中考专项题集解直角三角形30题,有简有难,各种类型.doc

1、中考题集 -解直角三角形 班级 _姓名 _ 1在 ABC 中， AB=BC=2， ABC=120，将 ABC 绕点 B 顺时针旋转角（ 0 90）得A1BC1， A1B 交 AC 于点 E， A1C1 分别交 AC、 BC 于 D、 F 两点 （ 1）如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论； （ 2）如图 2，当 =30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由； （ 3）在（ 2）的情况下，求 ED 的长 2如图， MON=25，矩形 ABCD 的对角线 AC ON，边 BC 在 OM 上，当 AC=3 时， AD 长是多少？（结果

2、精确到 0.01） 3如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中， ABC 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： （ 1）用签字笔画 AD BC（ D 为格点），连接 CD； （ 2）线段 CD 的长为 ； （ 3）请你在 ACD 的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是 ，则它所对应的正弦函数值是 ； （ 4）若 E 为 BC 中点，则 tan CAE 的值是 4如图，在 ABC 中， C=90，点 D、 E 分别在 AC、 AB 上， BD 平分 ABC， DE AB， AE=6， cosA= 35 求（ 1） DE、 CD 的长；（ 2） tan DBC 的值 5如图，在梯形

3、ABCD 中， AD BC， AC AB， AD=CD， cosB= 513 ， BC=26 求：（ 1） cos DAC 的值； （ 2）线段 AD 的长 6如图，在 ABC 中， C=90， sinA=45 ， AB=15，求 ABC 的周长和 tanA 的值 7已知 MAN， AC 平分 MAN （ 1）在图 1 中，若 MAN=120， ABC= ADC=90，求证： AB+AD=AC； （ 2）在图 2 中，若 MAN=120， ABC+ ADC=180，则（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （ 3）在图 3 中： MAN=60， ABC+ AD

4、C=180，则 AB+AD= AC； 若 MAN=（ 0 180）， ABC+ ADC=180，则 AB+AD= AC（用含的三角函 数表示），并给出证明 8附加题：由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，得 1 sin2ABCS bc A ，即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半 如图，在 ABC 中， CD AB 于 D， ACD=， DCB= S ABC=S ADC+S BDC， 由公式，得 12 ACBCsin（ +） =12 ACCDsin+ 12 BCCDsin， 即 ACBCsin（ +） =ACCDsin +BCCDsin 你能利用直角三角形边角关系，消去中的 A

5、C、 BC、 CD 吗？不能，说明理由；能，写出解决过程 9已知，如图： ABC 是等腰直角三角形， ABC=90， AB=10， D 为 ABC 外一点，边结 AD、 BD，过 D 作 DH AB，垂足为 H，交 AC 于 E （ 1）若 ABD 是等边三角形，求 DE 的长； （ 2）若 BD=AB，且 tan HDB=34 ，求 DE 的长 10已知：如图，在 ABC 中， B=45， C=60， AB=6，求 BC 的长（结果保留根号） 11在锐角 ABC 中， A， B， C 的对边分别是 a， b， c如图所示，过 C 作 CD AB 于 D，则 cosA=ADb ， 即 AD=b

6、cosA BD=c-AD=c-bcosA 在 Rt ADC 和 Rt BDC 中有 CD2=AC2-AD2=BC2-BD2 b2-b2cos2A=a2-（ c-bcosA） 2 整理得： a2=b2+c2-2bccosA 同理可得： b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC 这个结论就是著名的余弦定理，在以上三个等式中有六个元素 a， b， c， A， B， C，若已知其中的任意三个元素，可求出其余的另外三个元素 如：在锐角 ABC 中，已知 A=60， b=3， c=6， 则由（ 1）式可得： a2=32+62-2 3 6cos60 =27 a= 33， B， C

7、则可由式子（ 2）、（ 3）分别求出，在此略 根据以上阅读理解，请你 试着解决如下问题： 已知锐角 ABC 的三边 a， b， c 分别是 7， 8， 9，求 A， B， C 的度数（保留整数） 12已知：如图，在 ABC 中， D 是 AB 边上的一点， BD AD， A= ACD， （ 1）若 A= B=30， BD= 3 ，求 CB 的长； （ 2）过 D 作 CDB 的平分线 DF 交 CB 于 F，若线段 AC 沿着 AB 方向平移，当点 A 移到点 D 时，判断线段 AC 的中点 E 能否移到 DF 上，并说明理由 13如图，在 ABC 中， AD 是 BC 上的高， tanB=c

8、os DAC （ 1）求证： AC=BD； （ 2）若 sin C= 1213 ， BC=12，求 AD 的长 14如图，在直角坐标平面内， O 为原点，点 A 的坐标为（ 10， 0），点 B 在第一象限内， BO=5， sin BOA= 35 求：（ 1）点 B 的坐标；（ 2） cos BAO 的值 15请你画出一个以 BC 为底边的等腰 ABC，使底边上的高 AD=BC （ 1）求 tan B 和 sinB 的值； （ 2）在你所画的等腰 ABC 中，假设底边 BC=5 米，求腰上的高 BE 16如图，在梯形 ABCD 中， AB CD， BCD=90，且 AB=1， BC=2， ta

9、n ADC=2 （ 1）求证： DC=BC； （ 2） E 是梯形内一点， F 是梯形外一点，且 EDC= FBC， DE=BF，试判断 ECF 的形状，并证明你的结论； （ 3）在（ 2）的条件下，当 BE： CE=1： 2， BEC=135时，求 sin BFE 的值 17阅读下列材料，并解决后面的问题 在锐角 ABC 中， A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c过 A 作 AD BC 于 D（如图），则 sinB= ADc , 是 inC= ADb ，即 AD=c sinB， AD=b sinC，于是 c sinB=b sinC， 即 sin sinbcBC ,同理有 sin si

10、ncaCA , sin sinabAB 所以 a sin sin sina b cABc（ *） 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 （ 1）在锐角三角形中，若已知三个元素 a、 b、 A，运用上述结论（ *）和有关定理就可以求出其余三个未知元素 c、 B、 C，请你按照下列步骤填空，完成求解过程： 第一步：由条件 a、 b、 A 用关系式 _求出 B； 第二步：由条件 A、 B 用关系式 _求出 C； 第三步：由条件 _用关系式 _求出 c （ 2）如图，已知： A=60， C=75， a=6，运用上述结论（ *）试求 b 18如图所示，已知：在 ABC 中， A=60， B=

11、45， AB=8 求： ABC 的面积（结果可保留根号） 19如图， ABC 中， ACB=90， AC=BC=1，将 ABC 绕点 C 逆时针旋转角（ 0 90）得到 A1B1C1，连接 BB1设 CB1 交 AB 于 D， Al B1 分别交 AB、 AC 于 E、 F （ 1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（ ABC 与 A1 B1C1全等除外）； （ 2）当 BB1D 是等腰三角形时，求； （ 3）当 =60时，求 BD 的长 20已知：如图，在 ABC 中， AD 是边 BC 上的高， E 为边 AC 的中点， BC=14， AD=12， s

12、inB=45 求：（ 1）线段 DC 的长； （ 2） tan EDC 的值 21如图，已知 BEC 是等边三角形， AEB= DEC=90， AE=DE， AC， BD 的交点为 O （ 1）求证： AEC DEB； （ 2）若 ABC= DCB=90， AB=2 cm，求图中阴影部分的面积 22我们知道，“直角三角形斜边上的高线将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形”用这一方法，将矩形 ABCD 分割成大小不同的七个相似直角三角形按从大到小的顺序编号为至（如图），从而割成一副“三角七巧板”已知线段 AB=1， BAC= （ 1）请用的三角函数表示线段 BE 的长 _； （ 2）图中与线

13、段 BE 相等的线段是 _； （ 3）仔细观察图形，求出中最短的直角边 DH 的长（用的三角函数表示） 23先阅读短文，再解 答短文后面的问题 规定了方向的线段称为有向线段比如，对于线段 AB，规定以 A 为起点， B 为终点，便可得到一条从 A到 B 的有向线段为强调其方向，我们在其终点 B 处画上箭头（如下图 -1）以 A 为起点， B 为终点的有向线段记为 AB （起点字母 A 写在前面，终点字母 B 写在后面）线段 AB 的长度叫做有向线 AB 的长度（或模），记为 | AB |显然，有向线段 AB 和有向线段 BA 长度相同方向不同，它们不是同一条有向线段 对于同一平面内的有向线段，

14、我们可以在该平面建立直角坐标系进行研究（一般情况，直角坐标系的单位长度与有向线段的单位长度相同）比如，以坐标原点 O（ 0， 0）为起点， P（ 3， 0）为终点的有向线段 OP ，其方向与 x 轴正方向相同，长度（或模）是 |OP |=3 问题： （ 1）在如图所示的平面直角坐标系中画出 OA有向线段，使得 OA =32， OA与 x 轴正半轴的夹角是 45，且与 y 轴的负半轴的夹角是 45； （ 2）若有向线段 OB 的终点 B 的坐标为（ 3， 3 ），试求出它的模及它与 x 轴正半轴的夹角； （ 3）若点 M、 A、 P 在同一直线上， | | | | | |MA AP MP成立吗？

15、试画出示意图加以说明（示意图可以不画在平面直角坐标系中） 24如图， ABC 中， BAC=120， AB=AC， BC=4，请你建立适当的直角坐标系，并写出 A， B， C各点的坐标 25已知：如图，在 ABC 中， CAB=120， AB=4， AC=2， AD BC， D 是垂足求 AD 的长 26已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD BC， ABC=90， C=45， BE CD 于点 E， AD=1， CD= 22 求： BE 的长 27已知：如图，在 Rt ABC 中， C=90， ABC=60， BC 长为 3p ， BBl 是 ABC 的平分线交AC 于点 B1，过 B1

16、作 B1 B2 AB 于点 B2，过 B2 作 B2 B3 BC 交 AC 于点 B3，过 B3 作 B3 B4 AB 于点 B4，过 B4 作 B4 B5 BC 交 AC 于点 B5，过 B5 作 B5 B6 AB 于点 B6，无限重复以上操作设 b0=BBl， b1=B1 B2，b2=B2B3， b3=B3B4， b4=B4B5， bn=Bn Bn+1， （ 1）求 b0， b3 的长； （ 2）求 bn 的表达式（用含 p 与 n 的式子表示，其中 n 是正整数） 28在 ABC 中， C=90， A=60，斜边上的高 CD= 3，求 AB 的长 29在矩形纸片 ABCD 中， AB=3

17、 3， BC=6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 P 处，点 D 落在点 Q处， AD 与 PQ 相交于点 H， BPE=30 （ 1） BE 的长为 _， QF 的长为 _； （ 2）四边形 PEFH 的面积为 _ 30如图，在 ABC 中， B=60， BA=24cm， BC=16cm现有动点 P 从点 A 出发，沿射线 AB 向点 B运动；动点 Q 从点 C 出发，沿射线 CB 向点 B 运动，如果点 P 的速度是 4cm/s，点 Q 的速度是 2cm/s，它们同时出发，运动时间为 t 秒，求： （ 1）当 t 为何值时， PBQ 的面积是 ABC 的面积的一半； （ 2）在第（ 1）问的前提下， P， Q 两点之间的距离是多少？