1、 x A O Q P B y 图（ 3） A B C O E F A B C O D 图（ 1） A B O E F C 图（ 2） 动点问题题型方法归纳 动态几何特点 -问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、 图形的 特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型 作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 一、 三角形边上动点 1、 直线 3 64yx 与坐标轴分别交于
2、 AB、 两点，动点 PQ、 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O B A 运动 （ 1）直接写出 AB、 两点的坐标； （ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式； （ 3）当 485S 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O P Q、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标 提示 ：第（ 2）问按点 P到拐点 B所有 时间分段分类 ； 第（ 3）问 是 分类讨论 ：已知三定点 O、 P、 Q ， 探究第四点构成 平行四边形时按已知线段身份
3、不同 分类 - OP 为边、 OQ 为边， OP 为边、 OQ 为对角线， OP为对角线、 OQ为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。 2、 如图， AB 是 O 的直径，弦 BC=2cm， ABC=60 （ 1）求 O 的直径； （ 2）若 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时， CD 与 O 相切； （ 3）若动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为 )20)( tst ，连结 EF，当 t 为何值时， BEF 为直角三角形 提示 ：第（ 3）问
4、按直角位置分类讨论 3、 如图，已知抛物线 33)1( 2 xay （ 0a ） 经过点 ( 2 )A， 0 ，抛物线的顶点为 D ，过 O 作射线 OM AD 过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线 OM 于点 C ， B 在 x 轴正半轴上，连结 BC x y M C D P Q O A B P Q A B C D （ 1）求该抛物线的解析式； （ 2）若动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 OM 运动，设点 P 运动的时间为 ()ts问当 t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （ 3）若 OC OB ，动点 P 和动点 Q 分别从
5、点 O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们 的运动的时间为 t ()s ，连接 PQ ，当 t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长 提示 ：发现并充分运用特殊角 DAB=60 当 OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。 二、 特 殊 四边形边上动点 4、（ 2009 年 吉林省 ） 如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米， 60B 从初始时刻开始，点 P 、 Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A C B的方
6、向 运动，点 Q 以 2 厘米 /秒的速度沿 A B C D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停止运动，设 P 、 Q 运动的时间为 x 秒时， APQ 与 ABC 重叠部分 的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O 的三角形），解答下列问题： （ 1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 秒； （ 2）点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时 x 的值是 秒； （ 3）求 y 与 x 之间的函数关系式 提示 ： 第 (3)问按 点 Q 到拐点时间 B、 C所有时间 分段分 类 ； 提醒 - 高相等 的两个 三角形面积比
7、等于底边的比 。 5、 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（ 3 ， 4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M， AB 边交 y 轴于点 H （ 1）求直线 AC 的解析式； （ 2）连接 BM，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点 C 匀速运动，设 PMB的面积为 S（ 0S ），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）； （ 3）在（ 2）的条件下，当 t 为何值时 ， MPB 与 BCO 互为余角，并求
8、此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值 O M B H A C x y 图（ 1） O M B H A C x y 图（ 2） 提示 ：第（ 2）问按点 P到 拐点 B所用时间 分段分类 ； 第（ 3）问发现 MBC=90， BCO 与 ABM互余， 画出点 P运动过程中， MPB= ABM 的两种情况， 求出 t 值。利用 OB AC,再求 OP 与 AC夹角正切值 . 6、 如图，在平面直角坐标系中，点 A( 3 ， 0)， B(3 3 ， 2)， C（ 0， 2)动点 D 以每秒 1 个单位的速度 从点 0 出发沿OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点
9、 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E作 EF上 AB，交 BC于点 F，连结 DA、 DF设运动时间为 t 秒 (1)求 ABC 的度数； (2)当 t 为何值时， ABDF ； (3)设四边形 AEFD 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式； 若一抛物线 y=x2+mx经过动点 E，当 S2 3 时，求 m的取值范围 (写出答案即可 ) 提示 ：发现特殊性， DE OA 7、已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，且 AOC=60，点 B的坐标是 (0,8 3) ，点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B移动， 同时，点 Q
10、 从点 O 开始以每秒 a（ 1 a 3）个单位长度的速度沿射线 OA方向移动， 设 (0 8)tt 秒后，直线 PQ 交 OB于点 D. （ 1）求 AOB 的度数及线段 OA的长； （ 2）求经过 A， B， C 三点的抛物线的解析式； （ 3）当 43, 33a OD时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式； （ 4）当 a 为何值时，以 O， P， Q， D 为顶点的三角形与 OAB 相似？当a 为何值时，以 O， P， Q， D 为顶点的三角形与 OAB 不相似？请给出你的结论，并加以证明 . 8、已知：如图，在直角梯形 COAB 中， OC AB ，以 O 为原点建立平面直角坐标
11、系， A B C， ， 三点的坐标分别为 (8 0 ) (8 1 0 ) (0 4 )A B C， ， ， ， ，点 D 为线段 BC 的中点，动点 P 从点 O 出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 OABD 的路线移动，移动的时间为 t 秒 （ 1）求直线 BC 的解析式； （ 2）若动点 P 在线段 OA上移动，当 t 为何值时，四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB 面积的 27 ？ （ 3）动点 P 从点 O 出发，沿折线 OABD 的路线移动过程中，设 OPD 的面积为 S ，请直接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围； （ 4）当动点 P 在线段 AB
12、 上移动时，能否在线段 OA上找到一点 Q ，使四边形 CQPD 为矩形？请求出此时动点 P 的坐标；若不能，请说明理由 B A C D P O Q x y y O x C N B P M A 9、如图 ,在平面直角坐标系 xoy中 ,抛物线 214 1018 9y x x 与 x 轴的交点为点 A,与 y轴的交点为点 B. 过点 B作 x轴的平行线 BC,交抛物线于点 C,连结 AC现有两动点 P,Q 分别从 O,C 两点同时出发 ,点 P 以每秒 4 个单位的速度沿OA向终点 A移动 ,点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 CB 向点 B 移动 ,点 P 停止运动时 ,点 Q 也同时停止运动
13、 ,线段 OC,PQ相交于点 D,过点 D 作 DE OA,交 CA 于点 E,射线 QE交 x轴于点 F设动点 P,Q移动的时间为 t(单位 :秒 ) (1)求 A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标 ; (2)当 t 为何值时 ,四 边形 PQCA 为平行四边形 ?请写出计算过程 ; (3)当 0 t 92 时 , PQF的面积是否总为定值 ?若是 ,求出此定值 , 若不是 ,请说明理由 ; (4)当 t 为何值时 , PQF为等腰三角形 ?请写出解答过程 提示 ：第（ 3）问用相似比的代换，得 PF=OA（ 定值 ） 。 第（ 4）问按 哪两 边 相等 分类讨论 PQ=PF, PQ=
14、FQ, QF=PF. 三、 直线上动点 8、如图，二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象与 x 轴交于 AB、两点，与 y 轴相交于点 C 连结 AC BC A C、 ， 、 两点的坐标分别为( 30)A， 、 (0 3)C ， ，且当 4x 和 2x 时二次函数的函数值 y 相等 （ 1）求实数 a b c， ， 的值； （ 2）若点 MN、 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA BC、 边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动当运动时间为 t 秒时，连结 MN ，将 BMN 沿 MN 翻折， B 点恰好落在 AC 边上的 P 处，求 t 的值
15、及点 P 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ，使得以 B N Q， ， 为项点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 提示 ：第（ 2）问 发现 特殊角 CAB=30 , CBA=60 特殊图形四边形 BNPM 为菱形； 第 (3)问 注意到 ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类； 先画出与 ABC 相似的 BNQ ，再判断 是否在对称轴上。 9、） 如图，已知直线 1 12yx与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线A B D C O P x y A B D C O x y （ 此题备用 ）
16、212y x bx c 与直线交于 A、 E 两点，与 x 轴交于 B、 C 两点，且 B 点坐标为 (1， 0)。 求该抛物线的解析式； 动点 P 在 x 轴上移动，当 PAE 是直角三角形时，求点 P 的坐标 P。 在抛物线的对称轴上找一点 M，使 |AM MC 的值最大，求出点 M 的坐标。 提示 ： 第（ 2）问 按直角位置 分类讨论后画出图形 - P为直角顶点 AE 为斜边时，以 AE为直径画圆与 x 轴交点即为所求点 P， A为直角顶点时，过点 A 作 AE垂线交 x轴于点 P， E为直角顶点时，作法同 ； 第（ 3）问， 三角形两边之差小于第三边，那么等于第 三边时差值 最大。
17、10、 如图，正方形 ABCD 中，点 A、 B 的坐标分别为（ 0， 10），（ 8， 4）， 点 C 在第一象限动点 P 在正方形 ABCD 的边上，从点 A 出发沿 A B C D 匀速运动，同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动，当 P 点到达 D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为 t 秒 (1)当 P 点在边 AB 上运动时，点 Q 的横坐标 x （长度单位）关于运动时间 t（秒）的函数图象如图所示，请写出点 Q开始运动时的坐标及点 P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点 C 的坐标； (3)在（ 1）中当 t 为何值时， OPQ 的面积最大，并求此时 P 点的坐标
18、； (4)如果点 P、 Q 保持原速度不变，当点 P 沿 A B C D 匀速运动时， OP 与 PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由 提示 ：第（ 4）问按点 P分别 在 AB、 BC、 CD边上分类讨论 ；求 t值时， 灵活运用等腰三角形“三线合一”。 11、如图，在平面直角坐标系 xOy 中 ， ABC 三个顶点的坐标分别为 6,0A ， 6,0B ， 0,4 3C ，延长 AC 到点 D,使 CD= 12AC ,过点 D 作 DE AB 交 BC 的延长线于点 E. （ 1）求 D 点的坐标； （ 2）作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 D
19、F、 EF，若过 B 点的直线 y kx b将四边形 CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式； （ 3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达G 点，再沿 GA 到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短。（要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明） 提示：第（）问，平分周长时，直线过菱形的中心； 第（）问，转化为点到的距离加到（）中直线的距离和最小；发现（）中直线A D P C B Q 图 1 D A P
20、C B （ Q） ） 图 2 图 3 C A D P B Q 与轴夹角为 .最短路线问题 12、已知 ABC=90， AB=2， BC=3， AD BC， P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足 ABADPCPQ （如图 1所示）（ 1）当 AD=2，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示），求线段 PC 的长； （ 2）在图 8 中，联结 AP当 32AD ，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 BQ、 之间的距离为 x ， APQPBCS yS ，其中 APQS 表示 APQ 的面积， PBCS 表示 PBC 的面积，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数定义域
21、； （ 3）当 AD AB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示），求 QPC 的大小 提示 ：第（ 2） 问， 求动态问题中的变量取值范围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值范围。 当 PC BD时， 点 Q、 B 重合， x 获得最小值； 当 P与 D重合时， x 获得最大值。 第（ 3）问， 灵活运用 SSA判定两三角形相似， 即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两个三角形相似； 或者 用同一法；或者证 BQP BCP，得 B、 Q、 C、 P 四点共圆 也可求解 。 13、 如图，在 RtABC
22、中， AB AC， P 是边 AB（含端点）上的动点过 P作 BC 的垂线 PR， R 为垂足， PRB 的平分线与 AB 相交于点 S， 在线段 RS 上存在一点 T，若 以线段 PT 为一边作正方形 PTEF，其顶点 E， F 恰好分别在边 BC， AC 上 （ 1） ABC 与 SBR 是否相似，说明理由； （ 2）请你探索线段 TS 与 PA 的长度之间的关系； （ 3）设边 AB 1，当 P 在边 AB（含端点）上运动时，请你探索正方形 PTEF 的面积 y的最小值和最大值 提示：第（ 3）问， 关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形； 当 p 运动到使 T 与 R 重合时，PA=
23、TS 为最大；当 P 与 A 重合时， PA 最小。 此问与上题中求取值范围类似。 (第 13 题 ) TPSREABC FA C B P Q E D 14、 如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC = 3， AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点
24、 P 也 随之停止设点 P、 Q 运动的时间是 t 秒（ t 0） （ 1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （ 2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （ 4）当 DE 经过点 C 时，请 直接 写出 t 的值 提示： （） 按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出 t 值；有二 种成立的情形，； （） 按点 P 运动方向分类，按要求画出图形再结合
25、图形性质求出 t 值；有二种情形， t 时， 时 15、 已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象经过点 (10)A， ， (20)B， ， (0 2)C ， ，直线 xm （ 2m ）与 x轴交 于点 D （ 1）求二次函数的解析式； （ 2）在直线 xm （ 2m ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以 A O C、 、 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）； O y x B E A D C F （ 3）在（ 2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请求出 m
26、 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由 提示：第（ 2）问， 按对应锐角不同 分类讨 论， 有两种情形； 第（ 3）问，四边形 ABEF 为平行四边形时， E、 F 两点纵坐标相等 ，且 AB=EF，对第（ 2）问中两种情形分别讨论 。 四、 抛物线上动点 16、如图， 已知抛物线 32 bxaxy （ a 0）与 x 轴交于点 A(1， 0)和点 B ( 3， 0)，与 y 轴交于点 C (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请
27、说明理由 (3) 如图 ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、 CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标 注意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置 分类讨论 画图再由图形性质求点 P坐标 - C为顶点时，以 C为圆心 CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P， M为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P， P为顶点时， 线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。 第（ 3）问方法一，先写出面积函数 关系式 ，再求最大值 （涉及二次函数最值） ； 方 法二， 先求 与 BC 平行且与抛物线相切 点 的坐标（涉及简单二元二次
28、方程组） ，再求面积。 17、 正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中， A 在 x 轴正半轴上， D 在 y 轴的负半轴上， AB 交 y 轴正半轴于E BC， 交 x 轴负半轴于 F ， 1OE ，抛物线 2 4y ax bx 过 A D F、 、 三点 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2） Q 是抛物线上 DF、 间的一点，过 Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ，交 BC 所在直线于 N ，若 32FQNAFQMSS 四 边 形，则判断四边形 AFQM 的形状； （ 3）在射线 DB 上是否存在动点 P ，在射线 CB 上是否存在动点 H ，使得AP PH 且 AP PH ，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由 注意：第（ 2）问，发现 并利用好 NM FA 且 NM FA; 第（ 3）问， 将此问题分离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需 分类讨论，先画出合适的图形，再证明。
