1、 第 1 页（共 22 页） 北师大版七年级下册数学培优压轴题 一解答题（共 8 小题） 1已知四边形 ABCD 中， AB=BC， ABC=120， MBN=60， MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD， DC（或它们的延长线）于 E， F 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF； 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE， CF， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 2（ 1）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， B=
2、D=90， E、 F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF= BAD 求证： EF=BE+FD； （ 2）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， B+ D=180， E、 F 分别是边 BC、 CD上的点，且 EAF= BAD，（ 1）中的结论是否仍然成立？ （ 3）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， B+ ADC=180， E、 F 分别是边 BC、第 2 页（共 22 页） CD 延长线上的点，且 EAF= BAD，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 3如图 1，将两个完全相同 的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合
3、放置，其中 C=90， B= E=30 （ 1）操作发现 如图 2，固定 ABC，使 DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 ； 设 BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 （ 2）猜想论证 当 DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中 BC、 CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （ 3）拓展探究 已知 ABC=60，点 D 是角平分线上一点， BD=CD=4， DE AB 交 BC 于
4、点 E（如图 4）若在射线 BA 上存在点 F，使 S DCF=S BDE，请直接写出相应的 BF 的长 第 3 页（共 22 页） 4如图 1，已知线段 AB 的长为 2a，点 P 是 AB 上的动点（ P 不与 A， B 重合），分别以 AP、 PB 为边向线段 AB 的同一侧作正 APC 和正 PBD （ 1）当 APC 与 PBD 的面积之和取最小值时， AP= ；（直接写结果） （ 2）连接 AD、 BC，相交于点 Q，设 AQC=，那么 的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明理由； （ 3）如图 2，若点 P 固 定，将 PBD 绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180）
5、，此时 的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 5如图 1， Rt ABC 中 AB=AC，点 D、 E 是线段 AC 上两动点，且 AD=EC， AM 垂直 BD，垂足为 M， AM 的延长线交 BC 于点 N，直线 BD 与直线 NE 相交于点 F试判断 DEF 的形状，并加以证明 说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（ 2）在你经历说明（ 1）的过程之后，可以从下列 、 中选取一个补充或者更换已知条件 ，完成你的证明 1、画出将 BAD 沿 BA 方向平移 BA 长，然后顺时针旋转 90后图形；
6、 2、点 K 在线段 BD 上，且四边形 AKNC 为等腰梯形（ AC KN，如图 2） 附加题：如图 3，若点 D、 E 是直线 AC 上两动点，其他条件不变，试判断 DEF第 4 页（共 22 页） 的形状，并说明理由 6如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D， E， F 分别为边 AB， AC， BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点， DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时， DMN 也随之整体移动） （ 1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直 线 NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由； （ 2）如图 2
7、，当点 M 在 BC 上时，其它条件不变，（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由； （ 3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由 7已知：等边三角形 ABC （ 1）如图 1， P 为等边 ABC 外一点，且 BPC=120试猜想线段 BP、 PC、 AP之间的数量关系，并证明你的猜想； （ 2）如图 2， P 为等边 ABC 内一点，且 APD=120求证： PA+PD+PC BD 第 5 页（共
8、 22 页） 8认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（ a+b） 1=a+b，（ a+b） 2=a2+2ab+b2，（ a+b） 3=（ a+b） 2（ a+b） =a3+3a2b+3ab2+b3， 下面我们依次对（ a+b） n 展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数时可以单独列成表中的形式： 上面的多项式展开系数表称为 “杨辉三角形 ”；仔细观察 “杨辉三角形 ”，用你发现的规律回答下列问 题： （ 1）多项式（ a+b） n 的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （ 2）请你预测一下多项式（ a+b）
9、 n 展开式的各项系数之和 （ 3）结合上述材料，推断出多项式（ a+b） n（ n 取正整数）的展开式的各项系数之和为 S，（结果用含字母 n 的代数式表示） 第 6 页（共 22 页） 2018 年 05 月 08 日 wujun 的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共 8 小题） 1已知四边形 ABCD 中， AB=BC， ABC=120， MBN=60， MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD， DC（或它们的延长线）于 E， F 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF； 当 MBN 绕 B 点旋转到 AE CF 时，在图 2
10、和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE， CF， EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 【 解 答 】 解： AB AD ， BC CD ， AB=BC ， AE=CF ，在 ABE 和 CBF 中， ， ABE CBF（ SAS）； ABE= CBF， BE=BF； ABC=120， MBN=60， 第 7 页（共 22 页） ABE= CBF=30， AE= BE， CF= BF； MBN=60， BE=BF， BEF 为等边三角形； AE+CF= BE+ BF=BE=EF； 图 2 成立，图 3 不成立 证明图 2 延长 DC 至
11、点 K，使 CK=AE，连接 BK， 在 BAE 和 BCK 中， 则 BAE BCK， BE=BK， ABE= KBC， FBE=60， ABC=120， FBC+ ABE=60， FBC+ KBC=60， KBF= FBE=60， 在 KBF 和 EBF 中， KBF EBF， KF=EF， KC+CF=EF， 即 AE+CF=EF 图 3 不成立， AE、 CF、 EF 的关系是 AE CF=EF 第 8 页（共 22 页） 2（ 1）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， B= D=90， E、 F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF= BAD 求证： EF=BE+FD；
12、（ 2）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， B+ D=180， E、 F 分别是边 BC、 CD上的点，且 EAF= BAD，（ 1）中的结论是否仍然成立？ （ 3）如图，在四边形 ABCD 中， AB=AD， B+ ADC=180， E、 F 分别是边 BC、CD 延长线上的点 ，且 EAF= BAD，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 第 9 页（共 22 页） 【解答】 证明：（ 1）延长 EB 到 G，使 BG=DF，连接 AG ABG= ABC= D=90， AB=AD， ABG ADF AG=AF， 1= 2 1+ 3
13、= 2+ 3= EAF= BAD GAE= EAF 又 AE=AE， AEG AEF EG=EF EG=BE+BG EF=BE+FD （ 2）（ 1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立 （ 3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE FD 证明：在 BE 上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG B+ ADC=180， ADF+ ADC=180， B= ADF 第 10 页（共 22 页） AB=AD， ABG ADF BAG= DAF， AG=AF BAG+ EAD= DAF+ EAD = EAF= BAD GAE= EAF AE=AE， AEG AEF EG=EF EG=BE
14、 BG EF=BE FD 3如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中 C=90， B= E=30 （ 1）操作发现 如图 2，固定 ABC，使 DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空： 线段 DE 与 AC 的位置关系是 DE AC ； 设 BDC 的面积为 S1， AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 S1=S2 （ 2）猜想论证 当 DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（ 1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC 和 AEC 中 BC、 CE 边上的高，请你证明小明的猜想 （ 3）拓展探究
