1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 卷 3 注意事项： 1答题前，考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 。 2 回 答 选择题时 ，选出每 小 题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分， 共 60 分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 A=1,2,3,4， B=2,4,6,8，则 AB中元素的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4
2、 2复平面内表示复数 ( 2 )z i i 的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了 2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 . 根据该折线图，下列结论错误的是 A月接 待游客逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在 7， 8 月 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对于 7 月至 12月，波动性更小，变化比较平稳 4已知 4sin cos 3，则 sin2 = A 79 B 29 C 29 D 79 5设 ,xy满足约束
3、条件 3 2 6 000xyxy ，则 z x y 的取值范围是 A -3， 0 B -3， 2 C 0， 2 D 0， 3 6函数 1( ) s in ( ) c o s ( )5 3 6f x x x 的最大值为 A 65 B 1 C 35 D 15 7函数2sin1 xyxx 的部分图像大致为 A B C D 8 执行 右面 的程序框图，为使输出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为 A 5 B 4 C 3 D 2 9已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A B 34 C 2 D 4 10在正方体 1 1 1 1ABCD
4、A B C D 中， E 为棱 CD 的中点，则 A 11AE DC B 1AE BD C 11AE BC D 1AE AC 11已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的左、右顶点分别为 12,AA，且以线段 12AA 为直径的圆与直线 20bx ay ab 相切，则 C 的离心率为 A 63 B 33 C 23 D 13 12已知函数 2 1 1( ) 2 ( )xxf x x x a e e 有唯一零点，则 a = A 12 B 13 C 12 D 1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13已知向量 ( 2,3), (3, )a b m ，且 ab
5、，则 m = . 14双曲线 222 1( 0)9xy aa 的一条渐近线方程为 35yx ，则 a = . 15 ABC 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc。已知 6 0 , 6 , 3C b c ， 则A =_。 16设函数 1, 0,()2 , 0,xxxfx x 则满足 1( ) ( ) 12f x f x 的 x 的取值范围是 _。 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（ 12 分） 设数列 na 满足 123 (
6、2 1) 2na a n a n . （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）求数列 21nan 的前 n 项和 . 18（ 12 分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位： ）有关如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间 20， 25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10， 15）
7、15， 20） 20， 25） 25， 30） 30， 35） 35， 40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （ 1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； （ 2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 19（ 12 分 ） 如图，四面体 ABCD 中， ABC 是正三角形， AD=CD （ 1）证明： AC BD； （ 2）已知 ACD 是直角三角形， AB=BD若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且
8、 AE EC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 20（ 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 2 2y x mx 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 (0,1).当 m 变化时，解答下列问题： （ 1）能否出现 AC BC 的情况？说明理由； （ 2）证明过 A， B， C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 . 21（ 12 分） 已知函数 2( 1) ln 2x a x a xfx （ 1） 讨论 ()fx的单调性； （ 2） 当 0a 时，证明 3( ) 24fx a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，
9、则按所做的第一题计分。 22 选修 44 ：坐标系与参数方程 （ 10 分） 在 直角坐标 系 xOy 中 ，直线 1l 的参数 方程 为 2,xty kt （ t 为 参数） ， 直线 2l 的 参数方程为 2,xmmy k （ m 为 参数） ，设 1l 与 2l 的 交点为 P ， 当 k 变化 时， P 的 轨迹为曲线 C （ 1） 写出 C 的 普通方程： （ 2 ）以坐标 原点为极点， x 轴 正半 轴 为极轴 建立 极 坐标系 ，设 3l ：(co s sin ) 2 0 ， M 为 3l 与 C 的 交点，求 M 的 极径 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分） 已知
10、函数 ( ) | | | |f x x x （ 1） 求不等式 ()fx 的 解集； （ 2）若 不等式 ()f x x x m 的 解集非空 ， 求 m 的取 值范围 2017年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考答案 一、选择题 1 B 2 C 3 A 4 A 5 B 6 A 7 D 8 D 9 B 10 C 11 A 12 C 二、填空题 13 2 14 5 15 75 16 1( , )4 三、解答题 17 解： （ 1）因为 123 ( 2 1) 2na a n a n ，故当 2n 时， 1 2 13 ( 2 3 ) 2 ( 1 )na a n a n 两式相减得 (2 1
11、) 2nna 所以 2 ( 2)21nann又由题设可得 1 2a 从而 na 的通项公式为 221na n （ 2） 记 21nan 的前 n 项和为 nS 由（ 1）知 2 1 12 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1nan n n n n 则 1 1 1 1 1 1 2.1 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nS n n n 18 解： （ 1）这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 2 16 36 0.690 ，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300瓶的概率的估计值为 0.6 （ 2）当这种酸奶
12、一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 6 4 5 0 4 4 5 0 9 0 0Y ； 若最高气温位于区间 20,25），则 6 3 0 0 2 ( 4 5 0 3 0 0 ) 4 4 5 0 3 0 0Y ； 若最高气温低于 20，则 6 2 0 0 2 ( 4 5 0 2 0 0 ) 4 4 5 0 1 0 0Y 所以， Y 的所有可能值为 900,300， -100 Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20的频率为36 25 7 4 0.890 ，因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8 19 解： （ 1） 取 AC 的中点 O
13、，连结 ,DOBO ， 因为 AD CD ，所以 AC DO 又由于 ABC 是正三角形，故 BO AC 从而 AC 平面 DOB ，故 AC BD （ 2）连结 EO 由（ 1）及题设知 90ADC，所以 DO AO 在 Rt AOB 中， 222BO AO AB 又 AB BD ，所以 2 2 2 2 2 2B O D O B O A O A B B D ，故 90DOB 由题设知 AEC 为直角三角形，所以 12EO AC 又 ABC 是正三角形，且 AB BD ，所以 12EO BD 故 E 为 BD 的中点，从而 E 到平面 ABC 的距离为 D 到平面 ABC 的距离的 12 ，四
14、面体 ABCE 的体积为四面体 ABCD 的体积的 12 ，即四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积之比为 1:1 20 解： （ 1）不能出现 AC BC 的情况，理由如下： 设 12( ,0), ( ,0)A x B x ，则 12,xx满足 2 20x mx ，所以 12 2xx 又 C 的坐标为（ 0,1），故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为121 1 12xx ，所以不能出现 AC BC 的情况 （ 2） BC 的中点坐标为 2 1( , )22x ，可得 BC 的中垂线方程为 221 ()22xy x x O DABCE由（ 1）可得 12x x m ，所以 AB 的中垂
15、线方程为 2mx 联立22,21 ()22mxxy x x 又 22220x mx ，可得,212mxy 所以过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 1( , )22m，半径 2 92mr 故圆在 y 轴上截得的弦长为 222 ( ) 32mr ， 即过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值。 21 解： （ 1） f(x)的定义域为 (0, ) ， 1 ( 1 ) ( 2 1 )( ) 2 2 1 x a xf x a x axx 若 0a ，则当 (0, )x 时， ( ) 0fx ，故 ()fx在 (0, ) 单调递增 若 0a ，则当 1(0, )2x a 时， ( ) 0f
16、x ；当 1( , )2x a 时， ( ) 0fx 故 ()fx在 1(0, )2a 单调递增，在 1( , )2a 单调递 减。 （ 2）由（ 1）知，当 0a 时， ()fx在 12x a 取得最大值，最大值为 1 1 1( ) ln ( ) 12 2 4f a a a 所以 3( ) 24fx a 等价于 1 1 3ln ( ) 1 22 4 4a a a ，即 11ln( ) 1 022aa 设 ( ) ln 1g x x x ，则 1( ) 1gx x 当 (0,1)x 时， ( ) 0gx ；当 (1, )x ， ( ) 0gx 。 所以 ()gx 在（ 0,1）单调递增，在 (
17、1, ) 单调递减。 故当 1x 时， ()gx 取得最大值，最大值为 (1) 0g 所以当 0x 时， ( ) 0gx 从而当 0a 时， 11ln( ) 1 022aa ，即 3( ) 24fx a 22 解： （ 1）消去参数 t 得 1l 的普通方程 1 : ( 2)l y k x；消去参数 m t 得 2l 的普通方程2 1: ( 2)l y xk设 ( , )Pxy ，由题设得 ( 2),1( 2).y k xyxk 消去 k 得 22 4( 0)x y y 所以 C 的普通方程为 22 4( 0)x y y （ 2） C 的极坐标方程为 2 2 2( c o s s i n )
18、4 ( 2 2 , ) 联立 2 2 2(c o s sin ) 4 ,(c o s sin ) 2 0 得 c o s s in 2 (c o s s in ) 故 1tan 3 ，从而 2291co s , sin1 0 1 0 代入 2 2 2(co s sin ) 4 得 2 5 ，所以交点 M 的极径为 5 23 解： （ 1）3, 1,( ) 2 1, 1 2 ,3, 2xf x x xx 当 1x 时， ( ) 1fx 无解； 当 12x 时，由 ( ) 1fx 得， 2 1 1x ，解得 12x； 当 2x 时，由 ( ) 1fx 解得 2x 所以 ( ) 1fx 的解集为 | 1xx （ 2）由 2()f x x x m 得 2| 1 | | 2 |m x x x x ，而 22| 1 | | 2 | | | 1 | | 2 | |x x x x x x x x 235(| | )24x 54 且当 32x 时， 2 5| 1 | | 2 | 4x x x x 故 m 的取值范围为 5( , 4
