1、挑战中考系列 (数学 ) 1 第一部分 函数图象中点的存在性问题 1 1 因动点产生的相似三角形问题 1 2 因动点产生的等腰三角形问题 1 3 因动点产生的直角三角形问题 1 4 因动点产生的平行四边形问题 1 5 因动点产生的面积问题 1 6因动点产生的相切问题 1 7 因动点产生的线段和差问题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 2 1 由比例线段产生的函数关系问题 第三部分 图形运动中的计算说理问题 3 1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 3 2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分 图形的平移、翻折与旋转 4 1 图形的平移 4 2 图形的翻折 4 3 图形的旋转 4 4
2、 三角形 4 5 四边形 4 6 圆 4 7 函数的图象及性质 1 1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验如果已知 A D，探求 ABC 与 DEF 相似，只要把夹 A 和 D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 AB DEAC DF 和 AB DFAC DE 两种情况列方程 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对
3、应角相等 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错理解 记忆比较好 如图 1，如果已知 A、 B 两点的坐标，怎样求 A、 B 两点间的距离呢？ 我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边 AB 的长了水平距离 BC 的长就是 A、 B 两点间的水平距离，等于 A、 B 两点的横坐标相减；竖直距离 AC 就是 A、 B 两点间的竖
4、直距离，等于 A、 B 两点的纵坐标相减 图 1 图 1 图 2 例 1 湖南省衡阳市中考第 28 题 二次函数 y ax2 bx c（ a 0）的图象与 x 轴交于 A( 3, 0)、 B(1, 0)两点，与 y 轴交于点 C(0, 3m)（ m 0），顶点为 D（ 1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）； （ 2）如图 1，当 m 2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设 APC 的面积为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值； 挑战中考系列 (数学 ) 2 （ 3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、 D、 C 三点为顶点的三
5、角形与 OBC 相似？ 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P运动到 AC 的中点的正下方时， APC 的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动 ，抛物线的形状会改变，可以体验到， ACD 和 ADC 都可以成为直角 思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP， APC 可以割补为： AOP 与 COP 的和，再减去 AOC 3讨论 ACD 与 OBC 相似，先确定 ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在两种情况 图文解析 （ 1）因为抛物线与 x 轴交于 A( 3, 0)、 B
6、(1, 0)两点，设 y a(x 3)(x 1) 代入点 C(0, 3m)，得 3m 3a解得 a m 所以该二次函数的解析式为 y m(x 3)(x 1) mx2 2mx 3m （ 2）如图 3，连结 OP当 m 2 时， C(0, 6)， y 2x2 4x 6，那么 P(x, 2x2 4x 6) 由于 S AOP 1 ()2POA y 32 (2x2 4x 6) 3x2 6x 9， S COP 1 ()2POC x 3x， S AOC 9，所以 S S APC S AOP S COP S AOC 3x2 9x 23 273( )24x 所以当 32x 时， S 取得最大值，最大值为 274
7、 图 3 图 4 图 5 图 6 （ 3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F 由 y m(x 3)(x 1) m(x 1)2 4m，得 D( 1, 4m)在 Rt OBC 中， OB OC 1 3m 如果 ADC 与 OBC 相似，那么 ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 1 3m 如图 4，当 ACD 90时， OA OCEC ED 所以 331mm 解得 m 1 此时 3CA OCCD ED， 3OCOB 所以 CA OCCD OB 所以 CDA OBC 如图 5，当 ADC 90时， FA FDED EC 所以 421m m
8、 解得 22m 此时 2 22D A F DD C E C m ， 而 323 2OC mOB 因此 DCA 与 OBC 不相似 综上所述，当 m 1 时， CDA OBC 考点伸展 第（ 2）题还可以这样割补： 如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H 由直线 AC： y 2x 6，可得 H(x, 2x 6)又因为 P(x, 2x2 4x 6)，所以 HP 2x26x因为 PAH 与 PCH 有 公共底边 HP，高的和为 A、 C 两点间的水平距离 3，所以 挑战中考系列 (数学 ) 3 S S APC S APH S CPH 32( 2x2 6x) 23 273( )24x
9、 例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1， 在直角梯形 ABCD 中， AB/CD， AD AB， B 60， AB 10， BC 4，点 P沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP x 21cnjy（ 1）求 AD 的长； （ 2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、 P、 D 为顶点的三角形与以 P、 C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由； 图 1 （ 3）设 ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为 S1、 S2，若 S S1S2，求 S 的最小 值 . 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 益阳 21”，拖动点 P
10、在 AB 上运动，可以体验到，圆心 O 的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段观察 S 随点 P 运动的图象，可以看到， S有最小值，此时点 P 看上去象是 AB 的中点，其实离得很近而已 思路点拨 1第（ 2）题先确定 PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似 2第（ 3）题理解 PCB 的外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上而 BP 与 AP 是相关的，这样就可以以 AP 为自变量，求 S 的函数关系式 图文解析 （ 1）如图 2，作 CH AB 于 H，那么 AD CH 在 Rt BCH 中， B 60
11、， BC 4，所 以 BH 2， CH 23所以 AD 23 （ 2）因为 APD 是直角三角形，如果 APD 与 PCB 相似，那么 PCB 一定是直角三角形如图 3，当 CPB 90时， AP 10 2 8 所以 APAD 823 433 ， 而 PCPB 3 此时 APD 与 PCB 不相似 图 2 图 3 图 4 如图 4，当 BCP 90时， BP 2BC 8所以 AP 2 所以 APAD 223 33 所以 APD 60此时 APD CBP 综上所述，当 x 2 时， APD CBP （ 3）如图 5，设 ADP 的外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点设 PCB 的
12、外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与 BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP 2m作 OM BP 于 M，那么 BM PM 5 m在 Rt BEF 中， BE 2， B 60，所以 BF 4在 Rt OFM 中，FM BF BM 4 (5 m) m 1， OFM 30，所以 OM 3( 1)3 m 所以 OB2 BM2 OM2 221(5 ) ( 1)3mm 在 Rt ADP 中， DP2 AD2 AP2 12 4m2所以 GP2 3 m2于是 S S1 S2 (GP2 OB2) 2 2 213 ( 5 ) ( 1 )3m m m 挑战中考系列 (数
13、学 ) 4 2(7 32 85)3 mm 所以当 167m 时， S 取得最小值，最小值为 1137 图 5 图 6 考点伸展 关于第（ 3）题，我们再讨论个问题 问题 1，为什么设 AP 2m 呢？ 这是因为线段 AB AP PM BM AP 2BM 10 这样 BM 5 m，后续可以减少一些分数运算这不影响求 S 的最小值 问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上， S 关于 m 的解析式是什么？ 如图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线上时，不同的是 FM BM BF (5 m) 4 1 m 此时 OB2 BM2 OM2 221(5 ) (1 )3mm 这并不影响 S 关于 m
14、 的解析式 例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题 如图 1， 已知直线 y x 3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两 点，抛物线 y x2 bx c经过 A、 B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以 每 秒 1 个单位的速度匀速运动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以 每 秒 2 个单位的速度匀速运动，连结 PQ，设运动时间为 t 秒（ 1）求抛物线的解析式； （ 2）问：当 t 为何值时， APQ 为直角三角形； （ 3）过点 P 作 PE/y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/y 轴，交抛物线于点F，连
15、结 EF，当 EF/PQ 时，求点 F 的坐标； （ 4）设抛物线顶点为 M，连 结 BP、 BM、 MQ，问： 是否存在 t 的值，使以B、 Q、 M 为顶点的三角形与以 O、 B、 P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不存在，请说明理由 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名 “15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验到， APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形， MBQ 与 BOP 有一次机会相似 思路点拨 1在 APQ 中， A 45，夹 A 的两条边 AP、 AQ 都可以用 t 表示，分两种情况讨论直角
16、三角形 APQ 2 先用含 t 的式子表示点 P、 Q 的坐标，进而表示点 E、 F 的坐 标，根据PE QF 列方程就好了 3 MBQ 与 BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论 图文解析 （ 1） 由 y x 3，得 A(3, 0)， B(0, 3) 将 A(3, 0)、 B(0, 3)分别代入 y x2 bx c，得 9 3 0,3. bcc 解得 2,3.bc所以抛物线的解析式为 y x2 2x 3 （ 2） 在 APQ 中， PAQ 45， AP 3 t， AQ 2 t分两种 情况讨论直角三角形 APQ： 当 PQA 90时， AP 2 AQ解方程 3 t 2t，
17、得 t 1（如图 2） 当 QPA 90时， AQ 2 AP解方程 2 t 2 (3 t)，得 t 1.5（如图 3） 挑战中考系列 (数学 ) 5 图 2 图 3 图 4 图 5 （ 3）如图 4，因为 PE/QF， 当 EF/PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EP FQ所以 yE yP yF yQ因为 xP t， xQ 3 t，所以 yE 3 t， yQ t， yF (3 t)2 2(3 t) 3 t2 4t因为 yE yP yF yQ，解方程 3 t ( t2 4t) t，得 t 1，或 t 3（舍去）所以点 F 的坐标为 (2, 3) （ 4） 由 y x2 2x 3 (
18、x 1)2 4，得 M(1, 4) 由 A(3, 0)、 B(0, 3)，可知 A、 B两点间的水 平距离、竖直距离相等， AB 3 2 由 B(0, 3)、 M(1, 4)，可知 B、 M两点间的水平距离、竖直距离相等， BM 2 所以 MBQ BOP 90因此 MBQ与 BOP相似存在两种可能： 当 BM OBBQ OP时， 233 2 2 tt 解得 94t （如图 5） 当 BM OPBQ OB时， 233 2 2 tt 整理， 得 t2 3t 3 0此方程无实根 考点伸展 第（ 3）题也可以用坐标平移的方法 ：由 P(t, 0)， E(t, 3 t)， Q(3 t, t)，按照 PE
19、 方向，将点 Q 向上平移，得 F(3 t, 3)再将 F(3 t, 3)代入 y x2 2x 3，得 t 1，或t 3 1 2 因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题： 1已知线段 AB 5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB 6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果 ABC 是等
20、腰三角形，那么存在 AB AC， BA BC， CA CB 三种情况 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快 几何法一般分三步：分类、画图、计算 哪些题目适合用几何法呢 ？ 如果 ABC 的 A（的余弦值）是确定的，夹 A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法如图 1，如果 AB AC，直接列方程；如图 2，如果 BA BC，那么 1 cos2 AC AB A；如图 3，如果 CA CB，那么 1 cos2 AB AC A 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的，
21、而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 挑战中考系列 (数学 ) 6 图 1 图 2 图 3 图 1 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 如图 1，抛物线 y ax2 bx c（ a、 b、 c 是常数， a 0）的对称轴为 y 轴，且经过 (0,0)和 1( , )16a两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 A(0, 2) （ 1）求 a、 b、 c 的值；（ 2）求证：在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交；（ 3）设 P与 x 轴相交于 M(x1, 0)、 N(x2, 0)两
22、点，当 AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到，圆与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在五种情况 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来 P 在 x 轴上截得的弦长 MN 4 是定值 2等腰三角形 AMN 存在五种情况，点 P 的纵坐标有三个值，根据对称性， MA MN和 NA NM 时，点 P 的纵坐标是相等的 图文解析 （ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0)，所以 y ax2所以 b 0， c 0 将 1( , )16a代入 y ax2，得 2116a解得 14a（舍去了负值）
23、（ 2）抛物线的解析式为 214yx，设点 P 的坐标为 21( , )4xx 已知 A(0, 2)，所以 2 2 2 411( 2 ) 44 1 6P A x x x 214x 而圆心 P 到 x 轴的距离为 214x，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离 所以在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交 （ 3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN 在 Rt PMH 中， 2 2 41 416P M P A x ， 2 2 411()4 16PH x x，所以 MH2 4 所以 MH 2因此 MN 4，为定值等腰 AMN 存在三种情况：如图 3，当 AM A
24、N时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0 图 2 图 3 图 4 图 5 如图 4，当 MA MN 时 ，在 Rt AOM 中， OA 2， AM 4，所以 OM 2 3 此时 x OH 2 32 所以点 P 的纵坐标为 2 2 211 ( 2 3 2 ) ( 3 1 ) 4 2 344x 如图 5，当 NA NM 时，根据对称性，点 P 的纵坐标为也为 4 2 3 如图 6，当 NA NM 4 时，在 Rt AON 中， OA 2， AN 4，所以 ON 2 3 挑战中考系列 (数学 ) 7 此时 x OH 2 32 所以点 P 的纵坐标为 2 2 211 ( 2 3 2
25、) ( 3 1 ) 4 2 344x 如图 7，当 MN MA 4 时，根据对称性，点 P 的纵坐标也为 4 2 3 图 6 图 7 考点伸展 如果 点 P 在抛物线 214yx上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点 B(0, 1)，那么在点 P 运动的过程中， P 始终与直线 y 1 相切这是 因为： 设点 P 的坐标为 21( , )4xx已知 B(0, 1)，所以 2 2 2 2 2 21 1 1( 1 ) ( 1 ) 14 4 4P B x x x x 而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为 21 14x，所以半径 PB圆心 P 到直线 y 1 的距离所以在点 P 运动的过程中，
26、P 始终与直线 y 1 相切 例 10 2014 年湖南省张家界市中考第 25 题 如图 1， 在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，抛物线 y ax2 bx c（ a 0）过 O、 B、 C 三点， B、 C 坐标分 别为 (10, 0)和 18 24( , )55 ，以 OB 为直径的 A 经过 C点，直线 l 垂直 x 轴于 B 点（ 1）求直线 BC 的解析式；（ 2）求抛物线解析式及顶点坐标； （ 3）点 M 是 A 上一动点（不同于 O、 B），过点 M作 A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F，设线段ME 长为 m， MF 长为 n，请猜想 mn 的值，并证明你的结
27、论； （ 4）若点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速度向点 B作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速度向点 C 作直线运动，经过 t（ 0 t 8）秒时恰好使 BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的 t 值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 张家界 25”，拖动点 M 在圆上运动，可以体验到， EAF 保持直角三角形的形状， AM 是斜边上的高拖动点 Q 在 BC 上运动，可以体验到， BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨 1从直线 BC 的解析式可以得到 OBC 的三角比，为讨论等腰三 角形 BPQ 作铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便 3第（
28、3）题连结 AE、 AF 容易看到 AM是直角三角形 EAF 斜边上的高 4第（ 4）题的 PBQ 中， B 是确定的，夹 B 的两条边可以用含 t 的式子表示分三种情况讨论等腰三角形 图文解析 （ 1）直线 BC 的解析式 为 3 1542yx （ 2） 因为抛物线与 x 轴交于 O、 B(10, 0)两点，设 y ax(x 10)代入点 C 18 24( , )55 ，得 24 18 32()5 5 5a 解得 524a 挑战中考系列 (数学 ) 8 所以 225 5 2 5 5 1 2 5( 1 0 ) ( 5 )2 4 2 4 1 2 2 4 2 4y x x x x x 抛物线的顶点
29、为 125(5, )24 （ 3）如图 2，因为 EF 切 A 于 M，所以 AM EF由AE AE， AO AM，可得 Rt AOE Rt AME 所以 1 2同理 3 4于是可得 EAF 90 所以 5 1由 tan 5 tan 1，得 MA MEMF MA 所以 MEMF MA2，即 mn 25 图 2 （ 4） 在 BPQ 中， cos B 45 ， BP 10 t， BQ t分三种情况讨论等腰三角形 BPQ： 如图 3，当 BP BQ 时， 10 t t解得 t 5 如图 4，当 PB PQ 时， 1 cos2 BQ BP B解方程 14(10 )25tt，得 8013t 如图 5，
30、当 QB QP 时， 1 cos2 BP BQ B解方程 14(10 )25tt，得 5013t 图 3 图 4 图 5 图 6 考点伸展 在第（ 3）题条件下，以 EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点 A 如图 6，这是因为 AG 既是直角三角形 EAF 斜边 上的中线，也是直角梯形 EOBF 的中位线，因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以 G 与 x 轴相切于点 A 例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第 26题 在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 (m n)x mn（ m n）与 x 轴相交于 A、 B 两点（点A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C （ 1）
31、若 m 2， n 1，求 A、 B 两点的坐标； （ 2）若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧， C 点坐标是 (0, 1)，求 ACB 的大小； （ 3）若 m 2， ABC 是等腰三角形，求 n 的值 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（ 2），拖动点 A 在 x 轴正半轴上运动，可以体验到， ABC 保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（ 3），拖动点 B 在 x 轴上运动，观察 ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到，等腰三角形 ABC 有 4 种情况 思路点拨 1抛物线的解析式可以化为交点式，用 m， n 表示点 A、 B
32、、 C 的坐标 2第（ 2）题判定直角三角形 ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角比 3第（ 3）题讨论等腰三角形 ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程 图文解析 （ 1） 由 y x2 (m n)x mn (x m)(x n)，且 m n， 点 A 位于点 B 的右侧 ，可知 A(m, 0)， B(n, 0) 若 m 2， n 1，那么 A(2, 0)， B(1, 0) 挑战中考系列 (数学 ) 9 （ 2）如图 1， 由于 C(0, mn)，当 点 C 的 坐标是 (0, 1)， mn 1， OC 1 若 A、 B 两点分别位于 y 轴的两侧，那么 OAOB m
33、( n) mn 1所以 OC2 OAOB所以 OC OBOA OC 所以 tan 1 tan 2所以 1 2又因为 1 与 3 互余，所以 2 与 3 互余 所以 ACB 90 （ 3） 在 ABC 中，已知 A(2, 0)， B(n, 0)， C(0, 2n) 讨论等腰三角形 ABC，用代数法解比较方便：由两点间的距离公式，得 AB2 (n 2)2，BC2 5n2， AC2 4 4n2当 AB AC 时，解方程 (n 2)2 4 4n2，得 43n（如图 2） 当 CA CB 时，解方程 4 4n2 5n2，得 n 2（如图 3），或 n 2（ A、 B 重合，舍去） 当 BA BC 时，解
34、方程 (n 2)2 5n2，得 512n （如图 4）， 或 512n （如图 5） 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 考点伸展 第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理 由于 C(0, mn)，当 点 C 的 坐标是 (0, 1)， mn 1 由 A(m, 0)， B(n, 0)， C(0, 1)，得 AB2 (m n)2 m2 2mn n2 m2 n2 2， BC2 n2 1， AC2 m2 1 所以 AB2 BC2 AC2 于是得到 Rt ABC， ACB 90 第（ 3）题在讨论等腰三角形 ABC 时，对于 CA CB 的情况，此时 A、 B 两点关于 y 轴对称，可以直接写出
35、 B( 2, 0)， n 2 例 12 2014 年湖南省娄底市中考第 27题 如图 1，在 ABC 中， ACB 90， AC 4cm， BC 3cm如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q由点 A 出发沿 AC方向向点 C匀速运动，它们的速度均为 1cm/s连结 PQ，设运动时间为 t（ s）（ 0 t 4），解答下列问题：（ 1）设 APQ 的面积为 S，当 t 为何值时， S 取得最大值 ？ S 的最大值是多少？（ 2）如图 2，连结 PC，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQPC，当四边形 PQPC 为菱形时，求 t 的值；（ 3）当 t 为何值
36、时， APQ 是等腰三角形？ 图 1 图 2 图 3 图 4 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 娄底 27”，拖动点 Q 在 AC 上运动，可以体验到，当点 P 运动到 AB 的中点时， APQ 的面积最大，等腰三角形 APQ 存在三种情况还可以挑战中考系列 (数学 ) 10 体验到，当 QC 2HC 时，四边 形 PQPC 是菱形 思路点拨 1在 APQ 中， A 是确定的，夹 A 的两条边可以用含 t 的式子表示 2四边形 PQPC 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形， 图文解析 （ 1）在 Rt ABC中， AC 4， BC 3， 所以 AB 5， sinA 35， c
37、osA 45 作 QD AB 于 D，那么 QD AQ sinA 35t所以 S S APQ 12AP QD 13(5 )25tt23 ( 5 )10 tt 23 5 15( ) +10 2 8t 当 52t 时， S 取得最大值，最大值为 158 （ 2）设 PP与 AC 交于点 H，那么 PP QC， AH APcosA 4(5 )5 t 如果四边形 PQPC 为菱形，那么 PQ PC所以 QC 2HC 解方程 44 2 4 (5 )5tt ，得 2013t （ 3）等腰三角形 APQ 存在三种情况： 如图 5，当 AP AQ 时， 5 t t解得 52t 如图 6，当 PA PQ 时，1
38、 cos2 AQ AP A 解方程 14(5 )25tt，得 4013t 如图 7，当 QA QP时， 1 cos2 AP AQ A 解方程 14(5 )25tt 得 2513t 图 5 图 6 图 7 图 8 考点伸展 在本题情境下，如果点 Q 是 PPC 的重心，求 t 的值如图 8，如果点 Q 是PPC 的重心，那么 QC 23 HC解方程 244 4 (5 )35tt ，得 6023t 例 13 2015 年 湖南省怀化市 中考第 22题 如图 1， 已知 Rt ABC中， C 90， AC 8， BC 6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从A 向 C运动，同时点 Q 以每秒 2 个单
39、位的速度从 A B C方向运动，它们到 C点后都停止运动，设点 P、 Q 运动的时间为 t 秒 （ 1）在运动过程中，求 P、 Q两点间距离的最大值； （ 2）经过 t 秒的运动，求 ABC被直线 PQ扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （ 3） P， Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得 PQC 为等腰三角形若存在，求出此时的 t 值，若不存在，请说明理由 （ 24.25 ，结果保留一位小数） 动感体验 请打开几何画板文件名 “ 15 怀化 22” ，拖动点 P 在 AC 上运动， 可以体验到， PQ与 BD 保持平行，等腰三角形 PQC 存在三种情况 思路点拨 1过点 B 作 QP 的平行线交 AC 于 D，那么 BD 的长就是 PQ 的最大值 2线段 PQ 扫过的面积 S 要分两种情况讨论，点 Q 分别在 AB、 BC 上 3等腰三角形 PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长
