1、 勾股定理全章知识点总结大全 一基础知识点： 1：勾股定理 直角三角形两直角边 a、 b的平方和等于斜边 c的平方。（即： a2+b2 c2） 要点诠释： 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用： （ 1）已知直角三角形的两边求第三边 （ 在 ABC 中， 90C ，则 22c a b，22b c a， 22a c b） （ 2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （ 3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长： a、 b、 c，则有关系 a2+b2 c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点
2、诠释： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （ 1）首先确定最大边，不妨设最长边长为： c； （ 2）验证 c2与 a2+b2是否具有相等关系，若 c2 a2+b2，则 ABC 是以 C 为直角的直角三角形 （若 c2a2+b2，则 ABC 是以 C 为钝角的钝角三角形；若 c2a2+b2，则 ABC 为锐角三角形）。 （ 定理中 a ， b ， c 及 2 2 2a b c只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 2 2 2a c b，那么以 a ，
3、b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边 ） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5： 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出
4、勾股定理 常见方法如下： 方法一： 4 EFG HS S S 正 方 形 正 方 形 ABCD， 2214 ( )2 ab b a c ，化简可证 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 221422S ab c ab c 大正方形面积为 2 2 2( ) 2S a b a ab b 所以 2 2 2a b c 方法三： 1 ( ) ( )2S a b a b 梯 形， 2112 S 222A D E A B ES S a b c 梯 形，化简得证 6： 勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即2 2 2
5、a b c中， a ， b ， c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ；7,24,25 等 cb aHGFED CBAabcc baEDCBAbacbaccabcab 用含字母的代数式表示 n 组勾股数： 221,2 , 1n n n（ 2,n n 为正整数）； 222 1, 2 2 , 2 2 1n n n n n （ n 为正整数） 2 2 2 2, 2 ,m n mn m n（ ,mn m ， n 为正整数） 二、 规律方法指导 1勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相
6、互转化证明的。 2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a， b， c有下列关系： a2+b2 c2， 那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法 5. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代 数运算，通过学习加深对 “ 数形结合 ” 的理解 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
7、（例：勾股定理与勾股定理逆定理） CABD勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理及逆定理 例 .在 ABC 中， 90C 已知 6AC ， 8BC 求 AB 的长 已知 17AB ， 15AC ，求 BC 的长分析： 练习： 1、如图所示，在四边形 ABCD中， BAD= 90 ， DBC= 90 ， AD=3， AB=4，BC=12，求 CD。 2已知等腰三角形腰长是 10，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。 3、已知：如图， B= D=90， A=60， AB=4， CD=2。求：四边形 ABCD的面积。 例 2：已知直角三角形的两边长分别为 5和 12，求第三边。 练
8、习：在 ABC中， AB=13， AC=15，高 AD=12，则 BC的长为多少？ 例 3：（ 1） .已知 ABC的三边 a 、 b 、 c 满足 0)()( 22 cbba ，则 ABC 为 三角形 （ 2） .在 ABC 中，若 2a =（ b +c ）（ b -c ），则 ABC 是 三角形，且 90 练习： 1、 已知 2512 yxx 与 25102 zz 互为相反数，试判断以 x 、 y 、 z为三边的三角形的形状。 图 1CAB图 2CAB 图 3 CABDA BC2、 .若 ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足条件 2a cbacb 26241033822 ，试判断 AB
9、C 的形状。 3.已知 ,0)10(826 2 cba 则以 a 、 b 、 c 为边的三角形是 例 4：已知如图，在 ABC中， C=60， AB= 34 ， AC=4， AD是 BC 边上的高，求 BC的长。 如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， CD AB 于 D，设 AB=c， AC=b， BC=a， CD=h。 求证：（ 1）222 111 hba （ 2） hcba （ 3）以 hchba ， 为三边的三角形是直角三角形 经典图形突破： AC BD图 4CBA图 5DACB练习 1.如图， ABC 中， AB=AC， A=45 ， AC 的垂直平分线分别交 AB、 AC 于
10、D、 E，若 CD=1，则 BD 等于 ( ) A 1 B C D 2.已知一直角三角形的斜边长是 2，周长是 2+ 6 ，求这个三角形的面积 3. ABC中， D是 AB 的中点，若 AC=12， BC=5， CD=6 5 求证： ABC是直角三角形 4.如图，在正方形 ABCD中， F为 DC 的中点， E为 BC 上一点，且 EC=14 BC， DCBA E CBA猜想 AF 与 EF的位置关系，并说明理由 5.如图 Rt ABC ， 90C 3, 4AC BC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 6.如图 2-10， ABC中， AB=AC=20， BC=32， D是 BC上一点，
11、且 AD AC，求 BD 的长 7.如图 2-9， ABC 中， ACB=90， AC=BC， P是 ABC内一点，满足 PA=3， PB=1， PC=2，求 BPC 的度数 8.已知 ABC中， ACB=90， AC=3,BC=4,（ 1） AD 平分 BAC,交 BC 于 D点。 求 CD长 （ 2） BE 平分 ABC,交 AC 于 E，求 CE 长 BACCABDB PAC9.如图，在四边形 ABCD 中， A 600， B D 900， BC 2， CD 3，求 AB 的长 10.如图， P为 ABC边 BC上一点， PC 2PB，已知 ABC 450， APC 600，求 ACB的度数。 11、已知 ABC中， BAC 750， C 600， BC 33 ，求 AB、 AC的长。 GEDAB C12、如图， ABC中， AD 是高， CE是中线， DC BE， DG CE 于 G。 （ 1）求证： G是 CE的中点； （ 2） B 2 BCE。 （ 3）若 AC=6,AB=8，求 DG的长。
