1、 第 1 页 共 17 页 二次函数的综合应用 考点 1：线段、周长问题 1.(2018宜宾 )在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（ 2， 0），且经过点（ 4， 1），如图，直线 y= x与抛物线交于 A、 B 两点，直线 l为 y= 1 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在 l上是否存在一点 P，使 PA+PB 取得最小值？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 拓展： 在 l 上是否存在一点 P，使 PB-PA取得最大值？若存在，求出点 P的坐标。 第 2 页 共 17 页 2. (2018莱芜 )如图，抛物 线 y=ax2+bx+c 经过 A（ 1， 0）
2、， B（ 4， 0）， C（ 0， 3）三点， D 为直线 BC 上方抛物线上一动点， DE BC 于 E （ 1）求抛物线的函数表达式； （ 2）如图 1，求线段 DE 长度的最大值； 第 3 页 共 17 页 考点 2：图形面积问题 1. (2018泰安 )如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 交 x 轴于点 A（ 4， 0）、 B（ 2， 0），交 y 轴于点 C（ 0， 6），在 y轴上有一点 E（ 0， 2），连接 AE （ 1）求二次函数的表达式； （ 2）若点 D为抛物线在 x 轴负半轴上方的一个 动点，求 ADE 面积的最大值； 第 4 页 共 17 页 2
3、.(2018东营 )如图，抛物线 y=a(x-1)(x-3)（ a0）与 x 轴交于 A、 B两点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使 OCA OBC （ 1）求线段 OC 的长度； （ 2）设直线 BC 与 y轴交于点 M，点 C 是 BM的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式； （ 3）在（ 2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC面积最大？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由 第 5 页 共 17 页 考点 3：特殊三角形的存在性问题 1.(2018泰安 )如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 交 x轴于点 A
4、（ 4， 0）、 B（ 2， 0），交 y轴于点 C（ 0， 6），在 y轴上有一点 E（ 0， 2），连接 AE （ 1）求二次函数的表达式； （ 3）抛物线对称轴上是否存在点 P，使 AEP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 P点的坐标，若不存在请说明理由 第 6 页 共 17 页 2. （ 2018怀化）如图，在平面直角坐 标系中，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x轴交于 A（ 1， 0） B（ 3， 0）两点，与 y轴交于点 C，点 D是该抛物线的顶点 （ 1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式； （ 2）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A， P， C为顶点， AC
5、为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 7 页 共 17 页 考点 4：特殊四边形的存在性问题 1.(2018济宁 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（ a0 ）经过点 A（ 3， 0） ， B（ 1，0）， C（ 0， 3） （ 1）求该抛物线的解析式； （ 3）若点 Q 在 x轴上，点 P在抛物线上，是否存在以点 B， C， Q， P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由 第 8 页 共 17 页 2. （ 2018齐齐哈尔）如图 1 所示，直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A(-4， 0)
6、，与 y轴交于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A， C. (1)求抛物线的解析式； (3)如图 2所示， M 是线段 OA上一个动点，过点 M 垂直于 x轴的直线与直线 AC和抛物线分别交于点 P、 N.若点 P恰好是线段 MN 的中点，点 F 是直线 AC 上一动点，在坐标平面内是否存在点 D，使以点 D， F， P， M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点 D坐标，若不存在请说明理由 . 第 9 页 共 17 页 3.（ 2017天水）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y=a -2ax-3a 与 x轴交于 A， B两点（点 A在点 B的左侧），经过点 A的直线 y=
7、kx+b 与 y 轴负半轴交于点 C，与抛物线的另一个交点为 D，且 CD =4AC. 求 A、 B两点的坐 标及抛物线的对称轴。 设 P是抛物线对称轴上的一点，点 Q在抛物线上，以点 A、 D、 P、 Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P的坐标；若不能，请说明理由。 第 10 页 共 17 页 考点 5：相似三角形的存在性问题 1.（ 2018齐齐哈尔）如图 1所示，直线 y=x+c 与 x轴交于点 A(-4， 0)，与 y轴交于点 C，抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A， C. (1)求抛物线的解析式； (3)如图 2所示， M 是线段 OA上一个动点，过点 M 垂直于 x轴的直线与直线 AC和抛物 线分别交于点 P、 N.若以 C， P， N为顶点的三角形与 相似，则 CPN的面积为 _；
