1、第 1 页 共 10 页三角函数的概念【考纲要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能进行弧度与角度的互化.2.会表示终边相同的角；会象限角的表示方法.3.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号、特殊角的三角函数值.4.熟练掌握同角三角函数的基本关系式和诱导公式并能运用他们解决有关问题.【知识网络】三角函数的概念角的概念的推广、弧度制正弦、余弦的诱导公式同角三角函数的基本关系式任意角的三角函数【考点梳理】考点一、角的概念与推广1任意角的概念：正角、负角、零角2象限角与轴线角：与 终边相同的角的集合：,2|Zk第一象限角的集合： |k第二象限角的集合：
2、| ,2k第三象限角的集合： 3| 2kZ第四象限角的集合： 3| ,k终边在 轴上的角的集合：x|,k第 2 页 共 10 页终边在 轴上的角的集合： y|,2kZ终边在坐标轴上的角的集合： |要点诠释：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系.考点二、弧度制1弧长公式与扇形面积公式：弧长 ，扇形面积 （其中 是圆的半径， 是弧所对圆心角的弧度数）.lr 21Slr形 r2角度制与弧度制的换算：；180 1800.745()57.31818radrad 形要点诠释：要熟悉弧度制与角度制的互
3、化以及在弧度制下的有关公式.考点三、任意角的三角函数1. 定义：在角 上的终边上任取一点 ，记 (,)Pxy2rOPxy则 , , ， ， ， .sinyrcosxrtancotsecscr2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段 ， ， 分别叫做 的正弦线，余弦线，正切MAT线.3. 三角函数的定义域： ， 的定义域是 ； ， 的定义域sinycosRtanysecy是 ； ， 的定义域是 .|,2kZct |,kZ4. 三角函数值在各个象限内的符号：第 3 页 共 10 页要点诠释：三角函数的定义是本章内容的基础和出发点，正确理解了三角函数的定义，则三角函数的定义域、三角函数在各个象限内
4、的符号以及同角三角函数之间的关系便可以得到牢固掌握利用定义求三角函数值时，也可以自觉地根据角的终边所在象限进行分情况讨论.三角函数线是三角函数的几何表示，是处理有关三角问题的重要工具，它能把某些繁杂的三角问题形象直观地表达出来有关三角函数值的大小比较问题、简单三角不等式及简单三角方程的解集的确定等问题的解决常结合使用三角函数线，这是数形结合思想在三角中的具体运用.考点四、同角三角函数间的基本关系式1. 平方关系： .222222sincos1;sec1tan;cs1ot2. 商数关系： .iotati3. 倒数关系： ct;sinc;cse 要点诠释：同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知
5、某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如 ，221sincos，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法” 、消去法221sectant45及方程思想的运用.考点五、诱导公式1. 的三角函数值等于 的同名三角函数值，前面加上一个把2(),2kZ看成锐角时原函数值所在象限的符号.2. ， 的三角函数值等于 的互余函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值所3在象限的符号.要点诠释：诱导公式其作用主要是将三角函数值转化为 角的三角函数值，本节公式较多，要正确理解和09:记忆，诱导公式可以
6、用“奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指的是 的奇数倍、偶数倍） ”这个口诀进行2记忆.第 4 页 共 10 页【典型例题】类型一、角的相关概念例 1.已知 是第三象限角,求角 的终边所处的位置.2【答案】 是第二或第四象限角2【解析】方法一： 是第三象限角，即 ，32,kkZ , 3,4kkZ当 时， , 2n32,4n 是第二象限角，当 时， , 1k72nZ 是第四象限角，2 是第二或第四象限角.方法二：由图知: 的终边落在二，四象限.2【总结升华】 （1）要熟练掌握象限角的表示方法本题容易误认为 是第二象限角，其错误原因为认2为第三象限角的范围是 解决本题的关键就是为了凑出 的整数倍，需要
7、对整数进行分3(,)2类（2）确定“分角”所在象限的方法：若 是第 k (1、 2、3、4)象限的角，利用单位圆判断 ，( n)是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧 n 等份，并从 x 正半轴开始，沿逆时针方向*nN依次在每个区域标上 1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号 k 的区域就是角 ( )终边*N所在的范围。如：k=3，如下图中标有号码 3 的区域就是 终边所在位置2第 5 页 共 10 页举一反三：【变式 1】已知 是第二象限角,求角 的终边所处的位置.3【答案】 是第一或第二或第四象限角3【解析】方法一： 是第二象限角，即 ，22,kkZ , 22,63kkZ当
8、时， , n3nk 是第一象限角，3当 时， , 1k522,6kZ 是第二象限角，当 时， , 3kn35,23nk 是第四象限角， 是第一或第二或第四象限角.3方法二：k=2，如下图中标有号码 2 的区域就是 终边所在位置3yx123412 34第 6 页 共 10 页由图知： 的终边落在一，二，四象限.3【变式 2】已知弧长 50cm 的弧所对圆心角为 200 度，求这条弧所在的圆的半径（精确到 1cm）.【答案】29cm.类型二、任意角的三角函数例 2. 若 ，则角 在 象限.sinco0【答案】第一或第三【解析】方法一：由 知（1） 或（2）sinco0sin0cosin0co由（1
9、）知 在第一象限，由（2）知 在第三象限，所以 在第一或第三象限.方法二：由 有 ，sinco0sin所以 ,kkZ即 2当 时， 为第一象限，当 时， 为第三象限()knZ21()knZ故 为第一或第三象限.方法三：分别令 ，代入 ，57166、 、 、 sico0只有 、 满足条件，所以 为第一或第三象限.【总结升华】角的象限和角的三角函数值符号可以相互判定，方法三只能用于选择题或填空题.举一反三：【变式 1】确定 的符号.tan(3)si5co1【答案】原式小于零第 7 页 共 10 页【解析】因为 分别是第三、第四、第一象限的角，所以 ， ， ，3,51 tan(3)0sin5cos1
10、0所以原式小于零.【变式 2】已知 ， ，则 是第 象限角.tancos0tani【答案】二【解析】 ， ， ，则 是第二象限角.t1siccs0tan【变式 3】求 的值.n|os|tan| |xx【答案】当 为第一象限角时，值为 3；当 为第二、三、四象限角时，值为-1.例 3.已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边为射线 ，则x430()xy的值是（ ）2sin(cot)s1.5A.5B8.5C9.5D【答案】 C【解析】在角 的终边上任取一点 ，则有 ，(3,4)Pr则原式 ，故选 .4398()525举一反三：【变式】已知角 的终边过点 ，求 、 、 的值(,)0asi
11、ncostan【解析】 2()5|ra（1）当 时， ， ， ， ；0r25sin5costan2（2）当 时， ， ， ， .a5ait类型三、诱导公式例4.已知 ，求 的值.3)6cos()6(sin)6cos(2【答案】 2【解析】 )6(sin)65cos(2 2cos()sin()661co第 8 页 共 10 页.3123举一反三：【变式 1】计算： sin30cos24【答案】 1【解析】原式 .i(6)(180+6=sin30cos61形【变式 2】化简 .sncos4【答案】 0【解析】原式 .si()cs()sin()si()0244类型四、同角三角函数的基本关系式例 5已
12、知 ，且 求 、 的值；1sinco50sicosico【答案】 ；127【解析】方法一：由 可得： ，sic221sinics5即 ，112no251ico5 ，sicsn2 、 是方程 的两根，20x 或4sin53co3sin54co ， ，0sin0 ， ，4sin53co5 7方法二：由 可得： ，1sic221sinicos5即 ，12nos515 ， ， ，0i0cs0sinc0第 9 页 共 10 页由 2 1249sinco1sinco5（ ） 75举一反三：【变式】已知 ，求 的值.2sinco221sincos【答案】 16【解析】由 可得： ；sinco2221siicso1sinco2于是 ，1i4 22221sincos16sinco例 6已知 ，求下列各式的值0（1） ；（2）4i3s5cs2 2sin3icos5【答案】 ； 1【解析】由 得 ，sino01ta2（1）原式 ；43cs2si5o4tn354（2）原式 2 22112c(tat)(tan3t5)t举一反三：【变式】已知 ，求值tn（1） ；（2）sico21sincos【答案】 ；35【解析】（1）原式 ；sincotan13（2）原式 22sincosco()第 10 页 共 10 页21tan53
