1、1、 在半径为 R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为 B。一质量为 m，带有电量 q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径 AD 方向经 P 点（ AP d）射入磁场（不计重力影响）。 如果粒子恰好从 A 点射出磁场，求入射粒子的速度。 如果粒子经纸面内 Q 点从磁场中射出，出射方向与半圆在 Q点切线方向的夹角为 （如图）。求入射粒子的速度。 解： 由于粒子在 P 点垂直射入磁场，故圆弧轨道的圆心在 AP 上， AP 是直径。 设入射粒子的速度为 v1，由洛伦兹力的表达式和牛顿第二定律得： 211/2vm qBvd 解得：1 2qBdv m设 O/是粒子在磁场中圆弧
2、轨道的圆心，连接 O/Q，设 O/Q R/。 由几何关系得： /OQO /OO R R d 由余弦定理得： 2/ 2 2 / /( ) 2 c o sO O R R R R 解得： / ( 2 )2 (1 c o s )d R dR Rd 设入射粒子的速度为 v，由 2/vm qvBR 解出： ( 2 )2 (1 c o s )q B d R dv m R d 2、 （ 17 分） 如图所示，在 xOy 平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于 y 轴向下；在 x 轴和第四象限的射线 OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，方向垂直于纸面向外。有一质量为 m，带有电荷量 +q 的质点
3、由电场左侧平行于 x 轴射入电场。质点到达 x 轴上 A点时，速度方向与 x 轴的夹角为 ， A 点与原点 O 的距离为 d。接着，质点进入磁场，并垂直于 OC 飞离磁场。不计重力影响。若 OC 与 x轴的夹角也为 ，求：质点在磁场中运动速度的大小；匀强电场的场强大小。 解： 质点在磁场中偏转 90，半径qBmvdr sin，得 mqBdv sin ； R A O P D Q R A O P D Q O/ R/ x O y E B A C v 由平抛规律，质点进入电场时 v0=vcos ，在电场中经历时间t=d/v0，在电场中竖直位移 221ta n2 tmqEdh ，由以上各式可得 c o
4、ss in 32m dqBE 3、 如图所示，在第一象限有一均强电场，场强大小为 E，方向与 y 轴平行；在 x 轴下方有一均强磁场，磁场方向与纸面垂直。一质量为 m、电荷量为 -q(q0)的粒子以平行于 x 轴的速度从 y 轴上的 P 点处射入电场，在 x 轴上的Q 点处进入磁场，并从坐标原点 O 离开磁场。粒子在磁场中的运动轨迹与 y 轴交于 M 点。已知 OP=l , lOQ 32 。不计重力。求 （ 1） M 点与坐标原点 O 间的距离； （ 2）粒子从 P 点运动到 M 点所用 的时间。 【解析】 （ 1）带电粒子在电场中做类平抛运动，在 y 轴负方向上做初速度为零的匀加速运动，设加
5、速度的大小为 a ；在 x 轴正方向上做匀速直线运动，设速度为 0v ，粒子从 P 点运动到 Q 点所用的时间为 1t ，进入磁场时速度方向与 x 轴正方向的夹角为 ，则 qEa m 01 2yt a 001xv t 其中 002 3 ,x l y l。又有 10tanatv 联立 式，得 30 因为 M O Q、 、 点在圆周上， =90MOQ，所以 MQ 为直径。从图中的几何关系可知。 23Rl 6MO l （ 2）设粒子在磁场中运动的速度为 v ,从 Q 到 M 点运动的时间为 2t , O y E B A C d h x x y O P Q M v0 则有 0 cosvv 2 Rt v
6、 带电粒子自 P 点出发到 M 点所用的时间为 t 为 12+ t t t 联立 式，并代入数据得 32+ 12 mlt qE 4、 如图所示，在 0xa、 oy2a 2a 范围内有垂直手 xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B。坐标原点 0 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xy平面内，与 y 轴正方向的夹角分布在 0 090 范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 a 2 到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的
7、(1)速度的大小： (2)速度方向 与 y 轴正方向夹角的正弦。 【答案】 （ 1） 6(2 )2 aqBv m （ 2） 6- 6sin = 10 5、 飞行时间质谱仪可以对气体分子进行分析。如图所示，在真空状态下，脉冲阀 P 喷出微量气体，经激光照射产生不同价位的正离子，自 a 板小孔进入 a、 b 间的加速电场，从 b 板小孔射出，沿中线方向进入 M、 N 板间的偏转控制区，到达探测器。已知元电荷电量为 e， a、 b 板间距为 d，极板 M、 N 的长度和间距均为 L。不计离子重力及进入 a 板时的初速度。 当 a、 b 间的电压为 U1 时，在 M、 N 间加上适当的电压 U2，使离
8、子到达探测器。请导出离子的全部飞行时间与比荷 K（ K ne/m）的关系式。 去掉偏转电压 U2，在 M、 N 间区域加上垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度 B，若进入 a、 b 间所有离子质量均为 m，要使所有的离子均能通过控制区从右侧飞出， a、 b 间的加速电压 U1 至少为多少？ 解： 由动能定理： 21 12neU mvn 价正离子在 a、 b 间的加速度 ： 11 neUa md在 a、 b 间运动的时间 ： 1 112vmt a neUd 在 MN 间运动的时间：2 Lt vP S d L L M N a b 探测器 激光束 离子到达探测器的时间： t t1 t2122 KULd
9、假定 n 价正离子在磁场中向 N 板偏转，洛仑兹力充当向心力，设轨迹半径为 R，由牛顿第二定律 得： 2vnevB m R 离子刚好从 N 板右侧边缘穿出时，由几何关系： R2 L2 (R L/2)2 由以上各式得： 221 2532neL BU m当 n 1 时 U1 取最小值 22min 2532eL BU m6、 两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图 1、图 2 所示（规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向）。在 t=0 时刻由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子（不计重力）。若电场强度E0、磁感应强度 B0、粒子的
10、比荷 qm 均已知，且0 02 mt qB，两板间距 2 02010 mEh qB。 （ 1）求粒子在 0 t0 时间内的位移大小与极板间距 h 的比值。 （ 2）求粒子在板板间做圆周运动的最大半径（用 h 表示）。 （ 3）若板间电场强度 E 随时间的变化仍如图 1 所示，磁场的变化改为如图 3 所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图（不必写计算过程）。 解法一：（ 1）设粒子在 0 t0 时间内运动的位移大小为21012s at 0qEa m 又已知 2 00 200102 , mEmthq B q B联立式解得 1 15sh （ 2）粒子在 t02t0 时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方
11、向垂直，所以粒子做匀速圆周运动。设运动速度大小为 v1，轨道半径为 R1，周期为 T，则 10v at 2110 1mvqvB R 联立式得1 5hR 又02 mT qB 即粒子在 t02t0 时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在 2t03t0 时间内，粒子做初速度 为 v1 的匀加速直线运动，设位移大小为 22 1 0 012s v t at 解得2 35sh 由于 s1+s2 h,所以粒子在 3t04t0 时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v2，半径为 R2 2 1 0v v at 22202mvqv B R 11 解得 2 25hR 12 由于 s1+s2+R2 h,粒子恰好又完成一
12、个周期的圆周运动。在 4t05t0 时间内，粒子运动到正极板（如图 1 所示）。因此粒子运动的最大半径2 25hR 。 （ 3）粒子在板间运动的轨迹如图 2 所示。 7、 如图甲所示，建立 Oxy 坐标系，两平行极板 P、 Q 垂直于 y 轴且关于 x 轴对称，极板长度和板间距均为 l。第一、四象限有磁感应强度为 B 的匀强磁场，方向垂直于 Oxy 平面向里。位于极板左侧的粒子源沿 x 轴向右连接发射质量为 m、电量为 +q、速度相同、重力不计的带电粒子。在 03t0 时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极边缘的影响）。已知 t=0 时刻进入两板间的带电粒子恰好在 t0 时刻经极板边缘射入
13、磁场。上述 m、 q、 l、 t0、 B 为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）求电压 U0 的大小。 求 t0/2 时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。 何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。 点评：本题命题点仍为带电粒子在周期性变化的电场和分立的磁场中的运动问题。创新之处在于带电粒子在磁场中的运动情况由于进入磁场的位置不同而有所不 同，这样就造成了运动情况的多样性，从而存在极值问题。很好的考查了考生综合分析问题的能力和具体问题具体y x O B P Q v0 l l 图甲 UPQ t O U0 -U0 t0 2t0 3t0 图乙 分析的能力
14、，同时粒子运动的多样性（不确定性）也体现了对探究能力的考查。 解析： （ 1） 0t 时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动， 0t 时刻刚好从极板边缘射出，在 y 轴负方向偏移的距离为 12l ，则有 0UE l ， Eq ma 201122l at 联立以上三式，解得两极板间偏转电压为 20 20mlU qt 。 （ 2）012t时刻进入两极板的带电粒子，前012t时间在电场中偏转，后012t时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动。 带电粒子沿 x 轴方向的分速度大小为0 0lv t 带电粒子离 开电场时沿 y 轴负方向的分速度大小为012yv a t 带电粒子离开电场时的速
15、度大小为 22xyv v v 设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为 R，则有 2vBvq m R 联立 式解得052 mlR qBt 。 （ 3） 02t 时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短。带电粒子离开磁场时沿 y 轴正方向的分速度为 0yv at ， 设带电粒子离开电场时速度方向与 y 轴正方向的夹角为 ，则 0tan yvv， 联立 式解得 4 ，带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为2 2 ，所求最短时间为 min 14tT ,带电粒子在磁场中运动的周期为 2 mT Bq ，联立以上两式解得min 2mt Bq。 【考点】带电粒子在匀强电场、匀强磁
16、 场中的运动 命题特点：以带电粒子在组合场中的运动为背景，以力学方法在电磁学中的应用为考查重点，通过周期性变化的电场、磁场所导致的带电粒子运动的多样性，很好的体现了对探究能力的考查。连续三年均涉及物理量关系的推导，对文字运算能力要求较高。 演变趋势：对探究能力的考查正逐步由实验题扩展到计算题，且多以对物理量的不确定性及运动的多样性为考查重点。 8、 如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为 d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里。一质量为 m 、带电量 +q、重力不计的带电粒子，以初速度 1v 垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二
17、次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动。已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推。求 粒子第一次经过电场子的过程中电场力所做的功 1W 。 粒子第 n 次经芝电声时电场强度的大小 nE 。 粒子第 n 次经过电场子所用的时间 nt 。 假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零。请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程 ，不要求标明坐标明坐标刻度值）。 【答案】（ 1） 2132mv（ 2） 21(2 1)2n mvqd（ 3）12(2 1)dnv （ 4）见解析 【解析】带电粒子在磁场中
18、做匀速圆周运动，由 2vqvB m r 得 mvrqB则 v1： v2： vn=r1： r2： rn=1： 2： n （ 1）第一次过电场，由动能定理得 2 2 21 2 1 11 1 32 2 2W m v m v m v（ 2） 第 n 次经过电场时，由动能定理得 2211122n n nq E d m v m v解得 21(2 1)2n n mvE qd（ 3）第 n 次经过电场时的平均速度 112122nnn vv nvv ， 则时间为12(2 1)nnddt nvv t O E t O E （ 4）如图 9、 如图所示，直角坐标系 xOy 位于竖直平面内，在水平的 x 轴下方存在匀强
19、磁场和匀强电场，磁场的磁感应为 B,方向垂直 xOy 平面向里，电场线平行于 y 轴 。一质量为 m、电荷量为 q 的带正电的小球，从 y 轴上的 A点水平向右抛出，经 x 轴上的 M 点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从 x 轴上的 N 点第一次离开电场和磁场， MN 之间的距离为 L， 小球过 M 点时的速度方向与 x 轴的方向夹角为 。 不计空气阻力，重力加速度为 g， 求 (1) 电场强度 E 的大小和方向； (2) 小球从 A 点抛出时初速度 v0 的大小； (3) A 点到 x 轴的高度 h. 答案：（ 1） mgq，方向竖直向上 （ 2） cot2qBLm （ 3） 2 2
20、228qBLmg【解析】本题考查平抛运动和带电小球在复合场中的运动。 （ 1）小球在电场、磁场中恰能做匀速圆周运动，说明电场力和重力平衡（恒力不能充当圆周运动的向心力），有 qE mg mgE q 重力的方向竖直向下，电场力方向只能向上，由于小球带正电，所以电场强度方向竖直向上。 （ 2）小球做匀速圆周运动， O为圆心， MN 为弦长， MOP ，如图所示。设半径为 r，由几何关系知 L sin2r 小球做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力白日提供，设小球做圆周运动的速率为 v，有 2mvqvB r 由速度的合成与分解知 0 cosvv 由 式得 0 cot2qBLv m （ 3）设小球到 M 点
21、时的竖直 分速度为 vy，它与水平分速度的关系为 0 tanyvv 由匀变速直线运动规律 2 2v gh 由 式得 2 2 228q B Lh mg x y A O M N v0 O/ P x y A O M N v0 10、 图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小 B=2.010-3T,在 y 轴上距坐标原点 L=0.50m 的 P 处为离子的入射口，在 y 上安放接收器，现将一带正电荷的粒子以 v=3.5104m/s 的速率从 P 处射入磁场，若粒子在 y 轴上距坐标原点 L=0.50m 的 M 处被观测到，且运 动轨迹半径恰好最小，
22、设带电粒子的质量为 m,电量为 q,不记其重力。 （ 1）求上述粒子的比荷 qm ； （ 2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场，就可以使其沿 y 轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场； （ 3）为了在 M 处观测到按题设条件运动的上述粒子，在第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。 答案 （ 1） qm =4.9710 C/kg（或 5.0710 C/kg）； （ 2） 67.9 10ts ； （ 3） 20.25Sm 【解析】本题考查带电粒
23、子在磁场中的运动。第（ 2）问涉及到复合场（速度选择器模型）第（ 3）问是带电粒子在有界磁场（矩形区域）中的运动。 （ 1）设粒子在磁场中的运动半径为 r。如图，依题意 M、 P 连线即为该粒子在磁场中作匀速圆周运动的直 径，由几何关系得 22Lr 由洛伦兹力提供粒子在磁场中作匀速圆周运动的向心力，可得 2vqvB m r 联立 并代入数据得 qm =4.9 710 C/kg（或 5.0 710 C/kg） （ 2）设所加电场的场强大小为 E。如图，当粒子子经过 Q 点时，速度沿 y 轴正方向，依题意，在此时加入沿 x 轴正方向的匀强电场，电场力与此时洛伦兹力平衡，则有 qE qvB 代入数据
24、得 70 /E N C 所加电场的长枪方向沿 x 轴正方向。由几何关系可知，圆弧 PQ 所对应的圆心角为 45，设带点粒子做匀速圆周运动的周期为 T，所求时间为 t，则有 0045360tT 2 rT v 联立 并代入数据得 x y O P M L L 入射口 接收器 x y O P M L L 入射口 接收器 O/ x y O P M L L 入射口 接收器 O/ Q v 450 x y O P M L L 入射口 接收器 O/ P1 M1 67.9 10ts （ 3）如图，所求的最小矩形是 11MMPP ，该区域面积 22Sr 联立 并代入数据得 20.25Sm 矩形如图丙中 11MMPP
25、 （虚线） 11、 如图 1 所示，宽度为 d 的竖直狭长区域内（边界为 12LL、 ），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场（如图 2 所示），电场强度的大小为 0E ， 0E 表示电场方向竖直向上。 0t 时，一带正电、质量为 m 的微粒从左边界上的 1N 点以水平速度 v射入该区域，沿直线运动到 Q 点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的 2N点。 Q 为线段 12NN 的中点，重力加速度为 g。上述 d 、 0E 、 m 、 v 、 g 为已知量。 (1)求微粒所带电荷量 q 和磁感应强度 B 的大小； (2)求电场变化的周期 T ； (3)改变宽度 d ，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求 T 的最小值。 解析： （ 1）微粒作直线运动，则 0mg qE qvB 微粒作圆周运动，则 0mg qE 联立得 0mgq E
