1、知识点一、圆的定义1、圆的第一定义：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆这个固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径以 O 点为圆心的圆记作：O，读作圆 O2战国时期的墨经中对圆的定义是：圆，一中同长也3圆的第二定义：由圆的定义可知：(1)圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径 r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形(2)要确定一个圆，需要两个基本条件：一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小注意：由圆的概念可知： “圆”
2、指的是“圆周” ，即一条封闭的曲线，而不是圆面。 1确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。 2例题 1：下列说法错误的有（ ）经过 P 点的圆有无数个； 1以 P 为圆心的圆有无数个； 2半径为 3cm 且经过 P 点的圆有无数个； 3以 p 为圆心，以 3cm 为半径的圆有无数个。 4A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个圆的概念与垂径定理知识点二、圆的有关概念1弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦经过圆心的弦叫做直径并且直径是同一圆中最长的弦2. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以 A，C 为端点的弧记作 ，AC读作圆弧 AC 或弧 AC 3圆的直径的两个端点把圆分成两条弧
3、，每一条弧都叫做半圆4在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示 叫做优弧）B小于半圆的弧叫做劣弧 （如图所示） 或 叫做劣弧AC5半径相等的两个圆叫做等圆反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。 BA CO例题 2：下列命题中，正确的个数是（ ） 。直径是圆中最长的弦； 弧是半圆； 过圆心的直线是直径； 半圆不是弧。 1 2 3 4A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个例题 3：下列几个命题中，正确的是（ ）A两条弧的长度相等，那么他们是等弧B. 等弧只有在同圆中存在C. 度数相等的弧的长度相等D. 等弧的长度相等巩固练习如下图，(1)若点 O 为O 的圆心
4、，则线段_是圆 O 的半径；线段_是圆 O 的弦，其中最长的弦是 _；_是劣弧；_是半圆(2)若A=40 ，则ABO=_，C=_，ABC=_综合讲练讲练 1：如图，在同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点(1)求证：AOC= BOD；(2)试确定 AC 与 BD 两线段之间的大小关系，并证明你的结论讲练 2：如图，已知 AB 是O 的直径，CD 是O 的弦， AB，CD 的延长线交于 E，若AB=2DE，E=18 ，求C 及AOC 的度数知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线说明：圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身圆有无数条对称轴
5、2垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧用符号语言描述：O 中 CD 是直径、AB 是弦，且 CDAB 于 M，AMBM， ， ACBAD你能试着证明吗？说明：垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，即：（弦的一半） 2（圆心到弦的距离） 2（半径） 2例 1 如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是AMP 与 RN 的大小关系不定 B.MP=RNC.MPRN D.MPRNCD O MBAABC DOM第 2 题图例 2 如图，AB 是O 的弦，半径 OCAB 于 D 点，且
6、AB6cm，OD4cm，求 DC 的长【课堂操练】1如图，O 的直径 CDAB，AOC=50，则CDB 大小为（ ）A、25 B、30 C、40 D、502如图，在直径 AB12 的O 中，弦 CDAB 于 M，且 M 是半径 OB 的中点，求弦 CD的长（结果保留根号）.3如图，O 的直径 CD10cm，AB 是O 的弦，AB CD，垂足为 M，OM：OC3：5，求AB 的长知识点四、垂径定理的推论推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧推论 2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论 3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。问
7、：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！概念理解：1下面四个命题中正确的一个是（ ）A平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2下列命题中，正确的是（ ） A过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B过弦的中点的直线必过圆心C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D弦的垂线平分弦所对的弧跟踪练习：1、 如图，CD 为O 的直径，AB CD 于 E，DE =8cm， CE=2cm，则 AB=_cm1 题图2如图，O 的半径 OC 为 6cm，弦 AB 垂直平分 OC，则AB=_
8、cm， AOB=_2 题图3如图，AB 为O 的弦， AOB=90，AB=a，则 OA=_，O 点到 AB 的距离=_3 题图4如图，O 的弦 AB 垂直于 CD，E 为垂足，AE=3，BE =7，且 AB=CD，则圆心 O 到 CD的距离是_4 题图5如图，P 为O 的弦 AB 上的点，PA=6，PB=2，O 的半径为 5，则 OP=_5 题图6如图，O 的弦 AB 垂直于 AC，AB=6cm，AC =4cm，则 O 的半径等于_cm6 题图综合讲练：讲练 1已知：如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于 E 点，BE=1，AE=5，AEC=30 ，求 CD 的长讲练 2已知：如图
9、，试用尺规将它四等分讲练 3已知：O 的半径为 25cm，弦 AB=40cm，弦 CD=48cm，ABCD求这两条平行弦 AB，CD 之间的距离讲练 4已知：如图，A，B 是半圆 O 上的两点，CD 是O 的直径，AOD=80，B 是的中点(1)在 CD 上求作一点 P，使得 APPB 最短；(2)若 CD=4cm，求 APPB 的最小值随堂练习：A C D B ABCDEMNO1如图所示，O 的直径 AB 和弦 CD 交于 E，已知AE=6cm，EB=2cm，CEA=30，求 CD 的长 2、如图， AB、 AC 为 O 的两条弦， D、 E 分别为 、 中点，求证： AM=AN. ABC3
10、、如图所示，在 RtABC 中，C 90 0，AC3，BC4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB、BC 分别交于点 D、E，求 AB 和 AD 的长。4、如图，已知：在 中， 是直径， 是弦， 交 于 ，OABCDEABE交 于 求证： CDFFFE5、如图所示，P 为弦 AB 上一点，CPOP 交O 于点 C，AB8 ，AP:PB1:3，求PC 的长。6如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C，交 弦CA BDEOAPBCAB 于点 D。已知：AB=24cm，CD=8cm（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹） ；（2）求（ 1）中所作圆的半径.7、如图， AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，ABMN于点 E， CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为多少？
