1、第 1 页（共 20 页） 2017 年上海市黄浦区高考数学一模试卷 一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分 .其中第 1 6 题每题满分 54 分，第7 12 题每题满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 . 1若集合 A=x|x 1| 2， x R，则 A Z= 2抛物线 y2=2x 的准线方程是 3若复数 z 满足 （ i 为虚数单位），则 z= 4已知 sin（ + ） = ， （ ， 0），则 tan= 5以点（ 2， 1）为圆心，且与直线 x+y=7 相切的圆的方程是 6若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 x4 的项的系数是 7已知向量 （
2、 x， y R）， ，若 x2+y2=1，则 的最大值为 8已知函数 y=f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =log2（ x+1）若函数 y=g（ x）是 y=f（ x）的反函数，则 g（ 3） = 9在数列 an中，若对一切 n N*都有 an= 3an+1，且= ，则 a1 的值为 10甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有 11已知点 O， A， B， F 分别为椭圆 的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点 F 作 OB 的平行线，它与椭圆 C 在第一象限部分交于点 P，若 ，则实数 的值为 12已知 为常数）， ，且当
3、x1， x2 1， 4时，总有 f（ x1） g（ x2），则实数 a 的取值范围是 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案， 考第 2 页（共 20 页） 生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 13若 x R，则 “x 1”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 14关于直线 l， m 及平面 ， ，下列命题中正确的是（ ） A若 l ， =m，则 l m B若 l ， m ，则 l m C若 l ， m ，则 l m D若 l ， m l，则 m 15在直角坐标
4、平面内，点 A， B 的坐标分别为（ 1， 0），（ 1， 0），则满足 tan PABtan PBA=m（ m 为非零常数）的点 P 的轨迹方程是（ ） A B C D 16若函数 y=f（ x）在区间 I 上是增函数，且函数 在区间 I 上是减函数，则称函数 f（ x）是区间 I 上的 “H 函数 ”对于命题： 函数 是（ 0，1）上的 “H 函数 ”； 函数 是（ 0， 1）上的 “H 函数 ”下列判断正确的是（ ） A 和 均为真命题 B 为真命题， 为假命题 C 为假命题， 为真命题 D 和 均为假命题 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号
5、的规定区域内写出必要的步骤 17在三棱锥 P ABC 中，底面 ABC 是边长为 6 的正三角形， PA 底面 ABC，且PB 与 底面 ABC 所成的角为 （ 1）求三棱锥 P ABC 的体积； （ 2）若 M 是 BC 的中点，求异面直线 PM与 AB 所成角的大小（结果用反三角函第 3 页（共 20 页） 数值表示） 18已知双曲线 C 以 F1（ 2， 0）、 F2（ 2， 0）为焦点，且过点 P（ 7， 12） （ 1）求双曲线 C 与其渐近线的方程； （ 2）若斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C 相交于 A， B 两点，且 （ O 为坐标原点）求直线 l 的方程 19现有半径为
6、R、圆心角（ AOB）为 90的扇形材料，要裁剪出一个五边形工件 OECDF，如图所示其中 E， F 分别在 OA， OB 上， C， D 在 上，且 OE=OF，EC=FD， ECD= CDF=90记 COD=2，五边形 OECDF 的面积为 S （ 1）试求 S 关于 的函数关系式； （ 2）求 S 的最大值 20已知集合 M 是满足下列性质的函数 f（ x）的全体：在定义域内存在实数 t，使得 f（ t+2） =f（ t） +f（ 2） （ 1）判断 f（ x） =3x+2 是否属于集合 M，并说明理由； （ 2）若 属于集合 M，求实数 a 的取值范围； （ 3）若 f（ x） =2x
7、+bx2，求证：对任意实数 b，都有 f（ x） M 21已知数列 an， bn满足 bn=an+1 an（ n=1， 2， 3， ） （ 1）若 bn=10 n，求 a16 a5 的值； （ 2）若 且 a1=1，则数列 a2n+1中第几项最小？请说明理第 4 页（共 20 页） 由； （ 3）若 cn=an+2an+1（ n=1， 2， 3， ），求证： “数列 an为等差数列 ”的充分必要条件是 “数列 cn为等差数列且 bn bn+1（ n=1， 2， 3， ） ” 第 5 页（共 20 页） 2017 年上海市黄浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有 12
8、题，满分 54 分 .其中第 1 6 题每题满分 54 分，第7 12 题每题满分 54 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 . 1若集合 A=x|x 1| 2， x R，则 A Z= 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 化简集合 A，根 据交集的定义写出 A Z 即可 【解答】 解：集合 A=x|x 1| 2， x R =x| 2 x 1 2， x R =x| 1 x 3， x R， 则 A Z=0， 1， 2 故答案为 0， 1， 2 2抛物线 y2=2x 的准线方程是 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先根据抛物线方程求得 p，进而根据抛物线的性质，求得答案
9、 【解答】 解：抛物线 y2=2x， p=1， 准线方程是 x= 故答案为： 3若复数 z 满足 （ i 为虚数单位），则 z= 1+2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解：由 ， 得 z=1+2i 第 6 页（共 20 页） 故答案为： 1+2i 4已知 sin（ + ） = ， （ ， 0），则 tan= 2 【考点】 运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系 【分析】 由 （ ， 0） sin（ + ） = ，利用诱导公式可求得 cos，从而可求得 sin 与 tan 【解答】 解 ： sin（ + ） =cos，
10、sin（ + ） = ， cos= ， 又 （ ， 0）， sin= ， tan= = 2 故答案为： 2 5以点（ 2， 1）为圆心，且与直线 x+y=7 相切的圆的方程是 （ x 2） 2+（ y+1）2=18 【考点】 圆的切线方程 【分析】 由点到直线的距离求出半径，从而得到圆的方程 【解答】 解：将直线 x+y=7 化为 x+y 7=0， 圆的半径 r= =3 ， 所以圆的方 程为（ x 2） 2+（ y+1） 2=18 故答案为（ x 2） 2+（ y+1） 2=18 6若二项式 的展开式共有 6 项，则此展开式中含 x4 的项的系数是 10 【考点】 二项式定理的应用 【分析】
11、根据题意求得 n=5，再在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于第 7 页（共 20 页） 4，求得 r 的值，可得展开式中含 x4 的项的系数 【解答】 解： 二项式 的展开式共有 6 项，故 n=5， 则此展开式的通项公式为 Tr+1= （ 1） rx10 3r，令 10 3r=4， r=2， 中含 x4 的项的系数 =10， 故答案为： 10 7已知向量 （ x， y R）， ，若 x2+y2=1，则 的最大值为 +1 【考 点】 向量的模 【分析】 利用 +r 即可得出 【解答】 解：设 O（ 0， 0）， P（ 1， 2） = +r= +1= +1 的最大值为 +1 故答案为：
12、 8已知函数 y=f（ x）是奇函数，且当 x 0 时， f（ x） =log2（ x+1）若函数 y=g（ x）是 y=f（ x）的反函数，则 g（ 3） = 7 【考点】 反函数 【分析】 根据反函数与原函数的关系，可知反函数的定义域是原函数的值域，即可求解 【解答】 解： 反函数与原函数具有相同的奇偶性 g（ 3） = g（ 3）， 反函数的定义域是原函数的值域， log2（ x+1） =3， 解得： x=7， 即 g（ 3） =7， 故得 g（ 3） = 7 第 8 页（共 20 页） 故答案为： 7 9在数列 an中，若对一切 n N*都有 an= 3an+1，且= ，则 a1 的值
13、为 12 【考点】 数列的极限 【分析】 由题意可得数列 an为公比为 的等比数列，运用数列极限的运算，解方程 即可得到所求 【解答】 解：在数列 an中，若对一切 n N*都有 an= 3an+1， 可得数列 an为公比为 的等比数列， = ， 可得 = = = = ， 可得 a1= 12 故答案为： 12 10甲、乙两人从 6 门课程中各选修 3 门则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有 200 【考点】 排列、组合及简单计数问题 【分析】 根据题意，甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同，其包含两种情况： 甲乙所选的课程全不相同， 甲乙所选的课程有 1 门相同；分别计算每种情况下
14、的选法数目，相加可得答案 【解答】 解：根据题意，分 两种情况讨论： 甲乙所选的课程全不相同，有 C63 C33=20 种情况， 甲乙所选的课程有 1 门相同，有 C61 C52 C32=180 种情况， 则甲、乙所选的课程中至多有 1 门相同的选法共有 180+20=200 种情况； 故答案为： 200 第 9 页（共 20 页） 11已知点 O， A， B， F 分别为椭圆 的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点 F 作 OB 的平行线，它与椭圆 C 在第一象限部分交于点 P，若 ，则实数 的值为 【考点】 直线与椭圆的位置关系 【分析】 由题意画出图形，求出 的坐标，代入 ，结合隐含条件求
15、得实数 的值 【解答】 解：如图， A（ a， 0）， B（ 0， b）， F（ c， 0）， 则 P（ c， ）， ， ， 由 ，得 ，即 b=c， a2=b2+c2=2b2， 则 故答案为： 12已知 为常数）， ，且当 x1， x2 1， 4时，总有 f（ x1） g（ x2），则实数 a 的取值范围是 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 依题意可知，当 x1， x2 1， 4时， f（ x1） max g（ x2） min，利用对勾第 10 页（共 20 页） 函数的单调性质可求 g（ x2） min=g（ 1） =3；再对 f（ x） =2ax2+2x 中的二次项系数a 分 a=0、
16、 a 0、 a 0 三类讨论，利用函数的单调性质可求得 f（ x）在区间 1，4上的最大值，解 f（ x） max 3 即可求得实数 a 的取值范围 【解答】 解：依题意知，当 x1， x2 1， 4时， f（ x1） max g（ x2） min， 由 “对勾 函数单调性知， =2x+ =2（ x+ ）在区间 1， 4上单调递增， g（ x2） min=g（ 1） =3； =2ax2+2x， 当 a=0 时， f（ x） =2x 在区间 1， 4上单调递增， f（ x） max=f（ 4） =8 3 不成立，故 a 0； f（ x） =2ax2+2x 为二次函数，其对称轴方程为： x= ，
17、当 a 0 时， f（ x）在区间 1， 4上单调递增， f（ x） max=f（ 4） =8 3 不成立，故 a 0 不成立； 当 a 0 时， 1若 1，即 a 时， f（ x）在区间 1， 4上单调递减， f（ x） max=f（ 1） =2a+2 3 恒成立，即 a 时满足题意； 2若 1 4，即 a 时， f（ x） max=f（ ） = 3，解得： a ； 3若 4，即 a 0 时， f（ x）在区间 1， 4上单调递增， f（ x） max=f（ 4） =32a+8 3，解得 a （ ， 0），故不成立， 综合 123知，实数 a 的取值范围是：（ ， 故答案为： 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一
