1、 高中 数 学经典例题 、错题详解 丹东市第一中学高一十六班 数 学 2 【例 1】 设 M= 1、 2、 3， N= e、 g、 h，从 M 至 N 的四种对应方式，其中是从 M到 N 的映射是（ ） M NAM NBM NCM ND123egh123egh123egh123egh映射 的概念 :设 A、 B 是两个 集合 ，如果按照某一个确定的对应关系 f，是对于集合A中的每一个元素 x，在集合 B中都有一个确定的元素 y与之对应，那么就称对应 f： A B为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 函数的概念：一般的设 A、 B 是两个 非空数集 ，如果按照某种对应法则 f，对于 集合 A
2、中的每一个元素 x，在集合 B 中都有唯一的元素 y 和它对应，这样的对应叫集合 A到集合 B 的一个函数。（ 函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应 ） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个 非空数集 上的特殊对应；而映射是建立在两个 任意集合 上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的 共同 特点 ： 1 可以是 “一对一 ”； 2 可以是 “多对一 ”； 3不能 “一对多 ”； 4 A 中不能有剩余元素； 5 B 中可以有剩余元素。 映射的特点：（ 1）多元性：映射中的两个非空
3、集合 A、 B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（ 2）方向性：映射是有方向的， A 到 B 的映射与 B 到 A 的映射往往不是同一个映射；（ 3）映射中集合 A 的每一个元素在集合 B 中都有它的象，不要求B 中的每一个元素都有原象；（ 4）唯一性：映射中集合 A 中的任一元素在集合 B 中的象都是唯一的；（ 5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选 C 【分 析】 根据映射的特点 3 不能 “一对多 ”，所以 A、 B、 D 都错误；只有 C 完全满足映射与函数（特殊对应）的全部 5 个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例
4、2】 已知集合 A=R， B=(x、 y) x、 y R,f 是从 A 到 B 的映射 fx： （ x+1、 x2） ,（ 1） 求 2 在 B 中的对应元素；（ 2）（ 2、 1）在 A 中的对应元素 【 分析 】 （ 1） 将 x= 2 代入对应关系，可得其在 B 中的对 应元素为（ 2 +1、 1） ；（ 2） 由题意得： x+1=2,x2=1 得出 x=1， 即（ 2、 1）在 A 中的对应元素为 1 【例 3】 设集合 A=a、 b， B=c、 d、 e，求：（ 1）可建立从 A 到 B 的映射个数（ ）；（ 2）可建立从 B 到 A 的映射个数（ ） 【分析】 如果集合 A 中有
5、m 个元素，集合 B 中有 n 个元素，则集合 A 到集合 B的映射共有 nm 个；集合 B 到集合 A 的映射共有 mn 个，所以答案为 23=9； 32=8 丹东市第一中学高一十六班 数 学 3 【例 4】 若函数 f(x)为奇函数，且当 x 0 时， f(x)=x-1,则当 x 0 时，有（ ） A、 f(x) 0 B、 f(x) 0 C、 f(x)f(-x)0 D、 f(x)-f(-x) 0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称 ； 2、满足 f(-x) = - f(x) ； 3、关于原点对称的区间上单调性一致 ； 4、如果奇函数在 x=0 上有定义 ,那么有 f(0)=0； 5、定义域
6、关于原点对称（奇偶函数共有的） 偶函数性质： 1、 图象关于 y 轴对称 ； 2、满足 f(-x) = f(x) ； 3、关于原点对称的区间上单调性相反 ； 4、如果一个函数既 是奇函数有是偶函数 ,那么有 f(x)=0； 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 基本性质： 唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为 0 的常数函数 (即对所有 x， f(x)=0)。 通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如 x + x2。 两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。 两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。 两个偶函数的乘积
7、为一个偶函数。 两个奇函数的乘积为一个偶函数。 一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。 两个偶函数的商为 一个偶函数。 两个奇函数的商为一个偶函数。 一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。 一个偶函数的导数为一个奇函数。 一个奇函数的导数为一个偶函数。 两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。 一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数 【分析】 f(x)为奇函数，则 f(-x) = -f(x)， 当 X 0 时， f(x) = -f(-x) = -(-x) 1 = -x+10,所以 A 正确 ， B 错误 ； f(x)f(-x)=（ x-1）（ -x+1） 0，故
8、C 错误； f(x)-f(-x)= （ x-1） -（ -x+1） 0,故 D 错误 【例 5】 已知函数 f(x)是偶函数，且 x 0 时， f(x)= xx11 ，求：（ 1） f(5)的值； （ 2） f(x)=0 时 x 的值；（ 3）当 x 0 时， f(x)的解析式 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用 【分析及解答】 （ 1）根据题意，由偶函数的性质 f(x)= f(-x)，可得 f(5)= f(-5)= ）（ ）（ 5-1 5-1 = 32 （ 2）当 x 0 时， f(x)=0 可求 x，然后结合 f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的 x， 即
9、当 x 0 时， xx11 =0 可得 x= 1；又 f(1)= f(-1)，所以当 f(x)=0 时， x= 1 （ 3） 当 x 0 时，根据偶函数性质 f(x)= f(-x)=)(1 )(1 xx= xx11 丹东市第一中学高一十六班 数 学 4 【例 6】 若 f(x)=ex+ae-x为偶函数，则 f(x-1) ee 12 的解集为（ ） A.（ 2， +） B.（ 0,2） C.（ -， 2） D.（ -， 0） （ 2， +） 【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】 转化思想；综合法； 函数的性质及应用 【分析及解答】 根据函数奇偶性的性质先求出 a 值，结合函数单调性的性质求解即可
10、 f(x)=ex+ae-x为偶函数， f(-x)=e-x+aex= f(x)= ex+ae-x， a=1， f(x)=ex+e-x在（ 0， +）上单调递增，在（ -， 0）上单调递减， 则由 f(x-1) ee 12 =e+e1 ， -1 x-1 1， 求得 0 x 2 故 B 正确 【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出 a 值是解题关键 【例 7】 函数 f(x)=21 xbax是定义在 (-1,1)上的奇函数，且 f(21 )=52 ，（ 1）确定函数 f(x)的解析式；（ 2） 证明 f(x)在 (-1,1)上为增函数 ；（ 3） 解不等式 f(2x-1)+
11、f(x) 0 【考点】 函数奇偶性 与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用 【分析及解答】 （ 1） 因为 f(x)为（ -1,1）上的奇函数，所以 f(0)=0，可得 b=0， 由 f(21 )=52 ， 所以2)21(1 21a =52 ， 得出 a=1，所以 f(x)= 21 xx （ 2） 根据函数单调性的定义即可证明 任取 -1 x1 x2 1， f(x1) f(x2)=2111 xx2221 xx=)1)(1( )1)( 2221 2121 xx xxxx 因为 -1 x1 x2 1，所以 x1-x2 0， 1 x1x2 0，所以 f(x1) f(x2) 0， 得出 f(x1)
12、f(x2)，即 f(x)在 (-1,1)上为增函数 （ 3） 根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“ f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可： f(2x-1)+ f(x)= 0， f(2x-1) f(x)，由于 f(x)为奇函数，所以 f(2x-1) f( x)，因为 f(x)在 (-1,1)上为增函数，所以 2x-1 x 1 ， 因为-1 2x-1 1 2 ， -1 x 1 3 ，联立 1 2 3 得 0 x 31 ，所以解不等式f(2x-1)+ f(x) 0 的解集为（ 0， 31 ） 【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性的常
13、用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理。 【例 8】 定义在 R 上的奇函数 f(x)在（ 0， +）上是增函数， 又 f(-3)=0，则不等式x f(x) 0 的解集为（ ） 【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用 【分析及解答】 易判断 f(x)在（ - ， 0）上的单调性及 f(x)图像所过特殊点，作出 f(x)丹东市第一中学高一十六班 数 学 5 草图，根据图像可解不等式。 解： f(x)在 R 上是奇函数，且 f(x)在（ 0， +）上是增函数， f(x)在（ -， 0）上也是增函数，由 f(-3)=0 ，可得 - f(3)=0 ，即 f(3)=0，
14、由 f(-0)=-f(0) ，得 f(0)=0 作出 f(x)的草图，如图所示： xy30-3由图像得： x f(x) 0 0)( 0xfx或 0)( 0xfx 0 x 3 或 -3 x 0， x f(x) 0 的解集为：（ -3， 0）（ 0， 3），故答案为：（ -3， 0）（ 0， 3） 【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键。 【例 9】 已知 f（ x+1）的定义域为 -2,3，则 f（ 2x+1）的定义域为（ ） 抽象函数定义域求法总结：（ 1）函数 y=fg(x)的定义域是（ a， b），求 f（ x）的定义域 ：利用 a
15、x b，求 得 g（ x）的范围就是 f（ x）的定义域；（ 2）函数 y=f（ x）的定义域是（ a， b），求 y=fg(x)的定义域：利用 a g(x) b，求得 x 的范围就是 y=fg(x)的定义域。 【考点】 函数定义域极其求法 【分析及解答】 由 f（ x+1）的定义域为 -2,3，求出 f（ x）的定义域，再由 2x+1 在函数 f（ x）的定义域内求解 x 的取值集合，得到函数 f（ 2x+1）的定义域。 解：由 f（ x+1）的定义域是 -2,3，得 -1 x+1 4 ；再由 -1 2x+1 4 0 x 25 f（ 2x+1）的定义域是 0， 25 ，故选 A 【点评】 本
16、题考查了复合函数定义域的求法，给出函数 fg(x)的定义域是（ a， b），求函数 f（ x）的定义域，就是求 x（ a， b）内的 g(x)的值域；给出函数 f（ x）的定义域是（ a， b），只需由 a g(x) b，求解 x 的取值集合即可。 【例 10】 已知函数 f(x)=x7+ax5+bx-5，且 f(-3)= 5，则 f(3)= （ ） A. -15 B. 15 C.10 D.-10 【考点】 函数的值；奇函数 【分析及解答】 令 g(x)= x7+ax5+bx，则 g(-3)= 解法 1： f(-3)= (-3)7+ a(-3)5+b(-3)-5=-（ 37+a35+3b-5）
17、 -10=- f(3)-10=5， f(3)=-15 解法 2：设 g(x)= x7+ax5+bx，则 g(x)为奇函数， f(-3)= g(-3)-5=- g(3)-5 g(3)=-10, f(3)= g(3)-5=-15 丹东市第一中学高一十六班 数 学 6 【例 11】 已 知二次函数 f（ x） =x2+x+a (a 0)，若 f（ m） 0，则 f（ m+1）的值为（ ） A.正数 B.负数 C.零 D.符号与 a 有关 解法 1： 因为 f(m)0.所以 m2+m41 ， 所以 f(m+1)0 答案为 A 解法 2： f(x)=x+x+a=x(x+1)+a f(m)=m(m+1)+
18、a 0 m(m+1) -a ， a 0， 且 m m+1 m 0,m+1 0 (m+1) 0 即 ： f(m+1)=(m+1)+(m+1)+a 0 f(m+1) 0 选 A 【例 12】 函数 f(x)= x2-2x m 有两个零点， m 的取值范围（ ） 解：令 f(x)= x2-2x m=0，则 x2-2x =m，作 y= x2-2x 和 y= m 的图像 要使 f(x)= x2-2x m 有两个零点， 则图像 y= x2-2x 和 y= m 有两个交点 【例 13】已知函数 f(x)和 g(x)均为奇函数， F(x)=a f(x)+b g(x)+2 在区间（ 0， +）上有最大值 5，那
19、么 F(x)在区间（ -， 0）上的最小值为（ ） 解法 1： 根据题意，得 a f(x)+b g(x)在 (0,+ )上有最大值 3, 所以， a f(x)+b g(x)在 (- ,0)上有最小值 -3,故 F(x)=a f(x)+b g(x)+2 在 (- ,0)上有最小值 -1. 解法 2： F(x)=a f(x)+b g(x)+2是由 G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移 2个单位得到，由题意 G(x)=a f(x)+b g(x)在（ -， 0），（ 0， +）上是奇函数，在（ 0， +）上有最大值 3，那么在（ -， 0）上有最小值 -3，那么 F(x)=a f(x)+b g
20、(x)+2 在 (- ,0)上有最小值 -1. 【例 14】对于每个实数 x，设 f(x)取 y=x+1， y=2x+1， y=-21 x 三个函数中的最大值 ，用分段函数的形式写出 f(x)的解析式，求出 f(x)的最小值为（ ） 【例 15】已知函数 f(x)=x2+ax+3，（ 1）当 x R 时， f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围；（ 2）当 x -2,2时， f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围 解（ 2） 函数 f(x)=x2+ax+3 对称轴 x=-a 2，依题意得 当 -a 2 -2 时，当 x -2,2时， f(x)最小值 a 即： f(-2)=4-2a+3 a，
21、无解 当 -2 -a 2 2，当 x -2,2时， f(x)最小值 a 即： f(-a 2) a，得 -4 a 2 丹东市第一中学高一十六班 数 学 7 当 -a 2 2 时，当 x -2,2时， f(x)最小值 a 即： f(2)=4+2a+3 a，得 -7 a -4 综上所述得： -7 a 2 解法 2： 【例 16】下列各组函数表示相等函数的是（ ） A. y= 39x2x 与 y=x+3 B. y= 12x 与 y=x-1 C. y=x0(x 0)与 y=1（ x 0） D. y=2x+1（ x Z）与 y=2x-1（ x Z） 解： A. y= 392xx =x+3（ x 3）与 y
22、=x+3 定义域不同，不是相等的函数 ； B. y= 2x -1=|x|-1 与 y=x-1 对应关系不同，不是相等的函数 ； C. y=x0=1（ x 0）与 y=1（ x 0）是相等函数； 正确 D. y=2x+1， x Z 与 y=2x-1， x Z 对应关系不同，不是相等函数 【例 17】函数 y=4x2-mx+5 在区间 -2,+）上时增函数，在区间（ -， 2上是减函数，则 f(1)=（ ） A.-7 B.1 C.17 D.25 丹东市第一中学高一十六班 数 学 8 解：由已知中函数的单调区间，可得函数 y=4x2-mx+5 的图像关于直线 x=-2 对称， 因为函数 y=4x2-
23、mx+5 在区间 -2,+）上时增函数，在区间（ -， 2上是减函数，故函数y=4x2-mx+5 的图 像关于直线 x=-2 对称，故 28 m ， m=-16， y=4x2+16x+5， f(1)=25 【例 18】 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为： _ （ 1）、 3 )5)(3()( x xxxf ， 5)( xxg （ 2）、 11)( xxxf （ 3）、 xxf )( ， 2)( xxg （ 4） 、 3 34)( xxxf ， 3 1)( xxxg （ 5）、 2)52()( xxf ， 52)( xxg 【例 19】函数 3)1(4)( 2 xaaxxf 在区间 -2，
24、 +）上递增，则 a 的取值范围 _ 【例 20】函数 2)1(2)( 2 xaxxf 在区间 (-， 4上是减函数，则实数 a 的取值范围是（ ） A.a 3 B.a 3 C. a -3 D. a 5 E. a -3 【 例 21】已知 )(xf 是定义在（ -2,2）上的减函数，并且 )21()1( mfmf 0，求实数 m 的取值范围 【例 22】若集合 RxxxA ,12 ， RxxyyB ,22 ，则 A B=（ ） A.x -1 x 1 B. x 0 x 1 C. x x 0 D. 设 )(xf 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， )(xf =2x2-x,则 )1(f =（
25、 ） A.-3 B. -1 C. 1 D.3 函数 )(xf = 1,3 1,122xxx xx则 )3(1ff的值为（ ） 【例 23】 已知 )0(1)12(22 xx xxf ,那么 )0(f 等于（ ） 【例 24】已知集合 0322 xxxA ， B ，若 B A=B，实数 a 的值为（ ） A.3 B. 6 C. 8 D.10 丹东市第一中学高一十六班 数 学 9 (3,0)(-1,0) 0yx【例 25】函数 xxxy )1( 的定义域为（ ） A.x x 0 B. x x 1 C. x x 1 0 D. x 0 x 1 【例 26】下列判断正确的是（ ） A.函数 22)( 2
26、 x xxxf 是奇函数 B.函数 1)( 2 xxxf 是非奇函数 C.函数xxxxf 11)1()(是偶函数 D.函数 )(xf =1 即是奇函数又是偶函数 【例 27】 432 xxy 的单调区间是（ ） A.(-， - 32 B.- 32 ， + ) C.-4, -32 D. -32 ， 1 【例 28】设 )(xf 是奇函数，且在区间（ 0， +）内是增函数， 又)3(f =0， 则 )(xf 0 的解集是（ ） A.x -3 x 0 或 x3 B.x 0 x 3 或 x -3 C. x x -3 或 x3 D. x -3 x 0 或 0 x 【例 29】函数 3)( 35 cxbx
27、axxf ， )3(f =7，则 )3(f =_ 【思考】 1、已知二次函数 y=x2-2x-3，试问 x 取哪些值时 y=0？ 代数法：求方程 x2-2x-3=0 的根， x1=-1 x2=3 几何法：求函数函数 y=x2-2x-3 的图象与 x 轴的交点的横坐标（ -1， 3），此时， -1 与 3也称为函数 y=x2-2x-3 的 零点 零点的定义： 对于函数 )(xfy ，我们把使 )(xf =0 的实数 x 叫做函 数 )(xfy 的零点。 注意：零点指的是一个实数！ 方程 02 cbxax （ a 0）的根： acb 42 0 时，有两个不相等的实数根 x1、x2，函数 cbxax
28、y 2 （ a 0）的图象与 x 轴有两个交点（ x1、 0），（ x2， 0），函数的零点为 x1、 x2； acb 42 =0 时，有两个相等的实数根 x1=x2，函数cbxaxy 2 （ a 0）的图象与 x 轴有一个交点（ x1、 0），函数的零点为 x1；丹东市第一中学高一十六班 数 学 10 acb 42 0 时，没有实数根，函数 cbxaxy 2 （ a 0）的图象与 x 轴没有交点，函数没有零点。（即：函数 )(xfy 的零点就是方程 0)( xf 的实数根，也就是函数 )(xfy 的图象与 x 轴的交点的横坐标。方程 0)( xf 有实根 函数 )(xfy的图象 x 轴有交点 函数 )(xfy 有零点 ） 函数零点存在性定理： 如果函数 )(xfy 在区间 a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 )()( bfaf 0 即f(2) f(3)0，说明这个函数在区间（ 2,3）内有零点，由于函数 f（ x）在定义域（ 0， +）内是增函数，所以它仅有一个零点。
