1、高中数学 解析几何 题型 本文档主要包含高中数学解析几何常见的 10类题型与基本方法和专题训练与高考预测 ： 考点 1.求参数的值 考点 2. 求线段的长 考点 3. 曲线的离心率 考点 4. 求最大 (小 )值 考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题 考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 考点 8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题 考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题 考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题 专题训练与高考预测 考点 1.求参数的值 求参数的值是高考题中 的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手 ,构造方程
2、解之 . 例 1若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 22162xy的右焦点重合，则 p 的值为（ ） A 2 B 2 C 4 D 4 考查意图 : 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质 . 解答过程：椭圆 22162xy的右焦点为 (2,0)，所以抛物线 2 2y px 的焦点为 (2,0)，则 4p ，故选 D. 考点 2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距离公式解之 . 例 2已知抛物线 y-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 B，则 |AB|等于 A.3 B.4 C
3、.3 2 D.4 2 考查意图 : 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用 . 解：设直线 AB 的方程为 y x b ，由 2 2123 3 0 1yx x x b x xy x b ，进而可求出 AB 的中点 11( , )22Mb ，又由 11( , )22Mb 在直线 0xy 上可求出1b ， 2 20xx ，由弦长公式可求出 221 1 1 4 ( 2 ) 3 2AB 故选 C 例 3如图，把椭圆 22125 16xy的长轴 AB分成 8等份，过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部 分于 1 2 3 4 5 6 7, , , , , ,P P P P P P P七个点
4、， F 是椭圆的一个焦点， 则 1 2 3 4 5 6 7P F P F P F P F P F P F P F _. 考查意图 : 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 . 解答过程：由椭圆 22125 16xy的方程知 2 25, 5.aa 1 2 3 4 5 6 7 72 7 7 5 3 5 .2 aP F P F P F P F P F P F P F a 故填 35. 考点 3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一 ,其解法为充分利用 : (1)椭圆的 离心率 e ac (0,1) (e 越大则椭圆越扁 ); (2) 双曲线的 离心率 e ac (1, ) (e
5、 越大则双曲线开口越大 ). 结合有关知识来解题 . 例 4已知双曲线的离心率为 2，焦 点是 (4,0) ， (4,0) ，则双曲线方程为 A 2214 12xy B 22112 4xy C 22110 6xy D 2216 10xy 考查意图 :本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念 . 解答过程： 2, 4,ceca 所以 22, 12.ab 故选 (A). 小结 : 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握 .尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会 . 例 5已知双曲线 93 22 yx ,则双曲线右支上的点
6、P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于（ ） A. 2 B.332C. 2 D.4 考查意图 : 本题主要考查双曲线的性质和 离心率 e ac (1, ) 的有关知识的应用能力 . 解答过程：依题意可知 3293,3 22 baca 考点 4.求最大 (小 )值 求最大 (小 )值 , 是高考题中的热点题型之一 .其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 (小 )值 :特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答 . 例 6已知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则 y12+y22的最小值是 . 考查意图 :
7、本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大 (小 )值的方法 . 解 :设过点 P(4,0)的直线为 224 , 8 16 4 ,y k x k x x x 122 2 2 222212 228 4 1 6 0 ,8 4 14 4 1 6 2 3 2 .k x k x kky y x xkk 故填 32. 考点 5 圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心 . 例 7 在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知圆心在第二 象限、半 径为 2 2 的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点
8、 O.椭圆 9222 yax=1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10. （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）试探究圆 C 上是否存在异于原点的点 Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段 OF的长 .若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 . 考查目的 本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程 (1) 设圆 C 的圆心为 (m, n) 则 ,2 2 2,mnn 解得 2,2.mn 所求的圆的方程为 22( 2) ( 2) 8xy (2) 由已知可得 2 10a ， 5a 椭圆的方程为 22
9、125 9xy , 右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在 Q 点 2 2 2 cos , 2 2 2 sin 使 QF OF , 222 2 2 c o s 4 2 2 2 s in 4 整理得 sin 3cos 2 2， 代入 22sin cos 1 得 : 210 cos 12 2 cos 7 0 , 1 2 2 8 1 2 2 2 2c o s 11 0 1 0 因此不存在符合题意的 Q 点 . 例 8 如图 ,曲线 G 的方程为 )0(22 yxy .以原点为圆心，以 )0( tt 为半径的圆分别与曲线 G 和 y 轴的 正半轴相交于 A 与点 B. 直线 AB 与 x 轴相交于点
10、 C. （）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式； （）设曲线 G 上点 D 的横坐标为 2a ,求证：直线 CD 的斜率为定值 . 考查目的 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力 . 解答过程 （ I）由题意知， ).2,( aaA 因为 .2,| 22 taatOA 所以 由于 .2,0 2 aatt 故有 （ 1） 由点 B（ 0， t）， C（ c， 0）的坐标知，直线 BC 的方程为 .1tycx又因点 A 在直线 BC 上，故有 ,
11、12 taca将（ 1）代入上式，得 ,1)2( 2 aa aca解得 )2(22 aac . （ II）因为 )2(22( aaD ，所以直线 CD 的斜 率为 1)2(2 )2(2)2(22(2 )2(22 )2(2 aaaaa aca ak CD ， 所以直线 CD 的斜率为定值 . 例 9已知椭圆 22xyE : 1(a b 0)ab ， AB 是它的一条弦， M(2,1) 是弦 AB 的中点，若以点 M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 C 和直线 AB 交于点 N(4, 1) ，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率 1e 之间满足 1ee 1 ，求： （ 1）椭圆
12、 E 的离心率；（ 2）双曲线 C 的方程 . 解答过程：（ 1）设 A、 B 坐标分别为 1 1 2 2A(x ,y ),B(x ,y )， 则 2211xy1ab， 22xy1ab，二式相减得： 21 2 1 2AB 21 2 1 2y y (x x )bk x x (y y )a 2 MN22b 1 ( 1)k1a 2 4 ， 所以 2 2 2 2a 2b 2(a c ) ， 22a c ， 则 c2e a2； （ 2）椭圆 E 的右准线为 22a ( 2c)x 2ccc ，双曲线的离心率1 1e2e， 设 P(x,y) 是双曲线上任一点，则： 22(x 2 ) ( y 1)| P M
13、| 2| x 2 c | | x 2 c | ， 两端平方且将 N(4, 1) 代入得： c1 或 c3 ， 当 c1 时，双曲线方程为： 22(x 2) (y 1) 0 ，不合题意，舍去； 当 c3 时，双曲线方程为： 22(x 10) (y 1) 32 ，即为所求 . 小结：（ 1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； （ 2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义 . 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相关问题 利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算 . 典型例题： 例 10双曲线 C 与椭圆 22184xy有相同的焦点，直线 y= x3 为
14、 C 的一条渐近线 . (1)求双曲线 C 的方程； (2)过点 P(0,4)的直线 l ，交双曲线 C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点（ Q 点与 C 的顶点不重合） .当 12PQ QA QB，且3821 时 ，求 Q 点的坐标 . 考查意图 : 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 ,以及运用数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的能力 . 解答过程：（）设双曲线方程为 221xyab, 由椭圆 22184xy,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ， 对于双曲线 :2Cc ，又 3yx 为双曲线 C 的一条渐近线 3ba 解得 221, 3ab， 双
15、曲线 C的方程为 22 13yx （）解法一： 由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 . 设 l 的方程： 114, ( , )y kx A x y ， 22( , )Bx y ,则 4( ,0)Q k . 1PQ QA , 1 1 144( , 4) ( , )xykk . 111111 114444()44x kkxkky y 11( , )Ax y 在双曲线 C上， 21211116 16( ) 1 0k . 2 2 2 211 161 6 3 2 1 6 0 .3 kk 2 2 211 16(16 ) 32 16 0.3 同理有： 2 2 222 16(1 6 ) 3 2 1
16、6 0 .3kk 若 216 0,k则直线 l 过顶点，不合题意 . 216 0,k 12, 是二次方程 2 2 216(1 6 ) 3 2 1 6 0 .3k x x k 的两根 . 12 232 816 3k , 2 4k，此时 0, 2k . 所求 Q 的坐标为 ( 2,0) . 解法二：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程， 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y ，则 4( ,0)Qk. 1PQ QA ， Q 分 PA的比为 1 . 由定比分点坐标公式得 11 1111 11144 (1 )10 1x xkky y 下同解
17、法一 解法三：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 设 l 的方程： 1 1 2 24, ( , ), ( , )y kx A x y B x y ，则 4( ,0)Q k . 12PQ QA QB， 1 1 1 2 2 24 4 4( , 4 ) ( , ) ( , )x y x yk k k . 1 1 2 24 yy ， 114y ， 224y ， 又1283 ， 121 1 23yy ,即 1 2 1 23( ) 2y y y y. 将 4y kx代入 22 13yx 得 2 2 2(3 ) 24 48 3 0k y y k . 230k，否则 l 与渐近线平行 . 21 2
18、1 2222 4 4 8 3,33 ky y y ykk . 22224 48 33233kkk . 2k ( 2,0)Q. 解法四：由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零，设 l 的方程： 4y kx， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y,则 4( ,0)Q k 1PQ QA , 1 1 144( , 4) ( , )xykk . 1114 44 4k kxxk .同理 1 24 4kx . 12 124 4 84 4 3k x k x . 即 2 1 2 1 22 5 ( ) 8 0k x x k x x . （ *） 又 22413y kxyx 消去 y
19、得 22(3 ) 8 1 9 0k x kx . 当 230k时，则直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意， 230k. 由韦达定理有： 12 212 283193kxxkxx k 代入（ *）式得 2 4, 2kk . 所求 Q 点的坐标为 (2,0) . 例 11 设动点 P 到点 A( l， 0)和 B(1， 0)的距离分别为 d1和 d2， APB 2 ,且存在常数 (0 1 ,使得 d1d2 sin2 （ 1）证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程； （ 2）过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M、 N 两点 ,试确定的范围 , 使 OM ON 0,其中点 O
20、 为坐标原点 考查目的 本小题主要考查直线、 双曲线 等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力 解答过程 解法 1：（ 1） 在 PAB 中 ， 2AB ， 即 2 2 21 2 1 22 2 cos 2d d d d ， 221 2 1 24 ( ) 4 sind d d d ，即 21 2 1 24 4 s in 2 1 2d d d （常数）， 点 P 的轨迹 C 是以 AB， 为焦点，实轴长 2 2 1a 的双曲线 方程为： 2211xy （ 2）设 11()Mx y， ， 22()Nx y， 当 MN垂直于 x 轴时， MN的方程为 1x ，
21、(11)M， ， (1 1)N ， 在双曲线上 即 21 1 1 51 1 012 ，因为 01，所以 512 当 MN不垂直于 x 轴时，设 MN的方程为 ( 1)y k x 由 2211( 1)xyy k x 得： 2 2 2 2(1 ) 2( 1 ) (1 ) ( ) 0k x k x k ， 由题意知： 2(1 ) 0k ，所以 212 22 (1 )(1 )kxx k ， 212 2(1 )( )(1 )kxx k 于是： 2221 2 1 2 2( 1)( 1) (1 )ky y k x x k 因为 0ONOM ，且 MN， 在双曲线右支上，所以 21 2 1 22 212 2
22、212(1 )0 (1 )5 1 210 11231001x x y y kxxkxx 由知， 5 1 223 解法 2：（ 1）同解法 1 （ 2）设 11()Mx y， ， 22()Nx y， ， MN的中点为 00()Ex y， 当 121xx时， 2 21 1 01MB ， 因为 01，所以 512 ； 当 12xx 时，002222212111111yxkyxyxMN 又00 1MN BEykkx所以 220 0 0(1 )y x x ； 由 2MON 得 22200 2MNxy，由第二定义得 2 212( ) 222MN e x x a 2 20 0 0111 (1 ) 211 x
23、 x x 所以 2 2 20 0 0(1 ) 2 (1 ) (1 )y x x CBAoyx于是由 220 0 02 2 20 0 0(1 ) ,(1 ) 2 (1 ) (1 ) ,y x xy x x 得 20 (1 ) .23x 因为 0 1x ，所以 2(1 ) 123 ，又 01， 解得： 5 1 223 由知 5 1 223 考点 7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题 利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数求最值的方法求最值，要比只利用解析几何知识建立等量关系容易 . 例 12设椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为 33，过点 C(1,0) 的直线交椭
24、圆 E 于 A、 B 两点，且 CA 2BC ，求当 AOB 的面积达到最大值时直线和椭圆 E 的方程 . 解答过程：因为椭圆的离心率为 33，故可设椭圆方程为 222x 3y t(t 0) ，直线方程为my x 1， 由 222x 3y tmy x 1 得： 22(2m 3)y 4m y 2 t 0 ，设 1 1 2 2A(x , y ),B(x , y )， 则12 24myy 2m 3 又 CA 2BC ，故 1 1 2 2(x 1, y ) 2( 1 x , y ) ，即 12y 2y 由得：1 28my 2m 3 ，2 24my 2m 3 ， 则A O B 1 2 21mS | y y | 6 | |2 2 m 3 663 22|m| |m| ， 当 2 3m 2 ，即 6m 2 时， AOB 面积取最大值， 此时 212 2 2 22 t 32myy 2m 3 (2m 3) ，即 t 10 ， 所以，直线方程为 6x y 1 02 ，椭圆方程为 222x 3y 10. 小结：利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易 . 例 13已 知 PA (x 5,y) ， PB (x 5,y) ，且 |PA| |PB| 6， 求 |2x 3y 12|的最大值和最小值 . 解答过程：设 P(x,y) ， A( 5,0) ， B( 5,0) ，
