必修五解三角形练习题.doc

1、 第 1 页（共 16 页） 一选择题（共 10 小题） 1在 ABC 中， sinA=sinB 是 ABC 为等腰三角形的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2在 ABC 中， a=x， b=2， B=45，若这样的 ABC 有两个，则实数 x 的取值范围是（ ） A（ 2， + ） B（ 0， 2） C（ 2， 2 ） D（ ， 2） 3在锐角 ABC 中，若 C=2B，则 的范围（ ） A B C（ 0， 2） D 4在 ABC 中，下列等式恒成立的是（ ） A csinA=asinB B bcosA=acosB C asinA=bsinB D

2、 asinB=bsinA 5已知在 ABC 中，若 cosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（ ） A锐角三角形或钝角三角形 B以 a 或 b 为斜边的直角三角形 C以 c 为斜边的直角三角形 D等边三角形 6在 ABC 中，若 cosAsinB+cos（ B+C） sinC=0，则 ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 7在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 = ，则 B 为（ ） A B C D 8在 ABC 中，已知 sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ） A等边三角形 B

3、直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 9 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， ， ， b=1，则角 B等于（ ） A B C D 或第 2 页（共 16 页） 10在 ABC 中， a=x， b=2， B=45，若此三角形有两解，则 x 的取值范围是（ ） A x 2 B x 2 C D 二填空题（共 1 小题） 11（文）在 ABC 中， A=60， b=1， ABC 的面积为 ，则的值为 三解答题（共 7 小题） 12在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已知 a b， c= ， cos2A cos2B= sinAcosA s

4、inBcosB （ 1）求角 C 的大小； （ 2）求 ABC 的面积的最大值 13在 ABC 中，角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，已知 bccosA=3， ABC 的面积为 2 （ ）求 cosA 的值； （ ）若 a=2 ，求 b+c 的值 14在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，且 = （ 1）求角 B 的大小； （ 2） ABC 的外接圆半径是 ，求三角形周长的范围 第 3 页（共 16 页） 15在 ABC 中，（ 2a c） cosB=bcosC （ 1）求角 B 的大小； （ 2）求 2cos2A+cos（ A C）的取值范围 16

5、已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边长，且（ 2c b） cosA=acosB （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 a=2，求 ABC 面积 S 的最大值 17 ABC 的三内角 A， B， C 所对边长分别为 a， b， c， a2 b2=bc， AD 为角 A的平分线，且 ACD 与 ABD 面积之比为 1： 2 （ 1）求角 A 的大 小； （ 2）若 AD= ，求 ABC 的面积 18在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且（ 2a+c） cosB+bcosC=0 （ 1）求角 B 的大小 （ 2）若 b= ， a+c=

6、4，求 ABC 的面积 （ 3）求 y=sin2A+sin2C 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 必修五 22222 练习题 参考答案与试题解析 一选择题（共 10 小题） 1在 ABC 中， sinA=sinB 是 ABC 为等腰三角形的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】 先根据 sinA=sinB 时，则有 A=B，推断出三角形一定为等腰三角形，进而可知 sinA=sinB 是 ABC 为等腰三角形的充分条件；同时 ABC 为等腰三角形时，不一定是 A=B，则 sinA 和 sinB 不一定相等，故可推断出 sinA=sinB 是

7、 ABC为等腰三角形的不必要条件 【解答】 解：当 sinA=sinB 时，则有 A=B，则 ABC 为等腰三角形，故 sinA=sinB是 ABC 为等腰三角形的充分条件， 反之，当 ABC 为等腰三角形时，不一定是 A=B， 若是 A=C 60 时，则 sinA sinB，故 sinA=sinB 是 ABC 为等腰三角形的不必要条件 故选 A 【点评】 本题主要考查了必要条件，充分条件，与充要条件的判断解题的时候注意条件的先后顺序 2在 ABC 中， a=x， b=2， B=45，若这样的 ABC 有两个，则实数 x 的取值范围是（ ） A（ 2， + ） B（ 0， 2） C（ 2， 2

8、 ） D（ ， 2） 【分析】 先利用正弦定理表示出 x，进而根据 B=45可知 A+C 的值，进而可推断出若有两解，则 A 有两个值，先看 A 45时推断出 A 的补角大于 135，与三角形内角和矛盾，进而可知 A 的范围，同时若 A 为直角， 也符合，进而根据 A 的范围确定 sinA 的范围，进而利用 x 的表达式，求得 x 的范围， 【解答】 解：由正弦定理可知 ，求得 x=2 sinA 第 5 页（共 16 页） A+C=180 45=135 有两解，即 A 有两个值 这两个值互补 若 A 45 则由正弦定理得 A 只有一解，舍去 45 A 135 又若 A=90，这样补角也是 90

9、 度，一解， A 不为 90 所以 sinA 1 x=2 sinA 2 x 2 故选 C 【点评】 本题主要考查了正弦定理的运用，解三角形问题考查了学生推理能力和分类讨论的思想的运用 3在锐角 ABC 中，若 C=2B，则 的范围（ ） A B C（ 0， 2） D 【分析】 由正弦定理得 ，再根据 ABC 是锐角三角形，求出 B， cosB 的取值范围即可 【解答】 解：由正弦定理得 ， ABC 是锐角三角形， 三个内角均为锐角， 即有 ， 0 C B= 3B 解得 ，又余弦函数在此范围内是减函数故 cosB 故选 A 【点评】 本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质易错点是B

10、 角的范围确定不准确 第 6 页（共 16 页） 4在 ABC 中，下列等式恒成立的是（ ） A csinA=asinB B bcosA=acosB C asinA=bsinB D asinB=bsinA 【分析】 直接利用正弦定理判断选项即可 【解答】 解：由正弦定理可知： csinA=asinB，即 sinCsinA=sinBsinB，不恒成立 bcosA=acosB，即 sinBcosA=sinAcosB，不恒成立 asinA=bsinB，即 sinAsinA=sinBsinB，不恒成立 asinB=bsinA，即 sinAsinB=sinBsinA，恒成立 故选： D 【点评】 本题考

11、查正弦定理的 应用，基本知识的考查 5已知在 ABC 中，若 cosA+bcosB=ccosC，则这个三角形一定是（ ） A锐角三角形或钝角三角形 B以 a 或 b 为斜边的直角三角形 C以 c 为斜边的直角三角形 D等边三角形 【分析】 利用正弦定理，和差化积公式 可得 cos（ A B） =cosC， A=B+C，或 B=A+C，再由三角形内角和公式可得 A= ，或 B= ，即可得答案 【解答】 解：在 ABC 中，若 acosA+bcosB=ccosC， 则： sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC， sin2A+sin2B=sin2C， 2sin（ A+B） cos（ A

12、 B） =2sinCcosC， cos（ A B） =cosC， A B=C，或 B A=C，即： A=B+C，或 B=A+C 再根据 A+B+C=，可得： A= ，或 B= ，故 ABC 的形状是直角三角形 故选： B 【点评】 本题考查正弦定理，和差化积公式，三角形内角和公式，得到 cos（ A B） =cosC 是解题的关键，属于基本知识的考查 6在 ABC 中，若 cosAsinB+cos（ B+C） sinC=0，则 ABC 的形状是（ ） A等腰三角形 B 直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 【分析】 根据三角函数的诱导公式进行化简即可 第 7 页（共 16 页） 【

13、解答】 解： cosAsinB+cos（ B+C） sinC=0， cosAsinB cosAsinC=0， 即 cosA（ sinB sinC） =0， 则 cosA=0 或 sinB sinC=0， 即 A= 或 B=C， 则 ABC 的形状等腰或直角三角形， 故选： D 【点评】 本题考查三角形的形状判断，解题的关键是正确三角函数的诱导公式进行化简，属于基础题 7在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 = ，则 B 为（ ） A B C D 【分析】 通过正弦定理及 = 求出 tanB 的值，进而求出 B 的值 【解答】 解：由正弦定理得： ，而 = ，

14、两式相乘得 tanB= ， 由于 0 B ， 从而 B= 故选： A 【点评】 本题主要考查了正弦定理的应用属基础题 8在 ABC 中，已知 sinA=2sinBcosC，则该三角形的形状是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 【分析】 通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判 断三角形的形状 【解答】 解：因为 sinA=2sinBcosc，所以 sin（ B+C） =2sinBcosC， 所以 sinBcosC sinCcosB=0，即 sin（ B C） =0， 第 8 页（共 16 页） 因为 A， B， C 是三角形内角，

15、所以 B=C 所以三角形是等腰三角形 故选： C 【点评】 本题考查两角和的正弦函数的应用，三角形形状的判断，考查计算能力 9 ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c， ， ， b=1，则角 B等于（ ） A B C D 或 【分析】 由正弦定理可得， 可得 ，结合 b a 可得， 从而可求 B 【解答】 解：由正弦定理可得， = = b a 故选 B 【点评】 本题主要考查例正弦定理在解三角形中的应用，注意不要漏掉了大边对大角的考虑，不然会错写完 B= 10在 ABC 中， a=x， b=2， B=45，若此三角形有两解，则 x 的取值范围是（ ） A x 2 B x

16、2C D 【分析】 利用正弦定理和 b 和 sinB 求得 a 和 sinA 的关系，利用 B 求得 A+C；要使三角形两个这两个值互补先看若 A 45，则和 A 互补的角大于 135进而推断出 A+B 180与三角形内角和矛盾；进而可推断出 45 A 135若 A=90，这样补角也是 90，一解不符合题意进而可推断出 sinA 的范围，利用 sinA 和 a 的关系第 9 页（共 16 页） 求得 a 的范围 【解答】 解： = =2 a=2 sinA A+C=180 45=135 A 有两个值，则这两个值互补 若 A 45，则 C 90， 这样 A+B 180，不成立 45 A 135 又

17、若 A=90，这样补角也是 90，一解 所以 sinA 1 a=2 sinA 所以 2 a 2 故选 C 【点评】 本题主要考查了正弦定理的应用考 查了学生分析问题和解决问题的能力 二填空题（共 1 小题） 11（文）在 ABC 中， A=60， b=1， ABC 的面积为 ，则的值为 2 【分析】 先利用面积公式，求出边 a=2，再利用正弦定理求解比值 【解答】 解：由题意， c=2 a2=b2+c2 2bccosA=3 a= 故答案为 2 【点评】 本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解 第 10 页（共 16 页） 三解答题（共 7

18、小题） 12在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c已 知 a b， c= ， cos2A cos2B= sinAcosA sinBcosB （ 1）求角 C 的大小； （ 2）求 ABC 的面积的最大值 【分析】 （ 1）利用二倍角公式、两角和差的正弦公式化简已知的式子，再由内角的范围求出角 C； （ 2）由余弦定理和条件列出方程化简，利用基本不等式求出 ab 的范围，代入三角形的面积公式可求出 ABC 面积的最大值 【解答】 解：（ 1） cos2A cos2B= sinAcosA sinBcosB， = ， 则 cos2A cos2B= （ sin2A sin2B）， 即 sin2B cos2B= sin2A cos2A， sin（ ） =sin（ ） a b，且 A、 B （ 0， ）， A B，则 ， ，解得 A+B= ， C= A B= ； （ 2）由（ 1）知， C= ，且 c= ， 由余弦定理得， c2=a2+b2 2abcosC， 则 3=a2+b2 ab，即 a2+b2=ab+3 2ab， 解得 ab 3， ABC 的面积 S= = ab ， 故 ABC 的面积的最大值是 【点评】 本题考查了余弦定理，二倍角公式、两角和差的正弦公式，以及三角形的面积公 式，基本不等式求最值问题，注意三角形内角的范围，属于中档题