1、2018 年重庆一中高 2019 级高二下期半期考试数学试题卷（理科）第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分）.1. 是虚数单位，计算 的结果为（ ）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】分析：根据复数的除法法则计算即可详解：由题意得 故选 B点睛：本题考查复数的除法运算法则，考查学生的运算能力，属于容易题 2. 极坐标方程 所表示的图形是 （ ）A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆【答案】D【解析】分析：将极坐标方程化为直角坐标方程后再进行判断详解： ， 把 代入上式可得 ,即 ，极坐标方程表示的是以（1,0）为
2、圆心，半径为 1 的圆故选 D点睛：本题考查极坐标和直角坐标间的互化，考查学生运用所学知识解决问题的能力，解题的关键是灵活运用极坐标和直角坐标间的转化公式进行求解3. 用数学归纳证明： 时，从 到 时，左边应添加的式子是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：分别求出 时左边的式子， 时左边的式子，用 时左边的式子，除以 时左边的式子，即得结论.详解：当 时，左边等于，当 时，左边等于，故从“ ”到“ ”的证明，左边需增添的代数式是，故选 C.点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻
3、两项之间的变化规律.4. 随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 的值（ ）A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2【答案】C【解析】分析：由随机变量 服从正态分布 ，可得正态曲线的对称轴 ，根据正态曲线的特点，得到 ，从而可得结果.详解： 随机变量 服从正态分布 ，得对称轴是 ，所以 ，故选 C.点睛：本题考查了正态分布的有关概念与运算，重点考查了正态密度曲线的性质以及如何利用正态密度曲线求概率，意在考查学生对正态分布密度曲线性质的理解及基本的运算能力.5. 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 ，则
4、 的数学期望为（ ）A. 100 B. 200 C. 300 D. 400【答案】B【解析】试题分析： ，所以考点：二项分布【方法点睛】一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布 XB（n，p） ） ，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.视频6. 通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘” 能做到“光盘”男 45 10女 30 15则有（ ）以上的把握认为“该市民能否做到
5、光盘与性别有关” ，附表及公式0.100 0.050 0.010 0.0012.706 3.841 6.635 10.828A. 90% B. 95% C. 99% D. 99.9%【答案】A【解析】分析：根据列联表中数据代入公式计算 的值，和临界值表比对后即可得到答案.详解：将列联表中数据代入公式可得，所以有 的把握认为“该市居民能否做到光盘 ”与性别有关.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）7. 若 ，则
6、的值为（ ）A. 2 B. 0 C. -1 D. -2【答案】C【解析】分析：令 求得 的值，再令 得到 的值，两式相减可得所求详解：在二项展开式中，令 ，得 .令 ，得 . 故选 C点睛：因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法8. 已知函数 ，若 是从 1，2，3 中任取的一个数， 是从 0，1，2 中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：将 记为横坐标，将 记为纵坐标，可知总共有9 个的结果，而函数有两个极值点的条件为其导函数有两个不相等的实根， ，满足题
7、中条件为 ，即 ，所以满足条件的基本事件有 共 6 个基本事件，所以所求的概率为，故选 D考点：古典概型9. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加中国诗词大会的现场录制，5 人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（ ）A. 60 B. 72 C. 84 D. 96【答案】C【解析】 根据题意，可分三种情况讨论：若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有 种情况，将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序 种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有 种安排方法，此时有 种不同坐法；若小明的父母的只有一人
8、与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有 种情况，考虑父母之间的顺序，有 种情况，则这个整体内部有 种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有 种情况，此时有 种不同坐法；小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将 人看成一个整体，考虑父母的顺序，有 种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有 种情况，此时，共有 种不同坐法；综上所述，共有 种不同的坐法，故选 C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；小明的父母有一个人与小明相邻且父母相
9、邻；小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。10. 重庆一中为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似最强大脑的 赛，两队各由 4 名选手组成，每局两队各派一名选手 ，除第三局胜者得 2 分外，其余各局胜者均得 1 分，每局的负者得 0 分.假设每局比赛 队选手获胜的概率均为 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时 队的得分高于 队的得分的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：分三种情况求解：即 A 队 5 分 B 队 0 分；A 队 4 分 B 队 1 分；A 队 3 分 B 队2 分，然后根据互斥事件的概率公式可得所求详解：（1）A 队 5
10、分 B 队 0 分，即 A 队四局全胜，概率为 （2）A 队 4 分 B 队 1 分，即 A 队一、二、四局中败 1 局，第 3 局胜，其概率为 .（3）A 队 3 分 B 队 2 分，包括两种情况：A 队第 3 局败，其余各局胜；A 队第一、二、四局中胜 1 局，第 3 局胜其概率为 由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为 故选 A点睛：求解概率问题时首先要通过读题理解题意，分清所求概率的事件及对应的概率类型，然后选择相应的公式求解求解时对于复杂事件的概率要合理分解为简单事件的概率处理，同时要合理选择计数的方法，使得问题的解决顺利进行11. 将编号 1，2，3，4 的小球放入编号为 1，2，
11、3 的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号不能相同，则不同的放球方法有（ ）A. 16 种 B. 12 种 C. 9 种 D. 6 种【答案】B【解析】分析：分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数，然后利用分类计数加法原理求解即可.详解：由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法有：当 1 与 2 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 1 与 3 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法； 当 1 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 2 与 3 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 2 与 4 号球放
12、在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；当 3 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法；因此，不同的放球方法有 12 种，故选 B.点睛：本题主要考查分类计数加法原理的应用，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步” ，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.12. 已知函数 ，对任意 ，都存在 ，使得，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意得 ，令 ，然后将 用 表示出来，设 得到关于 的函数，通过求函数 的最大值可得所求结果详解：由 得 ，令 ，则 ，
13、且 ，即 ， 令 ，则 ， 在 上单调递减，且 ，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减当 时， 有最大值，且 ，即 的最大值为 故选 A点睛：本题考查恒成立、能成立问题，难度较大，解题的关键是通过引入参数 ，将双变量问题转化为关于参数 的问题处理，然后利用导数为工具，求得关于 的函数的最值，从而得到所求的最值第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置13. 的展开式中的常数项是_【答案】60【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 的指数为 ，从而可求出展开式的常数项.详解：展开式的通项为
14、 ，令 得 ，所以展开式的常数项为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次） ，得 的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知，三外同学中只有一人获得 .三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得 或 ；
15、乙说：我肯定得 ；丙说：今天我的确没有发挥说，我赞同甲的预测.事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得 的同学是_【答案】甲【解析】若得 的同学是甲，则甲、丙预测都准确，乙预测不准确，符合题意；若得 的同学是乙，则甲、乙、丙预测都准确，不符合题意；若得 的同学是丙，则甲、乙、丙预测都不准确，不符合题意。综上，得 的同学是甲.15. 袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次任取 1 个球，取 2 次，则事件“第一次取得白球的情况下，第二次恰好取得黄球”的概率为_【答案】【解析】分析：根据条件概率进行求解即可详解：设“第一次取得白球”为事件 A， “第二次恰好取得黄
16、球”为事件 B由题意得 ， 点睛：解决概率问题时，若条件中含有“在发生的条件下，求发生的概率”的字样，则一般为条件概率类型求解时可根据条件概率的定义进行，即 进行求解16. 已知椭圆 为其左、右焦点， 为椭圆 上除长轴端点外的任一点， 为 内一点，满足 的内心为 ，且有 （其中 为实数），则椭圆 的离心率 _【答案】【解析】分析：由题意得 为 的重心，设 ，由重心坐标公式可得 的纵坐标，由可得内心 的纵坐标与 相同，然后利用 的面积等于被内心分割而成的三个小三角形的面积之和建立 的等式，从而可得离心率详解：设 ， ， ， G 为 的重心， G 点坐标为 ， 轴， I 的纵坐标为 在 中， ， 又 I 为 的内心， I 的纵坐标 即为内切圆半径由于 I 把 分为三个底分别为 的三边，高为内切圆半径 的小三角形， ，即 ， ，椭圆 C 的离心率 点睛：解答本题时注意两点：（1）读懂向量式的含义，正确地将向量式转化为几何关系，这是解题的基础 （2）求椭圆的离心率时，要把条件中给出的几何关系转化为关于 的等式或不等式，通过解方程或不等式可得离心率或其范围三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ， （ 为极角）
