1、 数学难题 一填空题（共 2小题） 1如图，矩形纸片 ABCD 中， AB= ， BC= 第一次将纸片折叠，使点 B与点 D 重合，折痕与 BD 交于点O1； O1D 的中点为 D1，第二次将纸片折叠使点 B与点 D1 重合，折痕与 BD 交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B与点 D2 重合，折痕与 BD 交于点 O3， 按上述方法折叠，第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 On，则 BO1= _ ， BOn= _ 2如图，在平面直角坐标系 xoy 中， A（ 3， 0）， B（ 0， 1），形状相 同的抛物线 Cn（ n=1， 2， 3， 4， ）的顶点在直线
2、 AB 上，其对称轴与 x 轴的交点的横坐标依次为 2， 3， 5， 8， 13， ，根据上述规律，抛物线 C2 的顶点坐标为 _ ；抛物线 C8 的顶点坐标为 _ 二解答题（共 28小题） 3已知：关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+2 k=0（ k1） （ 1）求证：方程总有两个实数根； （ 2）当 k 取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数 4已知：关于 x 的方程 kx2+（ 2k 3） x+k 3=0 （ 1）求证：方程总有实数根； （ 2）当 k 取哪些整数时，关于 x 的方程 kx2+（ 2k 3） x+k 3=0 的两个实数根均为负整数？ 5在平面直角坐标系中，将直线 l：
3、 沿 x 轴翻折，得到一条新直线与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，将抛物线 C1： 沿 x 轴平移，得到一条新抛物线 C2 与 y 轴交于点 D，与直线 AB 交于点 E、点 F （ 1）求直线 AB 的解析式； （ 2）若线段 DF x 轴，求抛物线 C2 的解析式； （ 3）在（ 2）的条件下，若点 F 在 y 轴右侧，过 F 作 FH x 轴于点 G，与直线 l 交于点 H，一条直线 m（ m 不过 AFH的顶点）与 AF 交于点 M，与 FH交于点 N，如 果直线 m 既平分 AFH 的面积，又平分 AFH的周长，求直线 m的解析式 6已知：关于 x 的一元二次方程 x2+（
4、 m+4） x 4m=0，其中 0 m 4 （ 1）求此方程的两个实数根（用含 m 的代数式表示）； （ 2）设抛物线 y= x2+（ m+4） x 4m 与 x 轴交于 A、 B两点（ A在 B的左侧），若点 D 的坐标为（ 0， 2），且ADBD=10，求抛物线的解析式； （ 3）已知点 E（ a， y1）、 F（ 2a， y2）、 G（ 3a， y3）都在（ 2）中的抛物线上，是否存在含有 y1、 y2、 y3，且与 a 无关的等式？如果存在，试写出 一个，并加以证明；如果不存在，说明理由 7点 P 为抛物线 y=x2 2mx+m2（ m 为常数， m 0）上任一点，将抛物线绕顶点 G逆
5、时针旋转 90后得到的新图象与 y 轴交于 A、 B两点（点 A在点 B的上方），点 Q 为点 P 旋转后的对应点 （ 1）当 m=2，点 P 横坐标为 4 时，求 Q点的坐标； （ 2）设点 Q（ a， b），用含 m、 b 的代数式表示 a； （ 3）如图，点 Q 在第一象限内，点 D在 x 轴的正半轴上，点 C 为 OD 的中点， QO 平分 AQC， AQ=2QC，当 QD=m时，求 m 的值 8关于 x 的一元二次方程 x2 4x+c=0 有 实数根，且 c 为正整数 （ 1）求 c 的值； （ 2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2 4x+c 与
6、 x 轴交于 A、 B两点（ A在 B左侧），与 y 轴交于点 C点 P 为对称轴上一点，且四边形 OBPC 为直角梯形，求 PC 的长； （ 3）将（ 2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点 D 的坐标为（ m， n），当抛物线与（ 2）中的直角梯形 OBPC只有两个交点，且一个交点在 PC 边上时，直接写出 m 的取值范围 9如图，已知 AD 为 ABC 的角平分线， EF 为 AD 的垂直平分线求证： FD2=FBFC 10如图， AD 是 ABC 的角平分线， EF 是 AD 的垂直平分线 求证：（ 1） EAD= EDA （ 2） DF AC （ 3） EAC= B 11已知：关于
7、 x 的一元二次方程（ m 1） x2+（ m 2） x 1=0（ m 为实数） （ 1）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围； （ 2）在（ 1）的条件下，求证：无论 m 取何值，抛物线 y=（ m 1） x2+（ m 2） x 1 总过 x 轴上的一个固定点； （ 3）关于 x 的一元二次方程（ m 1） x2+（ m 2） x 1=0 有两个不相等的整数根，把抛物线 y=（ m 1） x2+（ m 2） x 1 向右平移 3 个单位长度，求平移后的解析式 12已知 ABC，以 AC 为边在 ABC 外作等腰 ACD，其中 AC=AD （ 1）如图 1，若 DAC=2 ABC，
8、AC=BC，四边形 ABCD 是平行四边形，则 ABC= _ ； （ 2）如图 2，若 ABC=30， ACD 是等边三角形， AB=3， BC=4求 BD 的长； （ 3）如图 3，若 ACD 为锐角，作 AH BC 于 H当 BD2=4AH2+BC2 时， DAC=2 ABC 是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论 13 已知关于 x 的方程 mx2+（ 3 2m） x+（ m 3） =0，其中 m 0 （ 1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （ 2）设方程的两个实数根分别为 x1， x2，其中 x1 x2，若 ，求 y 与 m 的函数关系式； （ 3）在（ 2）的条
9、件下，请根据函数图象，直接写出使不等式 y m 成立的 m 的取值范围 14已知：关于 x 的一元二次方程 x2+（ n 2m） x+m2 mn=0 （ 1）求证：方程 有两个实数根； （ 2）若 m n 1=0，求证：方程 有一个实数根为 1； （ 3）在（ 2）的条件下，设方程 的另一个根为 a当 x=2 时，关于 m 的函数 y1=nx+am 与 y2=x2+a（ n 2m） x+m2 mn 的图象交于点 A、 B（点 A在点 B的左侧），平行于 y 轴的直线 L 与 y1、 y2 的图象分别交于点 C、 D当 L 沿AB 由点 A平移到点 B时，求线段 CD 的最大值 15如图，已知抛
10、物线 y=（ 3 m） x2+2（ m 3） x+4m m2 的顶点 A在双曲线 y= 上，直线 y=mx+b 经过点 A，与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C （ 1）确定直线 AB 的解析式； （ 2）将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90，与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，求 sin BDE 的值； （ 3）过点 B作 x 轴的平行线与双曲线交于点 G，点 M 在直线 BG 上，且到抛物线的对称轴的距离为 6设点 N 在直线 BG 上，请直接写出使得 AMB+ ANB=45的点 N 的坐标 16如图， AB 为 O 的直径， AB=4，点 C 在 O 上， CF OC，
11、且 CF=BF （ 1）证明 BF 是 O 的切线； （ 2）设 AC 与 BF 的延长线交于点 M，若 MC=6，求 MCF 的大小 17如图 1，已知等边 ABC 的边长为 1， D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 AC 边上的点（均不与点 A、 B、 C 重合），记 DEF 的周长为 p （ 1）若 D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 AC 边上的中点，则 p= _ ； （ 2）若 D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 AC 边上任意点，则 p 的取值范围是 _ 小亮和小明对第（ 2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将 ABC 以 AC 边为轴翻折一次得 AB1
12、C，再将 AB1C 以 B1C 为轴翻折一次得 A1B1C，如图 2 所示则由轴对称的性质可知， DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得 pDD2老师听了后说： “你的想法很好，但 DD2 的长度会因点 D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要 的结果 ”小明接过老师的话说： “那我们继续再翻折 3 次就可以了 ”请参考他们的想法，写出你的答案 18已知关于 x 的方程 x2（ m 3） x+m 4=0 （ 1）求证：方程总有两个实数根； （ 2）若方程有一个根大于 4 且小于 8，求 m 的取值范围； （ 3）设抛物线 y=x2（ m 3） x+m 4 与 y 轴交于点 M
13、，若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线 y= x 的对称点恰好是点 M，求 m 的值 19在 Rt ABC 中， ACB=90， tan BAC= 点 D 在边 AC 上（不与 A， C 重合），连接 BD， F 为 BD 中点 （ 1）若过点 D 作 DE AB 于 E，连接 CF、 EF、 CE，如图 1 设 CF=kEF，则 k= _ ； （ 2）若将图 1 中的 ADE 绕点 A旋转，使得 D、 E、 B三点共线，点 F 仍为 BD 中点，如图 2 所示求证： BEDE=2CF； （ 3）若 BC=6，点 D 在边 AC 的三等分点处，将线段 AD 绕点 A旋转，点 F 始终为 BD
14、中点，求线段 CF 长度的最大值 20我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点例如：如图 1，平行四边形 ABCD 中，可证点 A、 C 到 BD 的距离相等，所以点 A、 C 是平行四边形 ABCD 的一对等高点，同理可知点 B、 D 也是平行四边形 ABCD 的一对等高点 （ 1）如图 2，已知平行四边形 ABCD，请你在图 2 中画出一个只有一对等高点的四边形 ABCE（要求：画出必要的辅助线）； （ 2）已知 P 是四边形 ABCD 对角线 BD 上任意一点（不与 B、 D 点重合），请分别探究图 3、图 4 中 S
15、1， S2， S3，S4 四者之间的等量关系（ S1， S2， S3， S4分别表示 ABP， CBP， CDP， ADP 的面积）： 如图 3，当四边形 ABCD 只有一对等高点 A、 C 时，你得到 的一个结论是 _ ； 如图 4，当四边形 ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论是 _ 21已知：关于 x 的一元一次方程 kx=x+2 的根为正实数，二次函数 y=ax2 bx+kc（ c0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标为 1 （ 1）若方程 的根为正整数，求整数 k 的值； （ 2）求代数式 的值； （ 3）求证：关于 x 的一元二次方程 ax2 bx+c=0 必有两个不相等的实数根
16、 22已知抛物线经过点 A（ 0， 4）、 B（ 1， 4）、 C（ 3， 2），与 x 轴正半轴交于点 D （ 1）求此抛物线的解析式及点 D 的坐标； （ 2）在 x 轴上求一点 E，使得 BCE 是以 BC 为底边的等腰三角形； （ 3）在（ 2）的条件下，过线段 ED 上动点 P 作直线 PF BC，与 BE、 CE 分别交于点 F、 G，将 EFG 沿 FG翻折得到 EFG设 P（ x， 0）， EFG 与四边形 FGCB重叠部分的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 23已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象分别经过点（ 0， 3），（ 3， 0），
17、（ 2， 5）求： （ 1）求这个二次函数的解析式； （ 2）求这个二次函数的最值； （ 3） 若设这个二次函数图象与 x 轴交于点 C， D（点 C 在点 D 的左侧），且点 A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点 B，使 ACB是等腰三角形，求出点 B的坐标 24根据所给的图形解答下列问题： （ 1）如图 1， ABC 中， AB=AC， BAC=90， AD BC 于 D，把 ABD 绕点 A旋转，并拼接成一个与 ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图； （ 2）如图 2， ABC 中， AB=AC， BAC=90，请你设计一种与（ 1）不同的方法，将这个三角形拆分
18、并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个 三角形得到的正方形； （ 3）设计一种方法把图 3 中的矩形 ABCD 拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形 ABCD 的面积的结论 25例如图 ，平面直角坐标系 xOy 中有点 B（ 2， 3）和 C（ 5， 4），求 OBC 的面积 解：过点 B作 BD x 轴于 D，过点 C 作 CE x 轴于 E依题意，可得 S OBC=S 梯形 BDEC+S OBD S OCE = = （ 3+4） （ 5 2） + 23 54=3.5 OBC 的面积为 3.5 （ 1）如图 ，若 B
19、（ x1， y1）、 C（ x2， y2）均为第一象限的点， O、 B、 C 三点不在同一条直线上仿照例题的解法，求 OBC 的面积（用含 x1、 x2、 y1、 y2 的代数式表示）； （ 2）如图 ，若三个点的坐标分别为 A（ 2， 5）， B（ 7， 7）， C（ 9， 1），求四边形 OABC 的面积 26阅读： 按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时， 我们称这样的几何变换为正交变换 问题 1：我们学习过的平移、 _
20、、 _ 变换都是正交变换 如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转 n （ 0 n360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的 n 度旋转变换特别地，具有 180旋转变换的图形称为中心对称图形 例如，图 A中奔驰车标示意图具有 120， 240， 360的旋转变换 图 B的几何图形具有 180的旋转变换，所以它是中心对称图形 问题 2：图 C 和图 D 中的两个几何图形具有 n 度旋转变换，请 分别写出 n 的最小值 答：（图 C） _ ； 答：（图 D） _ 问题 3：如果将图 C 和图 D 的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有 n 度旋转变换，则 n 的最小值
21、为 _ 问题 4：请你在图 E 中画出一个具有 180旋转变换的正多边形（要求以 O 为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上） 27已知：点 P 为线段 AB 上的动点（与 A、 B两点不重合）在同一平面内，把线段 AP、 BP 分别折成 CDP、 EFP，其中 CDP= EFP=90，且 D、 P、 F 三点共线， 如图所示 （ 1）若 CDP、 EFP 均为等腰三角形，且 DF=2，求 AB 的长； （ 2）若 AB=12， tan C= ，且以 C、 D、 P 为顶点的三角形和以 E、 F、 P 为顶点的三角形相似，求四边形 CDFE的面积的最小值 28在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线
22、 y= x+ 交 x 轴于点 C，交 y 轴于点 A等腰直角三角板 OBD 的顶点 D 与点 C 重合，如图 A所示把三角板绕着点 O 顺时针旋转，旋转角度为 （ 0 180），使 B点恰好落在 AC 上的 B处，如图 B所示 （ 1）求图 A中的点 B的坐标； （ 2）求 的值； （ 3）若二次函数 y=mx2+3x 的图象经过（ 1）中的点 B，判断点 B是否在这条抛物线上，并说明理由 29已知：如图， AC 是 O 的直径， AB 是弦， MN 是过点 A的直线， AB 等于半径长 （ 1）若 BAC=2 BAN，求证： MN 是 O 的切线 （ 2）在（ 1）成立的条件下，当点 E 是
23、 的中点时，在 AN 上截取 AD=AB，连接 BD、 BE、 DE，求证： BED是等边三角形 30在一个夹角为 120的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于 B、 C 两点如果用带刻度的直尺测量圆 形容器的直径，发现直尺的长度不够 （ 1）写出此图中相等的线段 （ 2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法（写出主要解题过程） 2012年初中难题数学组卷 参考答案与试题解析 一填空题（共 2小题） 1如图，矩形纸片 ABCD 中， AB= ， BC= 第一次将纸片折叠，使点 B与点 D 重合，折痕与 BD 交于点O1； O1D 的中点为 D1，第二次将纸
24、片折叠使点 B与点 D1 重合，折痕与 BD 交于点 O2；设 O2D1的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B与点 D2 重合，折痕与 BD 交于点 O3， 按上述方法折叠 ，第 n 次折叠后的折痕与 BD 交于点 On，则 BO1= 2 ， BOn= 考点 ： 翻折变换（折叠问题）；矩形的性质。 1077676 专题 ： 规律型。 分析： （ 1）结合图形和已知条件，可以推出 BD 的长度，根据轴对称的性质，即可得出 O1 点为 BD 的中点，很容易就可推出 O1B=2； （ 2）依据第二次将纸片折叠使点 B与点 D1 重合，折痕与 BD 交于点 O2， O1D 的中点为 D1，可以推出O2D1=BO2= = ；以此类推，即可推出： BOn= 解答： 解： 矩形纸片 ABCD 中， ， BD=4， （ 1）当 n=1 时， 第一次将纸片折叠，使点 B与点 D 重合，折痕与 BD 交于点 O1， O1D=O1B=2， BO1=2= ； （ 2）当 n=2 时， 第二次将纸片折叠使点 B与点 D1 重合，折痕与 BD 交于点 O2， O1D 的中点为 D1， O2D1=BO2= = = ， 设 O2D1 的中点为 D2，第三次将纸片折叠使点 B与点 D2重合，折痕与 BD 交于点 O3，
