1、一、选择题： 1. 10i2-i A. -2+4i B. -2-4i C. 2+4i D. 2-4i 解 ：原式 1 0 i(2 + i) 24(2 -i)(2 + i) i .故选 A. 2. 设集合 1| 3 , | 04xA x x B x x ，则 AB= A. B. 3,4 C. 2,1 D. 4. 解 ： 1| 0 | ( 1 ) ( 4 ) 0 | 1 44xB x x x x x xx . (3, 4)AB.故选 B. 3. 已知 ABC 中， 12cot 5A ， 则 cosA A. 1213 B. 513 C. 513 D. 1213 解 ：已知 ABC 中， 12cot
2、5A ， ( , )2A . 2 21 1 1 2c o s1351 t a n 1 ( )12A A 故选 D. 4.曲线 21xy x 在点 1,1 处的切线方程为 A. 20xy B. 20xy C. 4 5 0xy D. 4 5 0xy 解 ：1 1 1222 1 2 1| | | 1( 2 1 ) ( 2 1 )x x xxxy xx , 故切线方程为 1 ( 1)yx ,即 20xy 故选 B. 5. 已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AA AB ， E 为 1AA 中点，则异面直线 BE 与 1CD 所成的角的余弦值为 A. 1010 B. 15
3、C. 31010 D. 35 解 ：令 1AB 则 1 2AA ,连 1AB 1CD 1AB 异面直线 BE 与 1CD 所成的角即 1AB 与 BE 所成的角。在 1ABE 中由余弦定理易得1 3 10cos 10A BE。 故选 C 6. 已知向量 2 , 1 , 1 0 , | | 5 2a a b a b ，则 |b A. 5 B. 10 C.5 D. 25 解 ： 2 2 2 25 0 | | | | 2 | | 5 2 0 | |a b a a b b b | | 5b。 故选 C 7. 设 3 2 3l o g , l o g 3 , l o g 2a b c ，则 A. abc
4、 B. a c b C. bac D. b c a 解 ： 3 2 2l o g 2 l o g 2 l o g 3 bc 2 2 3 3l o g 3 l o g 2 l o g 3 l o ga b a b c .故选 A. 8. 若 将 函 数 ta n 04yx 的 图 像 向 右 平 移 6 个 单 位 长 度 后 ， 与 函 数tan 6yx的图像重合，则 的最小值为 A 16 B. 14 C. 13 D. 12 解 ： 6t a n t a n ( t a)644 6ny x y x x 向 右 平 移 个 单 位164 ()6 6 2k k k Z ， 又min 10 2 .故
5、选 D 9. 已知直线 20y k x k 与抛物线 2:8C y x 相交于AB、 两点， F 为 C 的焦点，若 | | 2| |FA FB ，则 k A. 13 B. 23 C. 23 D. 223 解 ：设抛物线 2:8C y x 的 准 线 为 :2lx 直线 20y k x k 恒过定点 P 2,0 .如图过 AB、 分 别作 AM l 于 M ,于 N , 由| | 2| |FA FB , 则 | | 2 | |AM BN , 点 B 为 AP 的中点 .连结 OB , 则 1| | | |2OB AF , | | | |OB BF 点 B 的横坐标为 1, 故点 B 的坐标为
6、2 2 0 2 2(1 , 2 2 ) 1 ( 2) 3k , 故选 D 10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少 有 1 门不相同的选法共有 A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种 解 ：用间接法即可 . 2 2 24 4 4 30C C C 种 . 故选 C 11. 已知双曲线 2222 1 0 , 0xyC a bab ：的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于AB、 两点，若 4AF FB ,则 C 的离心率为 m A 65 B. 75 C. 58 D. 95 解 ：设双曲线 221xyC ab： 的右准线为 l
7、,过 AB、 分 别作AM l 于 M , BN l 于 N , BD AM D 于 ,由直线AB 的斜率为 3 , 知直 线 AB 的倾斜角为16 0 6 0 , | | | |2B A D A D A B , 由 双 曲 线 的 第 二 定 义 有1| | | | | | ( | | | |)A M B N A D A F F Be 11| | ( | | | |)22A B A F F B . 又 1 5 64 3 | | | |25A F F B F B F B ee 故选 A 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外
8、面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“ ”的面的方位是 A. 南 B. 北 C. 西 D. 下 BN l 解 ：展、折问题。易判断选 B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡上。 13. 4x y y x 的展开式中 33xy 的系数为 6 。 解 ： 4 2 2 4()x y y x x y x y ，只需求 4()xy 展开式中的含 xy 项的系数： 24 6C 14. 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 535aa 则 95SS 9 . 解 ： na 为等差数列， 95539 95Sa 15.设 OA是球 O 的半径， M 是 OA
9、的中点，过 M 且与 OA 成 45角的平面截球 O 的表面得到圆 C 。若圆 C 的面积等于 74 ，则球 O 的表面积等于 8 . 解 ：设球半径为 R ，圆 C 的半径为 r ， 22 77.444 rr ,得由 因为 222 2 4ROC R 。由 2 2 2 22 1 7()4 8 4R R r R 得 2R .故 球 O 的表面积等于 8 . 16. 已知 AC BD、 为圆 O : 224xy的两条相互垂直的弦，垂足为 1, 2M ,则四边形 ABCD的面积的最大值为 。 解 ：设圆心 O 到 AC BD、 的距离分别为 12dd、 ,则 2 2 212 3d d OM+ . 四
10、边形 ABCD 的面积 2 2 2 21 2 1 21 | | | | 2 ( 4 ) 8 ( ) 52S A B C D d d d d )(4-三、解答题： 17 设 ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ， 3c o s( ) c o s 2A C B ，2b ac ，求 B 。 分析 ：由 3c o s ( ) c o s2A C B ，易想到先将 ()B A C 代入3c o s ( ) c o s2A C B 得 3c o s ( ) c o s ( ) 2A C A C 。然后利用两角和与差的余弦公式展开得3sin sin 4AC ；又由 2b
11、ac ，利用正弦定理进行边角互化，得 2sin sin sinB A C ，进而得3sin 2B .故 233B 或 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 23B 时，由1c o s c o s ( ) 2B A C ，进而得 3c o s ( ) c o s ( ) 2 12A C A C ，矛盾，应舍去。 也可利用若 2b ac 则 b a b c或 从而舍去 23B 。不过这种方法学生不易想到。 18（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， ,AB AC D 、 E 分别为 1AA 、 1BC 的中 点， DE 平面 1BCC （ I）证明： AB
12、AC （ II）设二面角 A BD C为 60，求 1BC 与平面 BCD 所成的角的大小。 （ I） 分析一 ：连结 BE， 1 1 1ABC A BC 为直三棱柱， 1 90 ,B BC E 为 1BC的中点， BE EC。又 DE 平面 1BCC ， BD DC（射影相等的两条斜线段相等）而 DA 平面 ABC ， AB AC（相等的斜线段的射影相等）。 分析二 ：取 BC 的中点 F ，证四边形 AFED 为平行四边形，进而证 AF DE ， AF BC ，得 AB AC 也可。 分析三 ：利用空间向量的方法。具体解法略。 （ II） 分析一 ：求 1BC与平面 BCD 所成的线面角，
13、只需求点 1B 到面 BDC 的距离即可。 作 AG BD 于 G ，连 GC ，则 GC BD ， AGC 为二面角 A BD C的平面角，60AGC . 不妨设 23AC ，则 2, 4AG GC. 在 RT ABD 中，由AD AB BD AG ，易得 6AD . 设点 1B 到面 BDC 的距离为 h ， 1BC 与平面 BCD 所成的角为 。利用11133B B C B C DS D E S h ，可求得h 23 ， 又 可 求 得 1 43BC 11s in 3 0 .2hBC 即 1BC与平面 BCD 所成的角为 30. 分析二 ：作出 1BC 与平面 BCD 所成的角再行 求解
14、。如图可证得 BC AFED面 ，所以面AFED BDC 面 。由分析一易知：四边形 AFED 为正方形，连 AE DF、 ，并设交点为 O ，则 EO BDC面 ， OC 为 EC 在 面 BDC 内的射影。 ECO 即 为 所 求。以下略。 19（本小题满分 12 分） 设数列 na 的前 n 项和为 ,nS 已知 1 1,a 1 42nnSa （ I）设 1 2n n nb a a，证明数列 nb 是等比数列 （ II）求数列 na 的通项公式。 解：（ I）由 1 1,a 及 1 42nnSa ，有 1 2 14 2,a a a 2 1 1 2 13 2 5 , 2 3a a b a
15、a 由 1 42nnSa ， 则当 2n 时，有 142nnSa 得 1 1 1 14 4 , 2 2 ( 2 )n n n n n n na a a a a a a 又 1 2n n nb a a， 12nnbb nb 是首项 1 3b ，公比为的等比数列 （ II）由（ I）可得 11 2 3 2 nn n nb a a ， 11 32 2 4nnaa 数列 2nna是首项为 12 ，公差为 34 的等比数列 1 3 3 1( 1 )2 2 4 4 4nna nn ， 2(3 1) 2nnan 评析：第（ I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 1nnbb与 的 关 系 即 可 第（ II）
16、问中由（ I）易得 11 2 3 2nnnaa ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：1 (,nnna pa q p q 为 常 数 )，主要的处理手段是两边除以 1nq 20（本小题满分 12 分） 某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙组有 5 名工人，其中有 3 名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。 （ I）求从甲、乙两 组各抽取的人数； （ II）求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率； （ III）记 表示抽取的 3 名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。 （ II）在第一问的基础上，这一问
17、处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 1146210 815CCP C（ III） 的可能取值为 0， 1， 2， 3 12 342110 5 6( 0) 75CCP CC ， 1 1 1 214 6 3 422 1 2 11 0 5 1 0 5 28( 1 ) 75C C C CCP C C C C ， 2 16 22110 5 10( 3 ) 75C CP CC ， 31( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) ( 3 ) 75P P P P 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的离心率为 33 ，过右焦点 F 的直线
18、l 与 C 相交于 A 、 B两点，当 l 的斜率为 1 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 22 （ I）求 a ， b 的值； （ II） C 上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 OP OA OB成立？ 若存在，求出所有的 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由。 解 :(I）设 ( ,0)Fc ，直线 :0l x y c ，由坐标原点 O 到 l 的距离为 22 则 | 0 0 | 222 c ，解得 1c .又 3 , 3 , 23ce a ba . （ II）由 (I）知椭圆的方程为 22:132xyC .设 11( , )Ax y 、 B 22( , )
19、xy 由题意知 l 的斜率为一定不为 0，故不妨设 :1l x my 代入椭圆的方程中整理得 22( 2 3 ) 4 4 0m y m y ，显然 0 。 由韦达定理有：12 24 ,23myy m 12 24 ,23yy m .假设存在点 P，使 OP OA OB成立，则其充要条件为： 点 1 2 1 2P ( , )x x y y的 坐 标 为 ，点 P 在椭圆上，即 221 2 1 2( ) ( ) 132x x y y。 整理得 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 22 3 2 3 4 6 6x y x y x x y y 。 又 AB、 在椭圆上，即 2 2 2 21 1 2
20、22 3 6 , 2 3 6x y x y . 故 1 2 1 22 3 3 0x x y y 将 21 2 1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) ( ) 1x x m y m y m y y m y y 及代入解得 2 12m 12 22yy 或, 12xx = 224322 3 2mm ,即 32( , )22P . 当 2 3 2 2, ( , ) , : 12 2 2 2m P l x y 时 ; 22.(本小题满分 12 分 ) 设函数 2 1f x x aIn x 有两个极值点 12xx、 ，且 12xx （ I） 求 a 的取值范围，并讨论 fx的单调性； （ II）证明
21、： 2 1 2 24Infx 解 : （ I） 2222 ( 1 )11a x x af x x xxx 令 2( ) 2 2g x x x a ，其对称轴为 12x 。由题意知 12xx、 是方程 ( ) 0gx 的两个均大于1 的不相等的实根，其充要条件为 4 8 0( 1) 0aga ，得 10 2a 当 1( 1, )xx 时， 0, ( )f x f x 在 1( 1, )x 内为增函数； 当 12( , )x x x 时， 0, ( )f x f x 在 12( , )xx 内为减函数； 当 2 3 2 2, ( , ) , : 12 2 2 2m P l x y 时 . 当 2,
22、()xx 时， 0, ( )f x f x 在 2,()x 内为增函数； （ II）由 （ I）21(0 ) 0 , 02g a x ， 222(2 )a x x +2 2 2 22 2 2 2 2 2 21 ( 2 ) 1f x x a ln x x x x ln x +2 设 22 1( 2 2 ) 1 ( )2h x x x x ln x x ， 则 2 2 ( 2 1 ) 1 2 2 ( 2 1 ) 1h x x x ln x x x ln x 当 1( ,0)2x 时， 0, ( )h x h x 在 1 ,0)2 单调递增； 当 (0, )x 时， 0hx ， ()hx 在 (0, ) 单调递减。 1 1 1 2 l n 2( , 0 ) , ( )2 2 4x h x h 当 时 故 22 1 2 2() 4Inf x h x
