( ， C )4,1,6( ，则
5、 ABC 的形状是 A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等边三角形 12. 抛物线 22xy 上两点 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 关于直线 mxy 对称，且 2121 xx，则 m 等于 A 2 B 23 C 25 D 3 二 .填空题 （本大题共 4 小题，每小题 3分，共 12 分。 把答案填在横线上。 ） 13 12:,A x x 是方程 2 0 ( 0 )a x b x c a 的两实数根；12: bB x x a , 则 A 是 B 的 条件。 14双曲线 2288kx ky的一个焦点为 (0,3) ，则 k 的值为 _。 w. w. w. k. s. 5
6、. u. c. o. m 15、“神舟七号”飞船的运行轨道是以地球球心为一个焦点的椭圆。设地球半径为 R，且“神舟七号”飞船离地面的最大距离和最小距离分别是 H和 h，则“神舟七号”飞船的运行轨道的离心率是 。 16 若异面直线 ,ab所成角为 060 ,AB 是公垂线 （ , bBaA 且 bABaAB , ） ,E,F 分别是异面直线 ,ab上到 A,B 距离为 2和 1 的两点 ,当 3EF 时 ,线段 AB 的长为 . 三 .解答题 （本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（本小题满分 8分） 已知下列三个方程： 2 2 2 24 4 3
7、0 , ( 1 ) 0 , 2 2 0x a x a x a x a x a x a 至少有一个方程有实数根，求实数 a 的取值范围。 w. w. w. k. s.5.u. c.o.m ADECBM18.(本小题满分 8分 ) 一段双行道隧道的横截面边界由椭圆的上半部分和矩形的三边组成，如图所示 .一辆卡车运载一个长方形的集装箱，此箱平放在车上与车同宽，车与箱的高度共计 4.2 米，箱宽 3米，若要求通过隧道时，车体不得超过中线 .试问这辆卡车是否能通过此隧道，请说明理由 . 19.（本小题满分 8分） 如图，在平行六面体 ABCD-A1BC1D1中， O 是 B1D1的中点， 求证： B1C
8、面 ODC1。 w. w. w. k. s. 5. u. c.o.m 20.（本 小 题满分 8分） 设 P是椭圆 2 22 11x yaa 短轴的一个端点， Q 为椭圆上的一个动点，求 PQ 的最大值。 w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m 21.（本小题满分 10 分） 如图，正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直， M 是 ADCE和 的交点， BCAC ，且 BCAC 。 （ 1）求证： EBCAM 平面 ； w. w. w. k. s. 5. u. c.o.m （ 2）求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小； （ 3）求二面角 CEBA 的大小不。
9、10m3m2m22.（本小题满分 10 分） 已知动圆过定点 1,0 ，且与直线 1x 相切 . w. w. w. k.s.5.u.c.o.m (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程； (2) 是否存在直线 l ，使 l 过点（ 0， 1），并与轨迹 C 交于 ,PQ两点，且满足 0OP OQ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 高二数学参考答案（选修 2-1） 一选择题（本大题共 12小题，每小题 3分，共 36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C A D B B C A C D A B 二填
10、空题（本大题共 4小题，每小 题 3分，共 12分。把答案填在横线上。） 13 充分条件 14 1 15 hHR hH 2 16 6,2 三 .解答题（本大题共 6 小题，共 52 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17. （本小题满分 8 分） 解：假设三个方程： 2 2 2 24 4 3 0 , ( ) 0 , 2 2 0x a x a x a x a x a x a 都没有实数根，则2122221( 4 ) 4 ( 4 3 ) 0( 1 ) 4 0( 2 ) 4 ( 2 ) 0aaaaaa ，即31221 ,1320aaaa 或，得 3 12 a 3 ,12aa 或 。 1
11、8. （本小题满分 8 分） 解：建立如图所示的坐标系， w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m 则此隧道横截面的椭圆上半部分方程为： 22 1( 0)25 4xy y . 令 3x ，则代入椭圆方程，解得 1.6y ，因为 1.6 3 4.6 4.2 ， 所以，卡车能够通过此隧道 . 19.（本小题满分 8分） 证明：设 cCCbDCaBC 11111 ， ，则xy10m3m2mO），（， baOCacCB 2111 cxbyx21ayx21ba21ycab21xacRyxOCyODxCByxcab21ODab21OD1111 ）（）（）（）（则）成立，（，使得，若存在实数
12、。）（），（ 不同面， cba 111021121yxxyxyx即）（）（w. w. w. k.s.5.u.c.o.m ，11 OCODCB 内。所确定的平面，不在为共面向量，且， 11111 O D COCODCBOCODCB 。平面，即平面 1111 / ODCCBODCCB 20（本 小 题满分 8分） 解 : 依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2+(y 1)2 ,又因为 Q 在椭 圆上 , 所以 ,x2=a2(1 y2) , |PQ|2= a2(1 y2)+y2 2y+1=(1 a2)y2 2y+1+a2=(1 a2)(y 11 a2 )2 11 a2+1+a2
13、 . 因为 |y|1,a1, 若 a 2, 则 | 11 a2|1, 当 y= 11 a2时 , |PQ|取最大值 a2 a2 1a2 1 ;若 1a 2,则当 y= 1时 , |PQ|取 最大值 2. 21 （本 小 题满分 10 分） 解 : 四边形 ACDE 是正方形 ， w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m ECAMACEA , ， 平面 ACDE 平面 ABC ， EA 平面 ABC ， 可以以点 A 为原点，以过 A 点平行于 BC 的直线为 x 轴，分别以直线 AC 和 AE 为 y 轴和 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 xyzA 设 2 BCACEA
14、，则 B M E D C A y x z ),0,2,2(),0,0,0( BA )2,0,0(),0,2,0( EC ， M 是正方形 ACDE 的对角线的交点， )1,1,0(M (1) AM )1,1,0( ， )2,2,0()2,0,0()0,2,0( EC ， )0,0,2()0,2,0()0,2,2( CB ， 0,0 CBAMECAM ， CBAMECAM , w. w. w. k.s.5.u.c.o.m AM 平面 EBC (2) AM 平面 EBC ， AM 为平面 EBC的一个法向量， )0,2,2(),1,1,0( ABAM ， 21,c o s AMAB AMABAMA
15、B 60, AMAB 直线 AB 与平面 EBC 所成的角为 30 (3) 设平面 EAB 的法向量为 ),( zyxn ，则 AEn 且 ABn ， 0 AEn 且 0ABn .0),()0,2,2( ,0),()2,0,0( zyx zyx即 .0,0yxzw. w. w. k.s.5.u.c.o.m 取 1y ，则 1x ， 则 )0,1,1( n 又 AM 为平面 EBC的一个法向量，且 )1,1,0(AM ， 21,c o s AMn AMnAMn， 设二面角 CEBA 的平面角为 ，则 21,c o sc o s AMn ， 60 二面角 CEBA 等于 60 w. w. w. k
16、. s.5.u.c.o.m 22.（本小题满分 10 分） 解 :（ 1）如图，设 M 为动圆圆心， F 1,0 ，过点 M 作直线 1x 的垂线，垂足为 N ，由题意知：MF MN ， 即动点 M 到定点 F 与定直线 1x 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹为抛物线，其中 1,0F 为焦点， 1x 为准线， 动点 R 的轨迹方程为 xy 42 （ 2）由题可设直线 l 的方程为 ( 1)( 0)x k y k ， 由2( 1)4x k yyx 得 2 4 4 0y ky k 216 16 0k ， 11kk 或 w. w. w. k. s. 5. u. c.o.m 设 ),( 11 yxP ， ),( 22 yxQ ，则 124y y k ， 124yy k 由 0OP OQ，即 11,OP x y ， 22,OQ x y ，于是 1 2 1 2 0x x y y， 即 2 1 2 1 21 1 0k y y y y ， 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( ) 0k y y k y y k ， 04)1(4 222 kkkkk ，解得 4 或 0k （舍去）， 又 41k ， 直 线 l 存在，其方程为 4 4 0xy . oAx 1,0FMN1x
