1、 第 1 页（共 14 页） 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）北京 本试卷共 5 页， 150 分。考试试卷 120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（共 40 分，每小题 5 分） 1.已知集合 | 2 , 2 , 0 ,1, 2A x x B ,则 AB （ ） A. 0,1 B. -1,0,1 C. -2,0,1,2 D. -1,0,1,2 2.在复平面内，复数 11i 的共轭复数对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.执行如图所示的程序框图，输出
2、的 S 值为 （ ） 第 2 页（共 14 页） A. 12 B. 56 C. 76 D. 712 4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于 122 ，若第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为 （ ） A. 2f B. 3 22f C. 1252f 第 3 页（共 14 页） D. 1272f 5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3
3、D. 4 6.设 ,ab均为单位向量，则“ 33a b a b ”是“ ab ”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.在平面直角坐标系中，记 d 为点 cos ,sinP 到直线 20x my 的距离，当 ,m变化时， d 的最大值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 第 4 页（共 14 页） D. 4 8.设集合 , | 1 , 4 , 2A x y x y a x y x a y ，则（ ） A. 对任意实数 a ， 2,1 A B. 对任意实数 a ， 2,1 A C. 当且仅当 0a 时， 2,1 A D.
4、 当且仅当 32a 时， 2,1 A 二、填空题 （ 本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 ） 9设 na 是等差数列， 且 1 2 53, 36a a a ，则 na 的通项公式为 _. 10.在极坐标系中，直线 c o s sin 0aa 与圆 2cos 相切，则 a =_. 11.设函数 c o s 06f x wx w ，若 4f x f 对任意的实数 x 都成立，则w 的最小值为 _. 12.若 ,xy满足 12x y x ,则 2yx 的最小值是 _. 13.能说明“若 0f x f 对任意的 0,2x 都成立，则 fxf 在 0,2 上是增函数”为假命题的一个函数是
5、_. 14.已知椭圆 22: 1 0xyM a bab ,双曲线 22:1xyNmn. 若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率 _；双曲线 N 的离心率为 _. 第 5 页（共 14 页） 三、综合题： 15.（本小题 13 分）在 ABC 中， 17, 8, cos 7a b B （ 1）求 A ; （ 2）求 AC 边上的高 . 16.（本小题 14 分） 如图，在三菱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1CC 平面 ABC , , , ,DEFG 分别 1 1 1 1, , ,AA AC A C BB的中点， 1
6、5 , 2A B B C A C A A 。 （ 1）求证： AC 平面 BEF ; （ 2）求二面角 1B CD C的余弦值 ; （ 3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交。 17.（本小题 12 分） 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表 : （ 1）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； 第 6 页（共 14 页） （ 2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； （ 3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用 “ 1“k 表示第 k 类电影得到人们喜欢， “ 0“
7、k 表示第 k 类电影没有得到人们喜欢 1,2,3,4,5,6k ,写出方差 1 2 3 4 5 6, , , , ,D D D D D D 的大小关系。 18.（本小题 13 分） 设函数 2 4 1 4 3 xf x ax a x a e . （ 1）若曲线 y f x 在点 1, 1f 处的切线与 x 轴平行 ,求 a ; (2)若 fx在 2x 处取得最小值，求 a 的取值范围。 19.（本小题 14 分） 已知抛物线 2:2C y px 经过点 1,2P ,过点 0,1Q 的直线 l 与抛物线 C 有两个不同的交点 ,AB,且直线 PA 交 y 轴于 M ，直线 PB 交 y 轴于
8、N . (1)求直线 l 的斜率的取值范围； (2)设 o 为原点， ,Q M Q O Q N Q O，求证： 11u 为定值 . 20.(本小题 14 分 ) 设 n 为正整数，集合 12| , , , , 0 ,1 , 1 , 2 ,nkA t t t t k n ,对于集合 A 中的任意元素 12, , , nx x x 和 12, , , ny y y ,记 1 1 1 1 2 2 2 21, 2 n n n nM x y x y x y x y x y x y 第 7 页（共 14 页） (1)当 3n 时，若 1,1,0 ， 0,1,1 ，求 , , ,MM 的 值； (2)当 4
9、n 时，设 B 是 A 的子集，且满足；对于 B 中的任意元素 ,，当 ,相同时， ,M 是奇数，当 ,不同时， ,M 是偶数，求集合 B 中元素个数的最大值 ； (3)给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足；对于 B 中的任意两个不同的元素 ,， , 0,M 写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由。 第 8 页（共 14 页） 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 参考答案 数学（理）北京 一、选择题 1.A 2.D 3.B 4. D 5.C 6.C 7.C 8.D 二、填空题 9. 63nan 10. 12 11. 23 12. 3 13. sinf x x
10、14. 31 2 三、综合题： 15.（ 1）在 ABC 中， 1cos 7B B 为钝角 2 43sin 1 c o s 7BB 由正弦定理 ,sin sinabAB 且 7, 8ab 得 3sin2A第 9 页（共 14 页） 3A （ 2）过点 B 作 BD AC，即 BD 为 AC 边上的高 又在 ABC 中 ， 33s in s in s in c o s c o s s in B14C A B A B A 又 sin BDC BC 3 3 3 3sin 71 4 2B D B C C AC 边上的高为 33216.（ 1）由题意可知： 1CC 面 ABC， E、 F 分别为 AC,
11、 11AC 的中点 EF EF面 ABC AC 面 ABC EF AC AB=BC， E 为中点 BE AC ,BE EF E AC面 BEF （ 2）由题意可知，以 E 为坐标原点，分别以 EA,EB,EF 为 x 轴， y 轴， z轴建立直角坐标系 0 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0E A C B 第 10 页（共 14 页） 1 1 11 , 0 , 2 1 , 0 , 2 1 , 0 ,1 0 , 2 , 2A C D B， ， ， 易知 BE面 11ACCA 设面 1CCD 的法向量 0,1,0m 设面 BCD 的法向量 ,n
12、x y z 1, 2 , 0 , 2 , 0 ,1B C C D 0 2 02 = 00n B C x yxzn C D 令 x=2，则 2, 1, 4n 设二面角 1B CD C的半面角为 ，可知 为钝角 21cos21mnmn 21cos21 （ 3） 0, 2,1 , 0,0, 2GF 0,2, 1FG 由（ 2）可知面 BCD 的法向量 2, 1, 4n 设 FG 与面 BCD 所成的角为 则 2 1 0 5sin105F G mF G m FG 与面 BCD 相交 17.（ 1）电影公司收集电影有 1 4 0 5 0 + 3 0 0 +2 0 0 + 8 0 0 + 5 1 0 = 2 0 0 0 （部） 获得好评第四类电影有 200 0.25=50 （部） 随机选取 1 部电影是获得好评第四类电影概率为 50 =0.025200 （ 2） 法一：第四类好评有 200 0.25=50 （部）
