1、初中几何中 线段 和（差）的最值问题 一、 两条线段和的最小值 。 基本图形解析 ： 一）、已知两个定点： 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA+PB 最小； （ 1）点 A、 B 在直线 m 两侧： （ 2）点 A、 B 在直线同侧： A、 A 是关于直线 m 的对称点。 2、 在直线 m、 n 上分别找两点 P、 Q，使 PA+PQ+QB 最小。 （ 1）两个点都在直线外侧： （ 2）一 个点在内侧，一个点在外侧： （ 3）两个点都在内侧： PmABmABmABPmABA nmABQPnmABP Q nmABQPnmABB QPnmABB A nmAB（ 4）、台球两次碰壁模型 变
2、式一：已知点 A、 B 位于直线 m,n 的内侧，在直线 n、 m 分别上求点 D、 E 点，使得围成的四边形 ADEB 周长最短 . 填空：最短周长 =_ 变式二：已知点 A 位于直线 m,n 的内侧 , 在直线 m、 n 分别上求点 P、 Q 点 PA+PQ+QA周长最短 . 二）、一个动点 ，一个定点： （一） 动点 在直线上运动： 点 B 在直线 n 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点B） 1、两点在直线两侧： 2、两点在直线同侧： mnAP mnABmnA PmnAA BmnAB EDmnABA B mnA PQmnAA “A （二）动点在
3、圆上运动 点 B 在 O 上运动，在直线 m 上找一点 P，使 PA+PB 最小（在图中画出点 P 和点 B） 1、点与圆在直线两侧： 2、点与圆在直线同侧： 三） 、已知 A、 B 是两个定点， P、 Q 是直线 m 上的两个动点， P 在 Q 的左侧 ,且 PQ 间长度恒定 ,在直线 m 上要求 P、 Q 两点， 使得 PA+PQ+QB 的值最小。 (原理用平移知识解 ) （ 1）点 A、 B 在直线 m 两侧： 过 A 点作 AC m,且 AC 长等于 PQ 长， 连接 BC,交直线 m 于 Q,Q 向左 平移 PQ 长，即为P 点，此时 P、 Q 即为所求的点。 （ 2）点 A、 B
4、在直线 m 同侧： mOAP P mOBAB mOAPmOABA mABB EQPmABQPmABQP mABCQP练习题 1如图， AOB=45， P 是 AOB 内一点， PO=10， Q、 R 分别是 OA、 OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值 为 2、 如图 1，在锐角三角形 ABC 中， AB=4 , BAC=45， BAC 的平分线交 BC 于点 D，M,N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值为 3、如图，在锐角三角形 ABC 中 ， AB= 52， BAC=45， BAC 的平分线交 BC 于 D， M、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM
5、+MN 的最小值是多少？ 4、 如图 4 所示，等边 ABC 的边长为 6,AD是 BC 边上的中线 ,M 是 AD 上的动点 ,E是 AC 边上一点 .若 AE=2,EM+CM 的最小值为 . 5、 如图 3，在直角梯形 ABCD 中， ABC 90， AD BC， AD 4， AB 5， BC 6，点 P 是 AB上一个动点，当 PC PD 的和最小时， PB 的长为 _ 6、 如图 4，等腰梯形 ABCD 中， AB=AD=CD=1， ABC=60， P 是上底，下底中点 EF 直线上的一 点，则 PA+PB 的最小值为 Q 7、 如图 5 菱形 ABCD 中， AB=2， BAD=60
6、， E是 AB 的中点， P 是对角线 AC 上的一个动点，则 PE+PB 的最小值为 8、 如图，菱形 ABCD的两条对角线分别长 6和 8，点 P是对角线 AC上的一个动点，点 M、 N分别是边 AB、 BC的中点，则 PM+PN的最小值是 9、 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底 3cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁 ，离杯上沿 4cm 与蜂蜜相对的点 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 _cm 10、 如图，菱形 ABCD 中， AB=2， A=120，点 P， Q， K 分别为线段 BC， CD，BD 上的任意一点，则 PK+Q
7、K 的最小值为 11、 如图，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点则 PB+PE 的最小值是 12、 如图 6 所示，已知正方形 ABCD 的边长为 8，点 M 在 DC 上，且 DM=2， N 是 AC 上的一个动点，则 DN+MN 的最小值为 13、 如图，正方形 ABCD 的边长是 2， DAC 的平分线交 DC 于点 E，若点 P、 Q 分别是AD 和 AE 上的动点，则 DQ+PQ 的最小值为 14、 如图 7，在边长为 2cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB、 PQ，则 P
8、BQ 周长的最小值为 cm（结果不取近似值） 15、 如图， O 的半径为 2，点 A、 B、 C 在 O 上， OA OB， AOC=60， P 是 OB 上 一动点，则 PA +PC 的最小值是 16、 如图 8， MN 是半径为 1 的 O 的直径，点 A 在 O 上， AMN 30， B为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则 PA PB 的最小值为 ( ) (A)2 (B) (C)1 (D)2 解答题 1、 如图 9，正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= （ k 0）在第一象限的图象交于 A点，过 A 点作 x 轴的垂线，垂足为 M，已知三角形 OAM 的面积为
9、1. （ 1）求反比例函数的解析式； （ 2）如果 B 为反比例函数在第一象限图象上的点（点 B 与点 A 不重合），且 B 点的横坐标为 1，在 x 轴上求一 点 P，使 PA+PB 最小 . 2、 如图，一元 二次 方程 x2+2x-3=0 的二根 x1， x2（ x1 x2）是抛物线 y=ax2+bx+c与 x 轴的两个交点 B， C 的横坐标，且此抛物线过点 A（ 3， 6） （ 1）求此 二次函数 的解析式； （ 2）设此抛物线的顶点为 P，对称轴与 AC 相交于点 Q，求点 P 和点 Q 的坐标； （ 3）在 x 轴上有一动点 M，当 MQ+MA 取得 最小值 时，求 M 点的坐标
10、 3、 如图 10，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 （ 1， ） ， AOB 的面积是 . （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）求过点 A、 O、 B 的抛物 线的解析式； （ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使 AOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的 坐标；若不存在，请说明理由； 4 如图，抛物线 y 35x2 185 x 3 和 y 轴的交点为 A， M 为 OA 的中点，若有一动点 P，自M 点处出发，沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点 F），最后又沿直线运动到点 A，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点
11、 F的坐标，并求出这个最短路程的长 5 如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，直角梯形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上， OC在 x 轴的正半轴上， OA=AB=2， OC=3，过点 B 作 BD BC，交 OA 于点 D将 DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交 y 轴的正半轴、 x 轴的正半轴于点 E 和 F （ 1）求经过 A、 B、 C 三点的抛物线的解析式； （ 2）当 BE 经过（ 1）中抛物线的顶点时，求 CF 的长； （ 3）在抛物线的对称轴上取两点 P、 Q（点 Q 在点 P 的上方），且 PQ 1，要使四边形 BCPQ的周长最小，求出 P、 Q 两点
12、的坐标 6 如图，已知平面直角坐标系， A， B 两点的坐标分别为 A(2， 3）， B(4， 1）若 C(a，0)， D(a+3， 0)是 x 轴上的两个动点，则当 a 为何值 时，四边形 ABDC 的周长最短 7、 如图 11，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A、 B 分别在 x轴、 y 轴的正半轴上， OA=3， OB=4， D 为边 OB 的中点 . （ 1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当 CDE 的周长最小时，求点 E 的坐标； （ 2）若 E、 F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标 . 二
13、、 求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边 ) 基本图形解析 ： 1、在一条直线 m 上，求一点 P，使 PA 与 PB的差最大； （ 1）点 A、 B 在直线 m 同侧： 解析：延长 AB 交直线 m 于点 P，根据三角形两边之差小于第三边， PA PB AB，而 PA PB=AB 此时最大，因此点 P 为所求的点。 （ 2）点 A、 B 在直线 m 异侧： 解析：过 B 作关于直线 m 的对称点 B,连接 AB交点直线 m 于 P,此时 PB=PB， PA-PB最大值为 AB 练习题 1. 如图，抛物线 y 14x 2 x 2 的顶点为 A，与 y 轴交于点 B (1)求点 A、点 B 的坐标； (2)若点 P 是 x 轴上任意一点，求证： PA PBAB； (3)当 PA PB 最大时，求点 P 的坐标 . mBAmABmABB PP mBAP P
