1、113.4 课题学习最短路径问题张龙乡第一初级中学王玉2最短路径问题 教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短” “三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。本节课以数学史中的一个经典故事-“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。教学目标设置：1、能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、在谈最短路径的过程中，体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的
2、数学思想。教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学生学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。2、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。 ”以及“垂线段最短” 。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。3教学策略分析：最短路径问题从本
3、质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。解答“当点 A、B 在直线 l 的同侧时，如何在 l 上找到点 C，使 AC 与 BC 的和最小” ，需要将其转化为“直线 l 异侧的两点，与直线 l 上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合） ，证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。教学时，教师可以让学生首先思考“直线 l 异侧的两点，与直
4、线 l 上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。教学条件分析:在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用几何画板通过动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。教具准备：直尺、几何画板，ppt教学过程：环 节 教师活动 学生活动 设计意图4一复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。1、两点之间，线段最短。2、两边之和大于第三边。 从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。二探
5、究新知1.探究一：【故事引入】：唐朝诗人李颀在古从军行中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河 ”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？认真读题，仔细思考。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点” “线” ，把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。二探究新知2.探究二：【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？（1） 【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？【回答】：
6、学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。已知：直线 L 和同侧两点 A、B求作：直线 L 上一点 C，使 C 满足 AC+BC 的值最小。学生主动探索，充分发挥学生的主动性。展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。5（2） 【展示】：让学生猜想，并画出图形。巡视发现学生不同的作法（尽可能多） ，分别展示各小组的作法。给予学生一定的提示。（3） 【度量】：如何才能判断哪种猜想是正确的呢？（测量一下）在几何画板中分别度量出 AC,BC 的长度，并计算AC+BC。让学生观察数值如何变化。并反思各自的作法是否正确。【学生展示】：作法 1： 作法 2：作法 3：【学生反思】：第
7、1 种作法是利用“垂线段最短” ，得到 AC 最短，利用“两点之间线段最短” ，得到 BC 最短，但不能确定 AC+BC 是最短的。第 2 种作法只能说明在河 l 上取一点，到 A、B两地的距离相等，也就是 ACBC。不能说明AC+BC 最短第 3 种作法应该是正确的。63.解决问题【追问】用第 3 种作法的同学，你们是怎样想到作点 B 关于直线 L 的对称点的？为什么要作对称点？如果做点 B 关于直线 L的对称点，就是把点 B移到了另一侧，而且满足了 BCBC 。其实直线L 上所有点到 B 和 B的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质，L 就是线段BB的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段
8、两个端点的距离相等。利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。二探究新知（4） 【推理论证】：如何证明AC+BC 最短呢？【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点 C（与点 C 不重合） ，只要证明 AC+BCAC+BC 即可。（3） 【几何画板】下面我们可以借助数学工具几何画板来进一步验证一般性。老师动手操作，验证结论的正确性。 。（1）学生自主证明，教师纠认真观察，思考，要想确认 AC+BC 最短，可
9、以在直线 l 上任取一点 C（不与点 C 重合）1.独立纠错2.兵教兵让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。7错。（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。（3）共同完成证明过程。三发散思维除了作点 B 关于直线 l 的对称点以外，还有没有别的作法？还可以作点 A 关于直线l 的对称点。发散思维，培养学生一题多解的能力。四得出结论【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线 l 的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，
10、和及时总结所学的知识的好习惯。五范例分析1.【问题】：如图，一个旅游船从大桥 AB 的 P 处前往山脚下的 Q 处接游客，然后将游客送往河岸 BC 上，再回到 P 处，请画出旅游船的最短路径。在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。六巩固练习1. 【题目】：如图，直线 l是一条河，P、Q 为河同侧的两地，欲在 l 上某处修建一个水泵站 M，分别向P、Q 两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ ）2. 【题目】：如图，在直角三角形 ABC 中，角 A30度，角 C 为直角，且将军饮马模型的直接应用。习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的
11、基本策略和基本方法。8目标检测设计：题目 1、 （课后练习）课本 93 页，第 15 题。设计意图：本题难度适中，适合作为课后练习，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方法，又为后续学习打下基础。题目 2、 （拓广探索）在AOB 内有一点 P，在射线 OA 上找一点 M，在射线 OB 上找一点 N，使 的周长最短。PMBC=1，MN 为 AC 的垂直平分线，设 P 为直线 MN 上任一点，PB+PC 的最小值为 3. 如图，正方形 ABCD 边长为8，M 在 BC 上，BM2，N为 AC 上的一动点，则BN+MN 的最小值为 七课堂小结1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？ 当
12、我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答） ，也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。2.【问题】：轴对称在所研究问题中起什么作用？利用轴对称主要是进行问题的转化，它其实是起到了一个桥梁的作用，同时也体现了我们数学学习中的转化思想。我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。转化作用培养学生总结在课题学习的基本思路。9设计意图：学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称。在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择。
