1、- 1 - 二次根式 训练 题 （ 90 分钟 120 分） 一、综合题（每小题 9 分，共 45 分） 1设 a、 b 为实数，且满足 a2+b2 6a 2b+10=0，求 abab的值 2一个正方形的面积为 48cm2，另一个正方形的面积为 3cm2， 问第一个正方形的边长是第二个正方形边长的几倍？ 3设等腰三角形的腰长为 a，底边长为 b，底边上的高为 h （ 1）如果 a=6+ 3 ， b=6+4 3 ，求 h； （ 2）如果 b=2（ 2 7 +1）， h=2 7 1，求 a - 2 - 4一架梯子 AB 长 25 米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端 B 离墙 7 米 （ 1）这个梯子
2、的顶端距地面有多高？ （ 2）如果梯子的顶端下滑了 4 米，那么梯子底部在水平方向滑动了 4 米吗？为什么？ B A C BA5 已知 x= 11,n n n nyn n n n （ n 为自然数），问：是否存在自然数 n，使代数式 19x2+36xy+19y2 的值为 1 998？若存在，求出 n；若不存在，请说明理由 二、学科间综合题（ 13 分） 6如图，一艘轮船在 40 海里 /时的速度由西向东航行，上午 8 时到达 A 处，测得灯塔 P在北偏东 60方向上； 10 时到达 B 处，测得灯塔 P 在北偏东 30方向上；当轮船到达灯塔 P 的正南时，轮船距灯塔 P 多远？ 30 60 C
3、PBA- 3 - 三、应用题 :（每小题 11 分，共 22 分） 7按要求解决下列问题 : （ 1）化简下列各式 : 2 8 1 8 5 0_ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ _ , _ _ _ _ _ ,1 2 3 5 =_， （ 2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明 8 （ 1 ） 设 a、 b、 c 是 ABC 的三边的长，化简 (a b c )2 + (b c a )2 + (c a b )2 的结果是 . (3 分 ) （ 2） 计算 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2 0 0 3 2 0 0 4 = .（ 4分） （ 3） 满足等式 2 0 0 3
4、 2 0 0 3 2 0 0 3 2 0 0 3x y x y x y x y 的正整数对 xy， 的个数是（ ）（ 4分） A.1 B.2 C.3 D.4 四、创新题（ 10 分） 9计算 :（ 1 1 1 ) ( 8 31 1 2 8 2 8 3 aa a a a a a + a ） - 4 - 五、中考题 :（共 30 分） 10（ 6 分）已知 a= 2 +1， b= 121，则 a 与 b 的关系是（ ） A a=b B ab=1 C a= b D ab= 1 11（ 6 分）式子 a + 1ab有意义，则点 P（ a， b）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限
5、12（ 6 分）若 a 1，则 3(1 )a 化简后为（ ） A（ a 1） 1 . ( 1 ) 1 . ( 1 ) 1 . ( 1 ) 1a B a a C a a D a a 13（ 12 分）有这样一道题： 计算 2244x x x xx x x x x2（ x2）的值，其中 x=1 005，某同学把“ x=1 005”错抄成“ x=1 050”，但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由 附加题（ 20 分） 设 a=2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 2 2 3 3 4 2 0 0 0 2 0 0 1 ，问与 a最接近的整数是多少
6、？ - 5 - 答案 : 一、 1分析：题中 a 和 b 的值是通过一个二元方程给出的，一个二元方程求两个未知数，往往要利用非负性来解决问题 解： a2+b2 6a 2b+10=0， （ a2 6a+9） +（ b2 2b+1） =0 即（ a 3） 2+（ b 1） 2=0， a=3， b=1 3131abab=2+ 3 点拨：应用偶次方的非负性是解本题的关键 2分析：利用正方形的面积公式 S=a2 列出比例式 解：设第一个正方形的边长为 a，第二个正方形的边长为 b，则 S1=a2=48， S2=b2=3 22 48 48 4 3,333aabb =4 答：第一个正方形的边长是第二个正方形
7、的边长的 4 倍 点拨：求第一个正方形边长是第二个正方形的边长的几倍，实际上就是求它们的边长之比 3分析：本题给出了等腰三角形、底边及高， 利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解 解：（ 1）由 a2=（ 12 b） 2+h2，得 （ 6+ 3 ） 2=14 （ 6+4 3 ） 2+h2 36+12 3 +3=14 （ 36+48 3 +48） +h2 39+12 3 =9+12 3 +12+h2 h2=18， h= 18 =3 2 （ 2）由 a2=（ 12 b2） +h2，得 a2= 12 2（ 2 7 +1） 2+（ 2 7 1） 2 a2=（ 2 7 +1） 2
8、+（ 2 7 1） 2 - 6 - a2=58， a= 58 点拨：构造一个直角三角形应用勾股定理是解本题的要点 4分析：应用勾股定理求出 AC 的高度， A C 的高度 解：（ 1）由题意，得 AB=AC+BC，得 AC= 2 2 2 22 5 7A B B C =24（米） （ 2）由 A B =A C+CB，得 B C= 2 2 2 2 25 ( 24 4) 45 5A B A C =15（米） BB =B C BC=15 7=8（米） 答：梯子底部在水平方向不是滑动了 4 米，而是 8 米 点拨：准确应用勾股定理 5分析：假设存在，将已知条件化简，求出 x+y=2（ 2n+1）， xy
9、= 1， 代入 19x2+36xy+19y2=1998中看是否有符合条件的 2n 解：不存在 x+y= 211 ( 1 ) ( 1 )n n n n n n n nn n n n 2 =n+1 2 ( 1)nn +n+n+1+n+2 ( 1)nn =4n+2 xy= 11n n n nn n n n =1 假设存在 n 使代数式 19x2+36xy+19y2 的值为 1998 即 19x2+36xy+19y2=1998 19x2+19y2=1 962，（ x2+y2） =196219 （ x+y） 2= 1 9 6 2 3 8 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 9 5.1 9 1 9 1
10、 9 1 9 1 9xy 由已知条件，得 x+y=2（ 2n+1） n 为自然数， 2（ 2n+1）为偶数， x+y= 209519 不为整数 不存在这样的自然数 n 二、 - 7 - 6解：由已知条件，得 PAB=30， PBC=60，过 P 作 PC AB， 在 Rt PBC 中， PBC=60，则 BPC=30， BC= 12 PB， PC= 22PB BC 在 Rt APC 中， PAB=30，则 APC=60， APB=30， APB= PAB， PB=AB=（ 10 8） 40=80（海里） BC= 12 PB=40（海里） PC= 2280 40 =40 3 （海里） 答：轮船到
11、达灯塔 P 的正南方向时，距灯塔 P40 海里 点拨：利用路程公式求 AB，由等腰三角形，得 AB=BP，由直角三角形性质得出 BC 与 PB的关系 三、 7分析：将二次根式进行分母有理化，通过（ 1）观察得出规律 解：（ 1） 2 4 2 6 3 10 5 （ 2）由（ 1）中各式化简情况可得 22 2n nnn 证明如下： 2 2 22 2 2 2n n n n n nnn n n n 8分析：由（ x+y） 20 0， 20 （ x+y） 0，所以 x+y=20再利用两个根式的和等于0，即每一个被开方数等于 0 解： x+y 20 0， 20 （ x+y） 0， x+y=20 3 5 2
12、 3 3x y m x y m =0 2 0 , 1 ,3 5 2 0 , 1 9 ,3 3 0 . 6 0 .x y yx y m xx y m m 解方程得 四、 9分析：将根式逐个分母有理化，利用互为相反数的两个数的和等于 0 的求解 解： 1 1,1 aaaa - 8 - 1 2 1 ,12 aaaa 1 8 3 8 28 2 8 3 aaaa （ 1 1 1 ) ( 8 31 1 2 8 2 8 3 aa a a a a a + a ） = ( 1 2 1 8 3 8 2 ) ( 8 3 )a a a a a a a a = 22( 8 3 ) ( 8 3 ) ( 8 3 ) ( )
13、a a a a a a =a+83 a=83 点拨：分母有理化的关键是找出有理化因式 五、 10 A 分析：将 b= 121进行分母有理化，得 b= 2 +1， a=b= 2 +1 11 C 分析：由 a 得 a 0， ab 0， ab0， b0，点 P 在第三象限 12 B 分析： a 1， 1 a =1 a 3(1 ) (1 ) 1a a a 点拨：应用公式 2a =a 时，要考虑 a 的取值范围 13分析：将二次根式进行分母有理化，根据题中给出的条件准确应用 =a，计算结果是正确的，因为通过根式化简结果与 x 的值无关 解：原式 = 2 2 2 2 22 2 2 2( 4 ) ( 4 )
14、( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )x x x x xx x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 224 2 4 ) 4 2 4 ) 4 84 4 4x x x x x x x x xx x2= 2 附加题 分析：通过上式找出规律，得出通项公式 22111 ( 1)nn 再进行化间，得结果为 1+ 1( 1)nn，将自然数 n 代入求出结果，- 9 - 再判断与 a 最接近的整数 解： n 为任意的正整数， 2 2 2 22 2 22 2 2 2221 1 ( 1 ) ( 1 )1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 11. (
15、1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n nn n n nn n n n n n n nn n n n n n n n a=(1+ 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 2 2 3 3 4 2 0 0 0 2 0 0 1 =2000+ 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2 0 0 0 2 0 0 1 =2000+（ 1 12 ） +（ 12 13 ） +（ 13 14 ） + + 1 1 1( ) 2 0 0 1 .2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 1 因此与 a 最接近的整 数是 2 001 点拨：用裂项法将分数 1 1 1( 1) 1n n n n 化成，然后求和
