二次函数压轴题一基本公式.doc

1、数学优培特训 - 1 - 二 次函数 压轴题 特训 （一） 基本公式 _破解函数压轴题的基础 （ 1） 横线段的长度计算 ：【特点：两端点的 y 标相等，长度 =-xx大 小】。 若 A（ 2,0）， B（ 10,0），则 AB= 。 若 A（ -2,0）， B（ -4,0），则 AB= 。 若 M（ -3,0）， N（ 10,0），则 MN= 。 若 O（ 0,0）， A（ 6,0），则 OA= 。 若 O（ 0,0）， A（ -4,0），则 OA= 。 若 O（ 0,0）， A(t,0),且 A在 O 的右端，则 OA= 。 若 O（ 0,0）， A(t,0),且 A在 O 的右端，则 O

2、A= 。 若 A(-2t,6),B(3t,6),且 A在 B的右端，则 AB= 。 若 A（ 4t,m） ,B(1-2t,m),且 B在 A的左端，则 AB= 。 若 P（ 2m+3,a） ,M(1-m,a),且 P 在 B的右端，则 PM= 。 注意：横线段上任意两点的 y 标是相等的，反之 y 标相等的任意两个点都在横线段上。 （ 2） 纵线段的长度计算 ：【特点：两端点的 x 标相等，长度 =-yy大 小】。 (若 A(0,5)， B（ 0,7），则 AB= 。 若 A（ 0， -4）， B（ 0， -8),则 AB= 。 若 A（ 0,2）， B（ 0， -6），则 AB= 。 若 A

3、（ 0,0）， B（ 0， -9),则 AB= 。 若 A(0,0)， B(0,-6)，则 AB= 。 若 O(0,0)， A(0,t),且 A在 O 的上端，则 OA= 。 若 O（ 0,0） ， A（ 0， t),且 A在 O 的下端，则 OA= 。 若 A（ 6， -4t),B(6,3t),且 A在 B的上端，则 AB= 。 若 M（ m,1-2t),N(m,3-4t),且 M在 N 的下端，则 MN= 。 若 P（ t,3n+2),M(t,1-2n),且 P 在 M 的上端，则 PM= 。 注意：纵线段上任意两点的 x 标是相等的，反之 x 标相等的任意两个点都在纵线段上。 数学优培特

4、训 - 2 - （ 3） 点轴距离 ： 一个点(xy标 标， ）到 x 轴的的距离等于该点的 y 标的绝对值（即y标），到y 轴的距离等于该点的 x 标的绝对值（即x标）。 点（ -4,-3)到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 。 若点 A（ 1-2t,2 23tt)在第一象限，则点 A到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 _。 若点 M（ t,2 43)在第二象限，则点 M 到 x 轴的距离为 ，到 y轴的距离为 。 若点 A（ -t,2t-1)在第三象限，则点 A到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 。 若点 N（ t，2 23 )点在第四象限，则点 N 到 x 轴的距离为

5、，到 y 轴的距离为 。 若点 P（ t ,2 23)在 x 轴上方，则点到轴 的距离为 。 若点（，2 26）在轴下方，则点到轴的距离为 。 若点（，2 45tt）在轴左侧，则点到轴的距离为 。 若点（，）在轴的右侧，则点到轴的距离为 。 若动点（，2）在轴上方，且在 轴的左侧，则点到轴的距离为 ，到轴的距离为 。 11 若动点（，2）在轴上方，且在轴的右侧，则点到轴的距离为 ，到轴的距离为 。 12 若动点（，2 23）在轴下方，且在轴的左侧，则点到轴的距离为 ，到轴的距离为 。 13 若动点（，2）在轴下方，且在轴的右侧，则点到轴的距离为 ，到轴的距离为 。 注意：在涉及抛物线，直线，双

6、曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点在抛物线2 23xx上位于 轴下方 ，轴右侧 的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应x标 标（ 或 y ）的相反数，还是其本身。 （） 中点坐标的计算 ： 数学优培特训 - 3 - 若【（11,xy），（22,），则线段的中点坐标为（1 2 1 2,22x x y y）】 若（，），（，），则 中点为 。 若 M（ 0， -6）， N（ 6， -4），则 MN 的中点坐标为 。 若 P（1-32，）， Q（32，），则 PQ 的中点坐标为 。 若 A(1,2),B(

7、-3,4),且 B为 AM 的中点，则 M 点的坐标为 。 若 A(-1,3),B(0,2),且 A为中点，则点坐标为 。 点（ ,）关于直线的对称点的坐标为 。 点（ ,）关于直线的对称点 的坐标为 _. 点（ ,）关于直线的对称点的坐标为 _。 点（ ,）关于直线的对称点的坐标为 。 点（，）关于直线的对称点的坐标为 。 11 点（，）关于直线的对称点的坐标为 。 12 点（ ,）关于直线的对称点的坐标为 。 13 点（，）关于直线的对称点的坐标为 。 14 点（，）关于轴的对称点的坐标为 。 15 点（ ,）关于轴的对称点的 坐标为 。 (5)由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平

8、行，则两个 k 值相等；两直线垂直，则两个 k 值之积为 -1.】 某直线与直线 y=2x+3 平行，且过点（ 1， -1），求此直线的解析式。 某直线与直线 y=12x+1 平行，且过点（ 2， 3），求此直线的解析式。 某直线与直线 y=2 5x平行，且过点（ -3， 0），求此直线的解析式。 某直线与 y 轴交于点 P（ 0,3），且与直线 y=1 1平行 ,求此直线的解析式。 某直线与 x 轴交于点 P（ -2,0），且与直线 y=1 42x平行，求此直线的解析式。 某直线与直线 y=2x-1 垂直，且过点（ 2,1），求此直线的解析式。 某直线与直线 y=-3x+2 垂直，且过点（

9、3,2），求此直线的解析式。 某直线与直线 y=13x垂直，且过点（ 2， -1），求此直线的解析式。 某直线与直线 y=42x垂直，且过点（ 1， -2），求此直线的解析式。 数学优培特训 - 4 - 某直线与 x 轴交于点 P（ -4,0），且与直线 y=2 53x垂直，求此直线的解析式。 (6)两点间的距离公式： 1 1 2 2( , ) B , ),A x y x y若 ， （则 AB=221 2 1 2( ) ( - )x x y y 若 A（ -2,0）， B（ 0， 3），则 AB= 。 若 P（ -2,3）， Q（ 1， -1），则 PQ= 。 若 M（ 0,2）， N（ -2

10、,5），则 MN= 。 若 P（1,0）， Q（10,3），则 PQ= 。 若 A（,32),B(-1,12),则 AB= 。 若 P(31,42),B(,14),则 。 若 P(,),B(1),则 = 。 若 P(12,43)， M(,12)，则 PM= 。 若（21,53），（,），则 。 若（2,13），（11,2），则 。 11 若（ ,），（ ,），则 。 12 若 P(0， -4)， Q(0， -2)，则 PQ= 。 13 若 P(3,0)， Q(4,0)，则 PQ= 。 数学优培特训 - 5 - 14 若 P(1， -4)， Q(2,0)，则 PQ= 。 （ 7） 直线的斜率公式

11、：【注：所谓斜率，就是一次函数 y=kx+b 中 k 的值；可由两个点的坐标直接求得：若 A(11,xy)， B(22,)（12xx），则1212AByykxx，（ y 标之差除以 对应 的 x 标之差）】 例题：若 A(2， -3)， B(-1,4)，则ABk 解： A(2， -3)， B(-1,4)， ABk=( 3) 4 72 ( 1) 3 A ( 0 ,2 ) B ( 3 0 ) k AB 若 ， ， ， 则 。 ( 1 ,- 2 ) B ( - 3 ) k AB 若 ， ， 1 ， 则 。 MNM ( - 3 ,1 ) N ( - 2 - ) k 若 ， ， 4 ， 则 。 ( 1

12、- 4) ( - 1 ) k PQ 若 P ， ， Q ， 2 ， 则 。 11( - 1 ) ( - ) k23 CQ 若 C ， 1 ， Q ， - ， 则 。 2 1 1( ) ( - ) k3 3 2 EF 若 E ， -1 ， F ， - ， 则 。 2 1 1( - ) ( - 1 ) k5 3 2 MQ 若 M ， - ， Q ， - ， 则 。 数学优培特训 - 6 - 2 3 1( - ) ( - 1 ) k3 4 4 PQ 若 P ， - ， Q ， - ， 则 。 (8)点到直线的距离公式： 00P（ x点 ,y）到直线 Ax+By+C=0（为了方便计算， A,B,C 最

13、好化为整系数）的距离公式为：0022+CA + BAx Byd ；运用该公式时，要先把一次函数 y=kx+b 化为一般式 Ax+By+C=0的形式（即：先写 x 项，再写 y 项，最后写常数项，等号右边 必须 是 0）。 例题： 求点 P(2,-3)到直线1223yx的距离。 解：先把直线 化为一般式 3x-6y-4=0 所以223 6 ( ) 4 4 533 ( 6)23d 00Ax By C注 ：的值就是把点00( , )xy对应代入代数式 Ax+By+C 中。 或者把y kx b通过移项化为0kx y （同样要先写 x 项，再写 y项，最后写常数项，等号右边 必须 是 0）。 从而002

14、1k x y bdk另解：因为1223yx， P(2,-3) 数学优培特训 - 7 - 所以2122 ( 3 ) ( )423 =5311 ( )2d (注：由于系数中有分数，计算比较繁杂 )。 P-求 点 （ 2,1 ） 到 直 线 y=x+2 的 距 离 求 点 Q （ 1,-4 ） 到 直 线 y=2x-1 的 距 离。 12求 点 A （ 1,2 ） 到 直 线 y= x- 1 的 距 离。 13求 点 M （ 0,-3 ） 到 直 线 y= x- 1 的 距 离。 1124求 点 P （ -2,0 ） 到 直 线 y= x- 的 距 离。 求 点 K （ -3,-2 ） 到 直 线

15、y=1-3x 的 距 离。 1123求 点 P （ -3,-1 ） 到 直 线 y= x- 的 距 离。 1 1 12 3 2求 点 P （ - ,- 1 ） 到 直 线 y= x+ 的 距 离。 1 1 3 12 3 4 2求 点 Q （ - ,- ） 到 直 线 y= x- 的 距 离。 2 3 3 13 4 2 4求 点 P （ - ,- ） 到 直 线 y= x- 的 距 离。 数学优培特训 - 8 - 11 3 1 1 22 3 2 3求 点 N （ - ,- ） 到 直 线 y= - x+ 的 距 离。 12 2 3 1 15 4 2 3求 点 D （ -, ） 到 直 线 y=

16、x- 的 距 离。 13 3 2 3 15 3 2 4求 点 E （ - ,- ） 到 直 线 y= - x 的 距 离。 在一个题中设计若干常见问题： 2 23y x x 如 图 示 ， 已 知 抛 物 线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于 C,D（ C 在 D 点的左侧），点 A 为顶点。 Y 2 23y x x C O D X 判定三角形 ABD 的形状？并说明理由。 Y 0 D x B A 【 通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】 数学优培特训 - 9 - 三角形 ABD 与三角形 BOD 是否相似？说明理由 。 Y O X D B A 【 通法：用两点间的距离公式分别

17、两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】 在 x 轴上是否存在点 P，使 PB+PA 最短？若存在求出点 P 的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。 Y X O B 【通法：在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】 在 y 轴上是否存在点 P，使三角形 PAD 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标，并数学优培特训 - 10 - 求出周长的最小值 ;若不存在，请说明理由。 Y D X A 【 通法：注意到 AD 是定线段，其长度是个定值，因此只需最小】 在对称轴 上是否存在点，使三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 Y C O X B x 1 【通法：对动点的坐标一母示（，）后，分三种情况，若为顶点，则；若 B 为顶点，则 BP=；若为顶点，则。分别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。